Skip to main content

Full text of "Fundamentos.de. Matematica. Elementar. Vol. 01. Conjuntos.e. Funcoes"

See other formats


GELSON IEZZI 
CARLOS MURAKAMI 


FUNDAMENTOS DE 

MATEMATICA 

ELEMENTAR 

CONJUNTOS FUIMCOES 


75 Exercicios resolvidos 
326 Exercfcios propostos — com resposta 
272 Testes de Vestibulares — com resposta 


3? edicao 



ATUAL 

EDITORA 




Capa 

Roberto Franklin Rondino 
Sylvio Ulhoa Cintra Filho 
Rua Inhambu, 1235 — S. Paulo 

Composigao e desenhos 
AM Produgoes Graficas Ltda. 

Rua Castro Alves, 135 — S. Paulo 

Artes 

Atual Editora Ltda. 

Fotolitos 

H.O.P. Fotolitos Ltda. 

Rua Delmira Ferreira, 325 — S. Paulo 


Impressao e acabamento 
Grafica Editora Hamburg Ltda. 

Rua Apeninos, 294 

278-1620 - 278-2648 - 279-9776 

Sao Paulo — SP — Brasil 


CIP-Braail. Catalogajao-na-Fonte 
Camara Brasileira do Livro, SP 


Fundamentsa da matematica elementar JpnrJ Gel- 
F977 Bon Iezzi fa outrosj Sao Paulo, Atual 

v.1-2, Ed., 1977- 

4-6 

Co-autores: Carl 08 Murakami, Davaldo Dolce 
e Samuel Hazzan; a autorla doa volumea indi¬ 
viduals varla entre os 4 sutorea. 

Conteudo: v.l. Con juntos, Fungoes.-v.Z. 
Logarltmoa.-v.4. SequBnciaa, majrizes determi- 
nantes, Biatamaa.-v.S. Combinatoria, probabi- 
lidade.-v.6. Complexos, polinomioa, equagoeB. 

1* Matematica <20 grau) I. Dolce, Davaldo, 
1938- II. Iezzi, Qelaon, 1939- III. Hazzan, 
Samuel, 1946- IU. Murakami, Carlos, 1943- 

77-1333 CDD-510 


Indice para catalogo sistematico: 

1. Matematica 51D 


Todos os direitos reservados a 
ATUAL EDITORA LTDA 
Rua Jose Antonio Coelho, 785 
Telefones: 71-7795 e 549-1720 
CEP 04011 - Sao Paulo - SP - Brasil 


Y 

APRESENTACAO 


"Fundamentos de Matematica Elementar'" 4 uma colegao em dez volumes 
elaborada com a pretensao de dar ao estudante uma visao global da Matematica, 
ao mvel da escola de 2? grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para 
o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames 
vestibulares, aos universitclrios que necessitam rever a Matematica Elementar e 
tamWm, como 4 6bvio, aqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha 
das ciencias". 

No desenvoIvimento dos inumeros capt'tulos dos livros de "Fundamentos" 
procuramos seguir uma ordem I6gica na apresentapao de conceitos e propriedades. 
Salvo algumas exce^oes bem conhecidas da Matematica Elementar, as proposigSes 
e teoremas estao sempre acompanhados das respectivas demonstragoes. 

Na estruturagao das series de exercicios, buscamos sempre uma ordenagao 
crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questdes 
que envolvem outros assuntos ja vistos, obrigando o estudante a uma revisao. A 
sequencia do texto sugere uma dosagem para teoria e exercicios. Os exercicios 
resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicagao 
sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a 
resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforgo positivo ou partir a 
procura do erro cometido. 

A Oltima parte de cada volume 4 constitui'da por testes de vestibulares at4 
1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisao da materia 
estudada. 

Queremos consigner aqui nossosagradecimentossinceros ao Prof. Dr. Fernando 
Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindTvel para que pud^ssemos homenagear 
nesta colegao alguns dos grandes matematicos, relatando fatos notaveis de suas 
vidas e sua obras. 

Finalmente, como h2 sempre uma enorme distancia entre o anseio dos autores 
e o valor de sua obra, gostarfamos de receber dos colegas professores uma apre- 
ciagao sobre este trabalho, notadamente os coment^rios cnticos, os quaiV-agra- 
decemos. 


Os autores 




INDICE 


CAPfTULO I - NOC0ES DE LOGICA 

^fcProp6$icao . 

^W .filegapao. 

JjJ'. Proposigao composta — conectivos. 

IV. Condicionais. 

V. Tautologias. 

VI. Proposigoes logicamente falsas. 

VII. Relagao de implicagao . 

VIII. Relagao de equivalence . 

IX. ^vtengas abertas. 

X. Ctorfo negar proposigoes. 

CAPlTULO II - CONJUNTOS 

lyAonjunto, elemento, pertinencia. 

M.jJ^escrigao de um conjunto. 

III. JJe>/ij unto unitario, conjunto vazio . 

IV. Conjunto universo. 

V. ponjuntos iguais . 

VI. Subconjuntos . 

VII. Reuniao de conjuntos . 

VIII. Intersecgao de conjuntos . 

IX. Propriedades. 

X, /Otiferenga de conjuntos. 

xf. Complementar de B em A. 

CAPlTULO III - CONJUNTOS NUMeRICOS 

I. Cofc^unto dos numeros naturais . S/. 

II. CoKjunto dos numeros inteiros . . 

III. Cipjunto dos numeros racionais . . v-\. 

IV. PoAjunto dos numeros reais . . . . 

V. I^tervalos . 

VI. Conjpnto dos numeros complexos . . 

VII. Re|krfno . 

VIII. Princfpicj da indugao finita. 


1 -A 

2- A 

3- A 
5-A 

8- A 

9- A 

10- A 

11- A 
1 2-A 
14-A 


19- A 

20- A 

22- A 

23- A 

25- A 

26- A 

29- A 

30- A 

31- A 
33-A 
33-A 


39- A 

40- A 
43-A 
46-A 
49-A 
52-A 

52- A 

53- A 































CAPfTULO IV - RELAQOES 

I. Par ordenado . 59-A 

II. Sistema cartesiano ortogonal . 60-A 

III. Produto cartesiano. 62-A 

IV. Relagao binaria. 65-A 

V. Domi'nio e imagem . 68-A 

VI. Relagao inversa . 70-A 

VII. Propriedades. 71-A 

CAPfTULO V - FUNgOES 

I. Conceito de fungao . 73-A 

II. Definigao. 74-A 

III. Notagao das fungoes. 77-A 

IV. Domi'nio e imagem . 80-A 

V. Fundoes iguais . 84-A 

APENDICE SOBRE INEQUAQOES . 86-A 

CAPfTULO VI - FUNQOES DO 1? GRAU 

I. Fungao constante. 93-A 

II. Fungao identidade . 94-A 

III. Fungao linear . 94_A 

IV. Fungao afim. 96-A 

V. Grafico . 96-A 

VI. Imagem .100-A 

VII. Coeficientes da fungao afim .101-A 

VIII. Zero da fungao afim.102-A 

IX. Fungoes crescentes e decrescentes .103-A 

X. Teorema.105-A 

XI. Sinai de uma fungao.106-A 

XII. Sinai da fungao afim .108-A 

XIII. Inequagoes simultaneas.112-A 

XIV. Inequagoes-produto.113-A 

XV. Inequagoes-quociente .120-A 

CAPITULO VII - FUNQAO QUADRATICA 

I. Definigao .123-A 

II. Parabola.123-A 

III. Concavidade.125-A 

IV. Forma canonica .125-A 


126-A 


VI. Maximos e rnmimos.130-A 

VII. Vertice da parabola ...131-A 

VIII. Imagem .133-A 

IX. Eixo de simetria .136-A 

X. Grafico .■.136-A 

XI. Sinai .140-A 

XII. Inequagoes do 2? grau .144-A 

XIII. Teorema.148-A 

XIV. Comparagao de um numero real com as 

raizes da equagao do 2? grau.150-A 

XV. Sinais das rai'zes da equagao do 29 grau .155-A 

CAPfTULO VIII - FUNQAO MODULAR 

I. Fungao definida por varias sentengas abertas .159-A 

II. Modulo.161 -A 

III. Fungao modular .161-A 

IV. Equagoes modulares.166-A 

V. Inequagoes modulares.168-A 

CAPITULO IX - OUTRAS FUNCOES ELEMENTARES 

I. Fungao f(x) = x 3 .171-A 

II. Fungao recfproca.172-A 

III. Fungao maximo inteiro.177-A 

CAPITULO X - FUNQAO COMPOSTA - FUNQAO INVERSA 

I. Fungao composta.181-A 

II. Fungao sobrejetora .187-A 

III. Fungao injetora.188-A 

IV. Fungao bijetora.189-A 

V. Fungao inversa.195-A 

APENDICE I 

Equagoes irracionais. 208-A 

APENDICE II 

Inequagoes irracionais .. 217-A 


RESPOSTAS DOS EXERCI'CIOS 


225-A 


TESTES . 

RESPOSTAS DE TESTES 


269-A 


315-A 


































































CAPlTVLO I 


De plebeu a principe 

Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De famflia 
humilde mas com o incentivo de sua mae obteve brilhantismo em sua carreira. 

Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que 
os alunos somassem os numeros de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta 
— 5050 — aparentemente sem calculos. Supoe-se que ja at' houvesse descoberto a 
formula de uma soma de uma progressao aritmetica. 

Gauss foi para Gottingen sempre contando com o auxflio financeiro do duque 
de Brunswick, decidindo-se pela Matematica em 30 de marpo de 1796, quando se 
tornou o primeiro a construir um poh'gono regular de dezessete lados somente com 
o auxflio de regua e compasso. 

Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de Helmstadt e sua tese foi a 
demonstrapao do "Teorema fundamental da Algebra", provando que toda equapao 
polinomial f(x)=0 tern pelo menos uma rafz real ou imaginaria e para isso baseou- 
se em considerapoes geometricas. 

Deve-se a Gauss a representapao grafica dos numeros complexos pensando 
nas partes real e imaginaria como coordenadas de um piano. 

Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritmeticas) e o principal 
responsavel pelo desenvolvimento e notapoes da Teoria dos Numeros, nele apresen- 
tando a notapao b=c (mod a), para relapao de congruence, que e uma relapao 
de equivalence. 

Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadratica classifi- 
cada por ele como a "joia da aritmetica" e demonstrando o teorema segundo o 
qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma so maneira como produto 
de primos. 

Descreveu uma vez a Matematica como sendo a rainha das Ciencias e a Arit¬ 
metica como a rainha da Matematica. 

No comepo do sec. XIX abandonou a Aritmetica para dedicar-se a Astrono- 
mia, criando um metodo para acompanhar a orbita dos satelites, usado ate hoje, 
e isto Ihe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatorio de Gottingen, 
onde passou 40 anos. 

Suas pesquisas matematicas continuaram em teoria das funpoes e Geometria 
aplicada 3 teoria de Newton. 

Em Geodesia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meio 
de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetometro bifiliar e o 
telegrafo eletrico. 

Sua unica ambipao era o progresso da Matematica pelo que lutou ate o 
momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatapao cardi'aca. 

Gauss morreu aos 78 anos e e considerado o "prfncipe da Matematica". 


NOgOES DE LOGICA 


I. PROPOSIQAO 
1. Definipao 

Chama-se proposiqao ou senten$a toda orapao declarativa que pode ser 
classificada de verdadeira ou de falsa. 

Observemos que toda proposipao apresenta tres caracteri'sticas obrigatbrias: 

1?) sendo orapao, tern sujeito e predicado; 

2?) e declarativa (nao e exclamativa nem interrogativa) 

3?) tern um, e somente um, dos dois valores logicos: ou e verdadeira 
(\/) ou e falsa (F). 


2. Exemplos 


Sao proposipoes: 


a) 9 =£ 5 

b) 7 > 3 

c) 2ez 

d) 3 I 11 

e) Z C (Q 


(Nove e diferente de cinco) 

(Sete 6 maior que tres) 

(Dois e um numero inteiro) 

(Tres e divisor de 11) 

(O conjunto dos numeros inteiros esta contido no conjunto dos 
racionais) 


Dessas proposipoes, todas sao verdadeiras exceto d. 


Nao sao consideradas proposipoes as frases: 

f) 3*5 + 1 (onde falta predicado) 

g) \f2 £E Q? (que e orapao interrogativa) 

h) 3x - 1 = 11 (que nao pode ser classificada em verdadeira ou falsa) 


1-A 



II. NEGAgAO 


3. A partir de uma proposigao p qualquer sempre podemos construir 
outra, denominada negagao de p e indicada com o si'mbolo 


Exempfos 


a) p: 

9 A 5 

b) p: 

7 > 3 

~p: 

9 = 5 

~p: 

7 < 3 

c) p: 

2 e z 

d) p: 

3 1 11 

^p: 

2 0 Z 

~p: 

3/11 


e) p: Z C Q 
■^p: Z gL o 


4. Para que ~p seja realmente uma proposigao devemos ser capazes de 
classifica-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) 
o seguinte criterio de classificagao: 


A proposigao ~p tern sempre o valor oposto de p, 
isto e, ~p e verdadeira quando p e falsa e ~p e falsa 
quando p e verdadeira. 


Este criterio esta resumido na tabela ao lado, 
denominada tabela-verdade da proposigao -~p. 



Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que ~p 4 verdadeira 
no exemplo d e ~p e falsa nos demais. 


EXERCI'CIOS 

A.1 Quais das sentengas abaixo sao proposigoes? No caso das proposigoes quais sao 
verdadeiras? 

a) 5 • 4 = 20 b) 5 - 4 = 3 

c) 2 + 7- 3= 5*4 + 3 d) 5(3 + 1) = 5 • 3 + 5 • 1 

e) 1 + 3 # 1 + 6 f) (-2) s > I-2) 3 

g) 3 + 4 > 0 h) 11 - 4 • 2 


2-A 


A.2 Qual e a negagao de cada uma das seguintes proposigoes? Que negagoes sao verdadeiras? 


a) 3 4 7 =. 21 b> 3 • (11 - 7) =jfc 5 

cl 3 4 2 + 1 > 4 d| 5-7 - 2 <5-6 

e) {l) 7 < ( l) 3 f) V2 < 1 

2 2 

g> - (-4) >7 hi 3 I 7 


III. PROPOSIQAO COMPOSTA - CONECTIVOS 

A partir de proposigoes dadas podemos construir novas proposigoes mediante 
o emprego de dois sfmbolos logicos chamados conectivos: conectivo A (le-se: 
e) e o conectivo V (le-se: ou). 

5. Conectivo A 

Colocando o conectivo A entre duas proposigoes p e q, obtemos uma 
nova proposigao, p A q, denominada conjungao das sentengas p e q. 

Exemplos 
1?) p: 2 > 0 

q : 2 i= 1 

p A q: 2>0 e 2=A1 

2?) p: -2 < -1 

q: <-2) 2 < (-1) 2 
p A q: -2 < -1 e (-2) 2 < (-1) 2 

3?) p: um quadrado de lado a tern diagonal medindo 2a 

q: um quadrado de lado a tern area a 2 

p A q: um quadrado de lado a tern diagonal medindo 2a e area 
a 2 . 

4?) p: 2 I 5 (2 e divisor de 5) 

q: 3 I 5 (3 e divisor de 5) 

p A p: 2 I 5 e 3l5(2e3 sao divisores de 5). 


6. Vamos postular um criterio para estabelecer o valor logico {V ou F) 
de uma conjungao a partir dos valores logicos (conhecidos) das proposigoes 
p e q: 


3-A 








Este criterio esta resumido na 
tabela ao lado, onde sao eVaminadas 
todas as possibilidades para p e q. 
Esta tabela 6 denominada tabela-ver- 
dade da proposigao p A q. 


Reexaminando os exemplos anteriores, temos: 

1?) p e V e q 6 V, entao p A q e V 

29) p e V e q e F, entao p A q 6 F 

3?) p e F e q e V, entao p A q 6 F 

49) p e F e q e F, entao p A q e F 



7. Conectivo V 

Colocando o conectivo V entre duas proposipSes p e q, obtemos uma 
nova proposigao, p V q, denominada disjungao das sentenpas p e q. 

Exemplos 

1?) p: 5 > 0 
q: 5 > 1 

pVq:5>0 ou 5>1 

29) p: 3 = 3 
q: 3 < 3 
P V q: 3 < 3 

39) p: 10 e numero primo 

q: 10 e numero composto 

p V q: 10 e numero primo ou numero composto 

49) p: 3? < 2 6 
q: 2 2 < (-3) 5 

p V q: 3 4 < 2 6 ou 2 2 < (-3) 5 


4-A 


8. Vamos postular urn criterio para decidir o valor logico {V ou F) de uma 
disjunpao a partir dos valores Idgicos (conhecidos) das proposipoes p e q: 


A disjunpao p V q e verdadeira se ao menos uma das pro- 
posipoes p ou q e verdadeira; se peq sao ambas fal- 
sas, entao p Vq e falsa. 


Este criterio esta resumido na 
tabela ao lado, denominada tabela- 
-verdade da proposigao p V q. 



Revendo os exemplos anteriores, temos: 

19) p e V e q e V, entao p v q e V 

29) p e V e q d F, entao p V Q ^ 

39) p d F e q e V, entao p V q e V 

49) p e F e q e F, entao p Vq e F 


EXERCICIO 

A.3 Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposipoes compostas: 

a) 3 > 1 e 4 > 2 

b) 3 > 1 ou 3=1 

c) 2 I 4 ou 2 I (4 + 1) 

d) 3(5 + 2) = 3 • 5 + 3 • 2 e 3 I 7 

e) — < — ou 5 I 11 

2 4 

f) (-1) 6 = -1 e 2 5 < (-2) 7 

g) V'Tff = 6 ou mdc (4, 7) = 2 


IV. CONDICIONAIS 

Ainda a partir de proposipoes dadas podemos construir novas proposipoes 
atraves do emprego de outros dois simbolos logicos chamados condicionais: 
o condicional se ... entao ... {sfmbolo: -►) e o condicional ... se e somente se ... 
(st'mbolo: >) 


5-A 







9. Conditional 


Colocando o conditional entre duas proposigoes peg, obtemos 
uma nova proposigao, p -*■ q, que se le: "se p entao q ", “p e condigao 
necessaria para q", “q e condigao suficiente para p". 

Exempt os 

1?) p: 2 14 v 

q: 4 112 

p -*■ q: 2 I 4 -> 4 I 12 

2?) p: 10 = 5• 2 
q: 3 110 

p q: 10 = 5 . 2 -► 3 I 10 
3?) p: 5 < 2 
q: 2 € Z 

p q: 5< 2 -> 2 GZ 

4?) p: 7 < 3 
q: 3 = 6-2 

p -> q: 7<3-+3=6-2 


10. Vamos postular um criterio de classificagao para a proposigao p -» q 
baseado nos valores Ibgicos de p e q: 


O conditional p -► q 6 falso somente quando p 6 ver- 
dadeira e q 4 falsa; caso contrario, p -> q e verdadeiro. 


Este criterio esta resumido na 
tabela ao lado, denominada tabela-ver- 
dade da proposigao p -> q 



Revendo os exemplos dados, temos: 


1?) 

P e 

V 

e 

q 

e 

V, 

entao 

P 

-> 

q 

e 

V 

29) 

P 6 

V 

e 

q 

e 

F, 

entao 

P 

—► 

q 

e 

F 

3?) 

P e 

F 

e 

q 

e 

V, 

entao 

P 

-► 

q 

e 

V 

4?) 

P e 

F 

e 

q 

e 

F, 

entao 

P 

->• 

q 

e 

V 


6-A 


11. Condicional 


Colocando o condicional entre duas proposigoes peg, obtemos 
uma nova proposigao, p<->q, que se le: "p se e somente se q", "p e condi* 
gao necessaria e suficiente para q", "q e condigao necessaria e suficiente 
para p" ou "se p entao q e reciprocamente". 

Exemplos 

1?) p: 2 I 12 

q: 2 - 7 I 12 - 7 

p q: 2 I 12 +-* 2 • 7 I 12 • 7 

2?) p: -3- = 1 

2 4 

q: 3- 4 # 6- 2 

p «—► q: — = — ► 3 • 4 6 • 2 

H 2 4 

3?) p: 6=12:3 
q: 3 • 6 = 18 

p <—*■ q: 6=12: 3 *—* 3*6= 18 

4?) p: 4 < 3 

q: 4 • 5 < 3 • 5 

p ► q: 4 < 3 +-+ 4 • 5 < 3 • 5 

12. Vamos postular para o condicional p *—► q o seguinte criterio de clas¬ 
sificagao: 



7-A 







Revendo os exemplos dados, temos: 


1?) 

P e 

V 

e 

q 6 

V, 

entao 

p q 

e 

\/ 

2?) 

P e 

1/ 

e 

q e 

F, 

entao 

p q 

e 

F 

3?) 

P e 

F 

e 

q e 

V, 

entao 

p «—■> q 

e 

F 

4?) 

P e 

F 

e 

q e 

F, 

entao 

p ^ q 

e 

V 


EXERCI'CIOS 

A.4 Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposigoes abaixo 

a) 2-1=1 -► 5 + 7 = 3 • 4 

b) 2 2 = 4 (-2) 2 = 4 

c) 5 + 7*1-10 -► 3*3 = 9 

d) mdc (3, 6) = 1 «—► 4 6 numero primo 

a) 2 I 8 -*■ mmc (2, 8) = 2 

f) 6 < 2 «-► 6 - 2 > 0 

g) “ <-| -*• 3 • 7 = 2 • 5 

5 7 

A.5 Admitipdo que p e q sao verdadeiras e r 6 falsa, determine o valor (V ou F) 
de cada proposigao abaixo. 

a) p -► r 

b) p ► q 

c) r -> p 

d) (p V r) «—> q 

e) p -► {q -> r) 

f) p->(q\/ r) 

g ) ~p *—* ~q 

h) —p > r 


V. TAUTOLOGIAS 

13. Seja v uma proposigao formada a partir de outras (p, q, r, mediante 
emprego de conectivos (V ou A) ou de modificador (~) ou de condicionais 
(-► ou «—-►). Dizemos que v e uma tautologia ou proposigao fogicamente 
verdad £ii3-. quando v tern o valor l6gico V (verdadeira) independentemente dos 
valores logicos de p, q, etc. 

Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta so V na coluna 

de v. 

8-A 


Exemplos 

1?) (p A ~p) 4(qVp)e yma tautologia pois 


p q 

-P 

p A —p q V P <P A ~P) -► (q V P) 

V V 

F 

F V V* 

V F 

F 

F V V ' 

F V 

V 

F V V 

F F 

V 

F F V 


2?) ~ (p A q) (~p V ~q) e uma tautologia pois 



VI. PROPOSIQOES LOGICAMENTE FALSAS 


14. Seja f uma proposigao formada a partir de outras (p, q, r, ...), mediante 
emprego de conectivos (VouA) ou de modificador M ou de condicionais 
(_> ou «—►). Dizemos que f e uma proposigao fogicamente falsa quando 
f tern o valor logico F (falsa) independentemente dos valores l6gicos de 
p, q, etc. 

Assim, a tabela-verdade de uma proposigao logicamente falsa f apresenta 
so F na coluna de f. 

Exemplos 

1?) p A ~p e proposigao logicamente falsa pois: 


P 

~p 

p A ~p 

V 

F 

F 

F 

V 

F 


9-A 






p 


q 


PV-q ~ P A q (pV-ql^hpAq) 


~P i -q 


V 

— 

V 

F 

F 

V 

F 

— 

F 

V 

F 

F 

V 

V 

F 

F 

F 

V 

V 

F 

F 

V 

F 

F 

F 

V 

V 

V 

F 

F 


VII. relacAo de implicaqao 

15. Dadas as proposigoes p e q, dizemos que “p implica q" quando na 
tabeia de p e q nao ocorre VF em nenhuma linha, isto e, quando nao 
temos simultaneamente p verdadeira e q falsa. 

Quando p implica q, indicamos p => q. 

16. Observances 


1?) Notemos que p implica q quando o condicional p q e verdadeiro. 

2?) Todo teorema e uma implicacao da forma 

hipotese => tese 



17. Exemplos 

1?) 2 I 4 => 2 ! 4 . 5 

significa dizer que o condicional "se 2 e divisor de 4, entao 2 e divisor de 
4*5" e verdadeiro. 

2?) p^e positive e primo => mdc (p, p 2 ) = p 
quer dizer que o condicional “se p e numero primo e positivo, entao o maximo 
divisor comum de pep 2 e p", e verdadeiro. 


10-A 


VIII. RELA£AO DE EQUIVALENCIA 


18. Dadas as proposigoes p e q, dizemos que “p e equivalente a q“ quando 
p e q tern tabelas-verdades iguais, isto e, quando p e q tern sempre o 
mesmo valor logico. 

Quando p e equivalente a q, indicamos: p <=> q. 

19. Observagoes 

1?) Notemos que p equivale a q quando o condicional p q 
e verdadeiro. 

2?) Todo teorema, cujo reci'proco tambem e verdadeiro, e uma equivalencia 



20. Exemplos 

1?) (p -+ q) <=> (~q -* ~p) 



2?) 2 I 8 <=> mdc (2, 8} = 2 significa dizer que e verdadeiro o bi- 

condicional “2 e divisor de 8 se, e somente se, o maximo divisor comum de 
2 e 8 e 2“. 


EXERCICIO 

A.6 Verificar, atraves das tabelas-verdades, a validade das equivalences abaixo: 


a) da conjungao 

p A q <=> q A P 
(p A q) A r <=> p A (q A r) 
p A p ■*=> P 
p A v <==> p 
p A f <=> f 


b) da disjungao 

p V q «=> q V P 
(p V q> V r <=► p V lq V r) 
p V P <=> P 
p V v <=> v 

p V f <=> p 


11-A 








c) da conjunpao relativamente a disjunpao 


d) da negapao 


P AfqV r) (pAQI V(PA r) 

p v A r) <=> (p v ql A *p V f ) 

PA(pVq) P 

P v <P A q) <=> p 


<=> p 

— (p A q) <=> ~p V ~q 
~(p v q) -p A —q 


onde p, q, r sao proposipoes quaisquer, v e uma tautologia e f lima proposipao 
logicamente falsa. 


IX. SENTENQAS ABERTAS, QUANTI FICADORES 

21. Ha expressoes como: 

a) x + 1 = 7 

b) x > 2 

c) x 3 = 2x 2 

que contem variaveis e cujo valor logico (verdadeira ou falsa) vai depender do 
valor atribufdo a variavel. 

Nos exemplos citados temos: 

a) x + 1 = 7 e verdadeira se trocarmos x por 6 e e falsa para qualquer outro 
valor dado a x; 

b) x > 2 e verdadeira, por exemplo, para 

c) x 3 = 2x 2 e verdadeira se trocarmos x por 0 (0 3 = 2 • 0 2 ) ou 2 (2 3 = 2 • 2 2 ) 
e e falsa para qualquer outro valor dado a x. 


22. Sente npas que contem variaveis sao chamadas fundoes proposicionais ou 
senten^as abertas. Tais sentenpas nao sao proposipoes pois seu valor logico 
(V ou F) e discutfvel, dependem do valor dado as variaveis. 

Ha, entretanto, duas maneiras de transformar sentenpas abertas em pro- 
posipoes: 

1?) atribuir valor as variaveis 
2?) utilizar quantificadores. 


23. 0 quantificador universal 

0 quantificador universal, usado para transformar sentenpas abertas em 
proposipoes, e indicado pelo simbolo V que se le: "qualquer que seja", "para 
todo", "para cada"\ 


Exemplos 

1?) (Yx)(x + 1 = 7) que se le: 

"qualquer que seja o numero x, temos x + 1 = 1". (Falsa) 

29) (Vx)(x 3 = 2x 2 ) que se le: 

"para todo numero x, x 3 = 2x 2 ". (Falsa) 

39) (Va) ((a + I) 2 = a 2 + 2a + 1) que se le: 

"qualquer que seja o numero a, temos (a + I) 2 = a 2 + 2a + 1". (Verdadeira) 

49) (Vy)(y 2 + 1 > 0) que se le: 

"para todo numero y, temos y 2 + 1 positivo". (Verdadeira) 


24. O quantificador existencial 

0 quantificador existencial e indicado pelo sfmbolo 3 que se le: "existe", 
"existe pelo menos um", "existe um". 

Exemplos 

19) (3 x)(x + 1 = 7) que se le: 

"existe um numero x tal que x + 1 = 7". (Verdadeira) 

29) (3x)(x 3 = 2x 2 ) que se le: 

"existe um numero x tal que x 3 = 2x 2 ". (Verdadeira) 

39) (3a)(a 2 + 1 < 0) que se le: 

"existe um numero a tal que a 2 + 1 e nao positivo". (Falsa). 

49) (31m)(m(m + 1) Y m 2 + m) que se le: 

"existe pelo menos um numero m tal que m(m + 1) ^ m 2 + m". (Falsa) 


25. Algumas vezes utilizamos tambem outro quantificador. 3 I que se le: 
"existe um unico, "existe um e um so", "existe so um". 

Exemplos 

19) (3lx)(x + 1 = 7) que se le: 

"existe um so numero x tal que x + 1 = 7". (Verdadeira) 

29) (31x)(x 3 = 2x 2 ) que se le: 

"existe um so numero x tal que x 3 = 2x 2 " (Falsa) 

39) (3 Ix)(x + 2 > 3) que se le: 

"existe um so numero x tal que x + 2 > 3". (Falsa) 


12-A 


13-A 



EXERCICIO 


Exemplos 


A.7 


Transforme as seguintes sentengas abertas em proposigdes verdadeiras usando quan- 
tificadores: 

a) x 2 - 5x + 4 = 0 bMa + lHa - 1) = a 2 - 1 

c) X + X ^ X d) Vm 2 + 9 =£ m + 3 

3 4 7 


e) -(-x) = x 
g) y/7 = X 


f) 5a + 4 < 11 



a 


1?) p: o triangulo ABC e isosceles 

q: o triangulo ABC e equilatero 

p V q: o triangulo ABC e isosceles ou equilatero 
— (p V q): o triangulo ABC nao 6 isosceles e nao e equilatero 

2?) p: a = 0 

q: b = 0 

p Vq ; a = 0 ou b=0 
~(p V q): a^O e b =£ 0 


X. COMO NEGAR PROPOSIQOES 

Ja vimos o que e a negagao de uma proposigao simples, no item II deste 
capi'tulo. 

Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercicio A.6, os quais cons- 
tituem processos para negar proposigoes compostas e condicionais. 

26. Negagao de uma conjungao 

Tendo em vista que ~(pA q) <==► ~p V ~q, podemos estabelecer que 

a negagao de p A q e a proposigao ~p V ~q. 

Exemplos 

1?) p: a A 0 

q: b =£ 0 

p Aq: a^O e b^O 
— (p A q): a = 0 ou^ b = 0 

2?) p: 2 I 4 

q: 3 I 9 

pAq: 2 I 4 e 3 l 9 
~(p A q): 2 /4 ou 3/K9 

27. Negagao de uma disjungao 

Tendo em vista que -~(p V q) <=> (~P A -q), podemos estabelecer 
que a negagao de p V Q e a proposigao — p A 


28. Negagao de um condicional simples 

Ja que ~<p -+ q) <=> p A ~q, podemos estabelecer que a negagao 
de p q e a proposigao p A ~q- 

Exemplos 

19) p: 2 GZ 
q: 2GQ 

p-»q: 2 EZ 2G C! 

~(p -> q): 2 62 e 2 <£ Q 

2°) p: 5 2 = (—5) 2 
q: 5 = -5 

P -*• q: 5 2 = (-5) 2 -*• 5 = -5 
~(p q): 5 2 = (-5) 2 e 5 ¥= -5 


29. Negagao de proposigdes quantificadas 

a) Uma sentenga quantificada com o quantificador universal, do tipo 
(Vx)(p(x)), e negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e 
nega-se p(x), obtendo: (3x)(~p{x)). 


Exemplos 


19) 

sentenga: 

(Vx)(x + 3 = 5) 


negagao: 

(3x){x + 3^5) 

29) 

sentenga: 

(Vx)(x(x + 1) = x 2 + x) 


negagao: 

{3x)(x(x + 1) ¥=■ x 2 + x) 


14-A 


15-A 



3?) sentenga: (Vx)(V x 2 + 1 = x + 1) 

negagao: (3 x)(V x 2 + 1 =£ x + 1) 

4?) sentenga: Todo losango 6 um quadrado 

negagao: Existe um losango que nao 4 quadrado 

b) Uma sentenga quantificada com o quantificador existencial, do tipo 
(3x)(p(x)), e negada assim: substitui-se o quantif icador pelo universal e 
nega*se p(x), obtendo: (Vx)(~p(x)). 


Exemplos 


i?) 

sentenga: 

(3 x)(x = x) 


negagao: 

(Vx)(x =£ x) 

2?) 

sentenga: 

O a)(a + -1 > -L) 
2 3 


negagao: 

Walla + 1 < 1) 

3?) 

sentenga: 

(3 a)( — G IR) 
a 


negagao: 

<Va)(l i IR) 


EXERCICIO 

A.8 Dizer qual 6 a negagao de cada proposigao abaixo: 

a) mdc (2, 3) = 1 ou mmc {2, 3) 6 

b) — = — ou 3 • 10 6 • 5 

5 10 

c) >1 e -3>~7 

d) 2 2 = 4 -* VT = 2 

e) (-3) 2 = 9 -> V9" ^ -3 

f) 2 < 5 -► 3 2 < 5 2 

g) IVxHx > 2 3 X > 3 2 ) 
h> (3 x)(VT<0 

i) Todo numero inteiro primo 6 fmpar 

j) Todo triangulo isdsceles 6 equildtero 

k) Existe um losango que nao 6 quadrado 

l) Existe um numero cuja raiz quadra da 6 zero 

m} Todo triangulo que tern tres angulos congruentes, tern tres lados congruentes 
A.9 Classificar em V ou F as negacoes construfdas no exercfcio anterior. 


16 -A 



Criado um novo paraiso 


Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a 
maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristaos de ascendencia 
judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da 
Teologia medieval. 

Estudou em Zurich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, 
Fi'sica e Matematica. 

Possuindo grande imaginagao, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim, 
com uma tese sobre Teoria dos Numeros. 

Muito atrai'do pela Analise, sua preocupagao estava voltada para a ideia de 
"infinito”, que ate 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matema¬ 
tica mas sem se chegar a uma conclusao precisa. 

Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionario artigo 
que ate mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia reconhecido a proprie- 
dade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrario de Dedekind, percebeu 
que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos 
conforme suas potencias. 

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tern a me|ma potencia 
que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondence bium'voca; 
provou que o conjunto de todas as fragoes e contavel ou enumeravel e que a po¬ 
tencia do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitario e igual & potencia 
do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitario. 

Alguns destes resultados eram tao paradoxais que o propio Cantor, certa vez 
escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas nao acredito", e pediu ao seu 
amigo que verificasse a demonstragao. Seus incrfveis resultados levaram ao esta- 
belecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matema'tica comple- 
tamente desenvolvida, de profundos efeitos no ensino. 



Georg F. L. P. Cantor 
(1845 - 1918) 


Os matematicos da epoca duvidavam 
da teoria da infinidade completa de Cantor, 
mas este, juntando as provas, construiu 
toda uma aritmetica transfinita. 

Cantor passou a maior parte de sua 
carreira na Universidade de Halle, de pouca 
importancia, nunca conseguindo realizar 
uma de suas grandes aspiragoes que era a 
de ser professor na Universidade de Berlim, 
devido a perseguigao de Kronecker. 

O reconhecimento de suas realizagoes 
mereceram a exclamagao de Hilbert: "Nin- 
guem nos expulsara do parai'so que Cantor 
criou para nos". 


CAPITULO II 


CONJUNTOS 


Faremos aqui uma revisao das principals nocoes da teoria dos conjuntos, 
naquilo que importa a Matematica Elementar. Em seguida usaremos estas nogoes 
para apresentar os principals conjuntos de numeros. 

I. CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA 

30. Na teoria dos conjuntos tres nogoes sao aceitas sem definigao, isto e, 
sao consideradas nogoes primitivas: 

Va) conjunto 
I b) elemento 

/ c) pertinencia entre elemento e conjunto 

A nocao matematica de conjunto e praticamente a mesma que se usa na 
linguagem comum: e o mesmo que agrupamento, classe, colegao, sistema. Eis 
alguns exemplos: 

1) conjunto das vogais 

2) conjunto dos algarismos romanos 

3) conjunto dos numeros impares positivos 

4) conjunto dos planetas do sistema solar 

5) conjunto dos numeros primos positivos 

6) conjunto dos naipes das cartas de um baralho 

7) conjunto dos nomes dos meses de 31 dias 

Cada membro ou objeto que entra na formagao do conjunto e chamado 
elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: 

1) a, e, i, o, u 

2) I, V, X, L, C, D, M 

3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... 

4) Mercurio, Venus, Terra, Marte, ... 

5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 

6) paus, ouro, copas, espada 

7) janeiro, margo, maio, julho, agosto, outubro, dezembro 


19-A 



No exemplo 3, cada numero impar e elemento do conjunto dos numeros 
fmpares, isto e, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto 
dos numeros fmpares e 2 nao pertence. 


Um elemento de urn conjunto pode ser uma letra, urn numero, urn nome, 
etc. i. importante n otar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. 
Por exemplo, o conjunto das selepQes que disputam um campeonato mundial 
_de futebol & um conjunto formado por equipes que, por sua vez, sao conjuntos 
de jogadores. 


31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiuscula A, B, C, ... 
e um elemento com uma letra minuscula a, b, c, d, x, y, ... . 


Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto 
A, escrevemos 


x e a 


Para indicar que x nao e elemento do conjunto A escrevemos 

x £ A 

32. Ei habitual representar um conjun¬ 
to pelos pontos interiores a uma linha 
fechada e nao entrelapada. Assim, na 
representapao ao lado temos: 

a G A. b G A e d £ A. 



No caso de usarmos um cfrculo 
para representar um conjunto, estaremos 
usando os assim chamado diagrama de 
Euler-Venn. 



II. DESCRIQAO DE UM CONJUNTO 

Utilizamos dois recursos principals para descrever um conjunto e seus 
elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou 
damos uma propriedade caracterfstica dos elementos do conjunto. 


20-A 


33. Quando um conjunto e dado pela enumerapao de seus elementos devemos 
indicci-lo escrevendo seus elementos entre chaves. 

Exemptos 

1) conjunto das vogais {a, e, i, o, u} 

2) conjunto dos algarismos romanos {I, V, X, L, C, D, M} 

3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias 

{janeiro, marpo, maio, julho, agosto, outubro, dezembro} 

Esta notapao tambem 6 empregada quando o conjunto e infinito: escrevemos 
alguns elementos que evidenciem a lei de formapao e em seguida colocamos 
reticencias. 

Exemp/os 

1) conjunto dos numeros fmpares positivos 

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 

2) conjunto dos numeros primos positivos 

{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} 

3) conjunto dos multiplos inteiros de 3 

{0, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ...} 

A mesma notapao tambem e empregada quando o conjunto e finito com 
grande numero de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos re¬ 
ticencias e indicamos o ultimo elemento. 

Exempt os 

1) conjunto dos numeros inteiros de 0 a 500 

{o, 1, 2, 3. 500} 

2) conjunto dos divisores positivos de 100 

{1, 2, 5, 10, ... , 100} 

34. Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda¬ 
de caracterfstica P de seus elementos x, escrevemos 

A = {x I x tern a propriedade P} 

e lemos: "A 6 o conjunto dos elementos x tal que x tern a propriedade P". 


21-A 



Exemp/os 

1) {x|x 6 estado da regiao sul do Brasil} 4 uma maneira de indicar 

o conjunto: 

{Parana, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} 

2) {x I x e divisor inteiro de 3} e uma maneira de indicar o conjunto: 
(1, -1, 3, -3} 

3) {x I x e inteiro e 0 < x < 500} pode tambem ser indicado por: 

{0, 1, 2, 3. 500} 


IV. CONJUNTO - UNIVERSO 

37. Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matem^tica, admitimos 
a existencia de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados 
no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. 

Assim, se procuramos as solugoes reais de uma equapao, nosso conjunto* 
universo e IR (conjunto dos numeros reais); se estamos resolvendo um 
problema cuja solupao vai ser um numero inteiro, nosso conjunto-universo 
e Z (conjunto dos numeros inteiros); se estamos resolvendo um problema de 
Geometria Plana, nosso conjunto-universo e um certo piano a. 


III. CONJUNTO UNITARIO. CONJUNTO VAZIO 


38. Quase sempre a resposta para algumas questoes depende do universo U 
em que estamos trabalhando. Consideremos a questao: “qual e o conjunto dos 
pontos P que ficam a igual distancia de dois pontos dados A e B, sendo 
A =£ B?” 


35. Definigao 


Chama-se conjunto unitario aquele que possui um unico elemento. 
Exemplos 

1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1} 

2) conjunto das solugoes da equagao 3x + 1 = 10: {3} 


3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Urugua 
{Rio Grande do Sul} 


1 


36. Definigao 

Chama-se conjunto vazio aquele que nao possui elemento algum. 0 si'mbolo 
usual para o conjunto vazio e 0. 

Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto atraves de 
■ima propriedade P logicamente falsa. 

Exemplos 

1) {x I x =£ x} = 0 

2) {x I x e fmpar e multiplo de 2} = 0 

3) {x I x > 0 e x < 0} = 0 


1) Se U e a reta AB, o con¬ 
junto procurado e formado so por P; 


2) Se U e um piano contendo 
A e B, o conjunto procurado e a 
reta mediatriz do segmento AB; 


3) Se U e o espago, o conjunto 
procurado e o piano mediador do segmen¬ 
to AB (piano perpendicular a AB 
no seu ponto medio). 




39. Portanto, quando vamos descrever um conjunto A atraves de uma 
propriedade P, e essencial fixarmos o conjunto-universo U em que estamos 
trabalhando, escrevendo 

A = {x 6 Ulx tern a propriedade P} 


22-A 


23-A 




EXERCICIOS 


A. 10 De os elementos dos seguintes conjuntos: 

A = {x I x 6 letra da palavra "matem£tica"} 

B = {x 1 x 6 cor da bandeira brasileira} 

C - {x I x 6 nome de estado que comepa com “a"} 

Solupao 

A = {m, a, t, e, i, c} 

B = {branco, azul, amarelo, verde} 

C = {amazonas, amapi, acre, alagoas} 

A. 11 Descreva atravds de uma propriedade caracterfstica dos elementos cada um dos 
conjuntos seguintes: 

A = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 

B * {O, 1, 2.9} 

C * {brasflia, rio de janeiro, Salvador} 

Solucao 

A * {x I x 6 inteiro, par e nao negativo} 

B * {x I x 6 algarismo ar$bico} 

C = {x I x 6 nome de cidade que \& foi capital do Brasil} 

A.12 Escreva com sfmbolos: 

a) conjunto dos multiplos inteiros de 3, entre -10 e +10 

b) conjunto dos divisores inteiros de 42 

c) conjunto dos multiplos inteiros de 0 

d) conjunto das frapdes com numerador e denominador compreendidos entre 0 e 3 

e) conjunto dos nomes das capitais da regiao centro-oeste do Brasil 

A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos 

A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} B = {o, -10, -20, -30, -40, ...} 

C = {l, 4, 9, 16, 25, 36, ...} D = {Lua} 

A.14 Quais dos conjuntos abaixo sao unitdrios? 

A = {x I x < — e x> —} B = (x I 0 • x = 2} 

4 5 

C = {x [ x 6 inteiro e x 2 = 3} D = {x I 2x + 1 = 7} 

A. 15 Quais dos conjuntos abaixo sao vazios? 

A = (x I 0 • x = 0} 

B = {x I x > — e x < — } 

4 5 

C = (x i x e divisor de zero} 

D = {x I x 4 divisfvel por zero} 


24-A 


V. CONJUNTOS IGUAIS 


40. Definipao 

Dois conjuntos A e B sao iguais quando todo elemento de A pertence 
a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em sfmbolos: 



Exemp/os 

1) {a, b. c, d} = {d, c, b, a} 

2) {1, 3, 5, 7, 9, ...} = (x I x e inteiro, positivo e fmpar} 

3) (x | 2x + 1 = 5} = {2} 

Observemos que na definipao de igualdade entre conjuntos nao intervem 
a nopao de ordem entre os elementos, portanto: 

{a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d} 

Observemos ainda que a repetipao de um elemento na descripao de um 
conjunto 6 algo absolutamente inutil pois, por exemplo: 

{a, b, c, d} = {a, a, b, b, b, c, d, d, d, d} 

(para conferir basta usar a definipao). Assim, preferimos sempre a notapao mais 
simples. 

41. Se A nao e igual a B, escrevemos A ^ B. £ evidente que A e dife- 
rente de B se existe um elemento de A nSo pertencente a B ou existe em B 
um elemento n«fo pertencente a A. 

Exemplo 

(a, b, d} ^ {a, b, c, d} 

25-A 




VI. SUBCONJUNTO 

42. Definipao 

Um conjunto A e subconjunto 
de um conjunto B se, e somente se, 
todo elemento de A pertence tambem 
a B. 

Com a notapao A C B indicamos 
que “A e subconjunto de B" ou “A 
esta contido em B" ou "A e parte de B". 

0 sfmbolo C e denominado sin a/ de inc/usao. 

Em si'mbolos, a definipao fica assim: 

AC B <=> (Vx)(x E A => x E B) 



Exempios 

1) {a, b} C {a, b, c, d} 

2) {a} C {a, b} 

3) {a, b} C { a# b} 

4) {x I x e inteiro e par} C (x I x e inteiro} 


43. Quando A C B, tambem podemos 
escrever BDA que se le "B contemA". 


Com a notapao A 0 B indicamos 
que "A nao esta contido em B", isto 
e, a negapao de AC B. 

E: evidente que A 0 B somente 
se existe ao menos um elemento de A 
que nao pertence a B. 

Assim, por exemplo, temos: 

1) {a, b, c} 0 {b, c, d, e} 

2) {a, b} 0 {c, d, e} 

3) {x I x e inteiro e par} 0 {x“| x 4 inteiro e primo} 



44. Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos: 

A = B <=> (Yx)(x E A *=> x E B) 

Nesta definipao esta explicito que todo elemento de A e elemento de 
B e vice-versa, isto e, A C B e B C A, portanto, podemos escrever: 

A = B <==> (A C B e B C A). 

Assim, para provarmos que A = B devemos prov ar que A C B e BC A.^ 

45. Propriedades da inclusao 

Sendo A, B e C tres conjuntos arbitrarios, valem as seguintes propriedades: 

1?) 0 C A 

2?) A C A (reflexiva) 

3?) (ACB e B C A) => A = B (anti-simetrica) 

4?) (ACB e B C C) => A C C (transitiva) 

A demonstrapao dessas propriedades e imediata com excepao da 1? que 
passamos a provar. Para todo x, a implicapao 

x G 0 =» x E A 


46. Conjunto das partes 


Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A — notapao 
gf(A) — aquele que e formado por todos os subconjuntos de A. Em si'mbolos: 

^(A) = {X I X C A} 

Exempios 

1?) Se A = {a} os elementos de^(A) sao 0 e {a}, isto e: 

^(A) = {0, {a}} 

2?) Se A = (a, b} os elementos de ^(A) sao 0, {a}, {b} e (a, b}, 
isto e: 

^(A) = {0, {a}, {b}, {a, b}} 

3?) Se A = (a, b, c} os elementos de$(A) sao 0, {a}, {b}, {c}, 

{a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto e: 

S^(A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b f c}} 

Provaremos mais adiante (capi'tulo III) que se A e um conjunto finito 
com n elementos, entao ^(A) tern 2 n elementos. 


26-A 


27-A 




EXE RCICIOS 


A. 16 Dados A = {l, 2, 3, 4} e B = {2, 4 }, pede-se: 

a) escrever com os sfmbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentengas: 


1®) 

3 

£ elemento 

de A 

2?) 

1 nao esta em B 

3?) 

B 

6 parte de 

A 

4?) 

B e igual a A 

5?) 

4 

pertence a 

B 




b) classificar as sentengas anteriores em falsa ou verdadeira. 


Solugao 


1 a ) 

3 E A 

(V) 

2?) 

1 0 B 

(V) 

3?) 

B C A 

(V) 

4?) 

B = A 

(F) 

5?) 

4GB 

(V) 


A. 17 Sendo A = {l, 2 }, B = \2, 3}, C = 1.1* 3, 4} e D = i 1, 2, 3, 4}, classificar em 
V ou F cada sentenga abaixo e justificar: 

a) ACd b) A C b c)BCC 

d) D D B e) C = D f) A^C 

Solugao 

a) V pois 1 E A, 1 E D, 2 E A e 2 E D 

b) F pois 1 € A e 1 0 B 

c) F pois 2 6B e 2 0 C 

• d) V pois 2EB, 2GD, 3 Eb e 3^0 

e) F pois 2 € D e 2 0 C 

f) V pois 2 £ A e 2 0 C 

A.18 Quais das igualdades abaixo sao verdadeiras? 

a) \a, a, a, b, b} = {a, b] 

b) {x I x 2 = 4 } = {x I x ^ 0 e x 3 - 4x = 0 } 

c) {x i 2x + 7 = 11 } = { 2 } 

d) \x I x <C 0 e x ^ 0 } = 0 


A.19 Dizer se 6 verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentengas abaixo. 

a) 0 ^ { 0 , 1, 2, 3, 4} f) a E {a, {a}} 

b) {a} E {a, b} g) {a} C {a, \a}} 

c) 0£{o) h) 0 C {0, {a}} 

d) 0 £0 ^ i) 0£ {0, {a}} 

e) ;a} C 0 j) {a, b} E {a, b, c, d} 


A.20 Fazer urn diagrama de Venn que simbolize a situagao seguinte: A, B, C, D sao conjun- 
tos nao vazios, D C C C B C A. 

A.21 Construir o conjunto das partes do conjunto A = {a, b, c, d}. 


28-A 


VII. REUNIAO DE CONJUNTOS 


47. Definigao 

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reuniao de A e B o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. 



0 conjunto A U B (le-se "A 
reuniao B" ou "A u B'') e formado 
pelos elementos que pertencem a pelo 
menos um dos conjuntos A e B. 

Notemos que x e elemento de 
A U B se ocorrer ao menos uma das 
condigoes seguintes: 

x E A ou x E B. 

Exemp/os 

1) {a, b} U {c, d} = {a, b, c, d} 

2) {a, b} U {a, b, c, d} = {a, b, c, d} 

3) {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e} 

4) (a, b, c} U 0 = {a, b, c} 

5) 0 U 0 = 0 

48. Propriedades da reuniao 

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 

1^) A U A = A (idempotente) 

2?) A U 0 = A (elemento neutro) 

3?) A U B = B U A (comutativa) 

4?) (A U B) U C = A U (B U C) (associativa) 

Demonstra$ao 

Fazendo A = {x I x tern a propriedade p} ou, simplesmente 
A = 1 x I p(x)} e, ainda: B = {x I q(x)}, C = {x I r(x)} e 0 = {x 1 f(x)} 
onde f e proposipao logicamente falsa, temos: 

A U A = {xl p(x) ou p(x)} = {x I p(x)} - A 
Analogamente, as demais decorrem das propriedades das proposipoes vistas 
no exerci'cio A.6. 



29-A 





VIII. INTERSECQAO DE CONJUNTOS 


49. Definipao 

Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseepao de A e B o con- 
junto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. 


A H B = {x I x G A e x G B} 


0 conjunto A O B (le-se "A 
inter B") e formado pelos elementos 
que pertencem aos dois conjuntos (A e 
B) simuftaneamente. 

Se x <E A fl B, isto significa 
que x pertenee a A e tambem x 
pertence a B. 0 conectivo e colocado 
entre duas condipoes significa que elas 
devem ser obedecidas ao mesmo tempo. 

Bxemp/os 

1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c} 

2) {a, b} D {a, b, c, d} = {a, b} 

3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c} 

4) {a, b} O {c, d } = 0 

5) {a, b} D 0 = 0 



50. Propriedades da interseepao 

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 

1?) AH A = A (idempotente) 

2?) A O U = A (elemento neutro) 

3?) A fl B = B n A (comutativa) 

4?) A fl (B fl C) = (A fl B) D C (associativa) 

Como mostramos para a operapao de reuniao, estas propriedades sao tambem 
demonstraveis com auxflio do exerci'cio A.6. 


30-A 


Quando A D B = 0, isto e, quando os conjuntos A e B nao tern 
elemento comum, A e B sao denominados conjuntos disjuntos. 

IX. PROPRIEDADES 

52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, 
que inter-relacionam a reuniao e a interseepao de conjuntos: 

1?) A U (A n B) = A 
2?) AO(AUB) = A 
3?) A U (B n C) = (A U B) n (A U C) 

(distributive da reuniao em relapao a interseepao) 

4?) A Pi (B U C) = (A H B) U (A D C) 

(distributiva da interseepao em relapao a reuniao). 

Demonstremos, por exemplo, a 1? e a 3?: 

A U (A O B) = {x I p(x) V (p(x) A q(x))} = {x I (p(x))} = A 

A U (B H C) = {x I p(x) V (q(x) A r(x))} = {x I (p(x) V q(x)) A (p(x) V r{x))} 

= {x I p(x) V q(x)} n {x I p(x) v r(x)} = (A U B) O (A U C) 

EXERCICIOS 

A.22 Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {c, e}, determinar AUB, 

A U C, B U C e AUBUC, 

A.23 Provar que A C (A U B), V A. 

Solupao 

x G A => x G A ou x G B 

6 uma implicapao verdadeira, V x, portanto: AC (A U B) 

A.24 Classificar em V ou F: 

a) 0C(AUB) b) (AUB)CA 

c) A G (A U B) d) (AUB)C(AU B) 

e) B C (A U B) f) (AUB)C(AUBUC) 

admitindo que A, B e C sao conjuntos quaisquer. 

A.25 Determinar a reuniSo dos clYculos de raio r, contidos num piano 0: e que tSm 
urn ponto comum 0 G a. 


31-A 




X. 


DIFERENQA DE CONJUNTOS 


A.26 Determinar a reuniao das retas da um piano O' qua sao paralelas a uma dada reta 
r de a. 

A.27 Dados os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {b, c, d, e} e C = {c, e, f }, pede-se 
descrever A H B, A H C, B DC e A fl B H C, 

A.28 Provar que (A H B) C A, V A. 

Solupao 

x €: (A O B)=> (x G A e x £ B) ==> x A 

6 uma implicapao verdadeira, Vx, portanto (A H B) C A. 

A.29 Classificar em V ou F 

a) 0 C (A n B) 

c) A G (A H B) 

e) (A O B) C B 
admitindo que A, B e C 

A.30 Consideremos os conjuntos: 

K = conjunto dos quadrilateros pianos 

p = {xGkIx tem lados 2 a 2 paralelos} 

L = {x G K I x tem 4 lados congruentes} 

R = {x G K I x tem 4 angulos retos} 

Q = {x G K I x tem 2 lados paralelos e 2 angulos retos} 

Pede-se determinar os conjuntos: 

a) l n p c) l n R e) L H Q 

b) R n p d) Q H R f) P U Q 

A.31 Dados os conjuntos A = {l, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {l, 2, 4}, determinar 

o conjunto X tal que X U B = A U C e X H B = 0, 

Solupao 

a) X U B - {l, 2, 3, 4} entao os possfveis elementos de X sao: 1, 2, 3 e 4. 

b) X H B = 0 => 3^X e 4 ^ X 
Conclusao X = { 1 , 2 } 

A.32 Determinar o conjunto X tal que 

{a, b f c, d} U X = {a, b, c, d, e}, {c, d } U X = {a, c, d, e} e 
{b, c, d} O X = {c}. 


b) AC(AOb) 
d) (A n B) C (A n B) 

f) (a n b) 3 (a n b n o 

sao conjuntos quaisquer. 


53. Definiqao 

Dados dois conjuntos A e B, cha- 
ma-se diferenga entre A e B o con¬ 
junto formado pelos elementos de A 
que nao pertencem a B. 

A-B = {x|xGA e x^B} 
Exemplos 

1} {a, b, c} - {b, c, d, e} = {a} 

2) {a, b, c} - {b, c} = {a} 

3) {a, b} - {c, d, e, f} = {a, b} 

4) {a, b} - {a, b, c, d, e} = 0 


XI. COMPLEMENTAR DE B EM 

54. Definipao 

Dados dois conjuntos A e B, tais 
que B C A, chama-se complementar de 
B em relacao a A o conjunto A - B, 
isto e, o conjunto dos elementos de A 
que nao pertencem a ^B. 

Com o si'mbolo 

Ca ou A 

indicamos o complementar de B em relapao a A. 

Notemos que so e definido para B C A e ai temos: 




A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um de 
cada vez, os seguintes conjuntos: 

xx 


Pa = A - B 

a) A n B n C cl A U (B n C) 

b) A O (B U C) dl AUBUC 

(bJj w 


L/A 


32-A 


33-A 







Exemplos 

D Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, entao: 

Cl = < a ' b > 

2) Se A = {a, b, c, d} = B, entao: 

3) Se A = {a, b, c, d} e B = 0, entao: 

Ca = f a ' b > c - d > = A 

55. Propriedades da complementapao 

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades: 

1?) Ca n B = 0 e Ca u B = A 
2? > Ca = a C? " A 

3? > Ca< Ca» = 3 

«) Ci? ° c> = C> C£ 

«> Ck BUCI = cs* cs 

Provemos, por exemplo, a 2? e a 4?: 

Ca = {x e a | X £ A} = 0 
Ca = {x e A | X £ 0} = A 

C A n C) =tx£A|x^Bnc}={x£A|x^8 ou x £ C} = 
= {x e a | X (2 B} u {x e A | X £ c} = Ca u Ca 


exerci'cios 

A.34 Sejam os conjuntos A = {a. b, c, d}, B = {c, d, e, f, g} e C = {b, d, e, g}. 
Determ inar: 

a) A - B c) C - B e) A - (B fl C) 

b > B "A d) (A UCI-B f) (AUBl-IAHC) 


A.35 Provar que (A - B) C A, V A. 

Solupao 

A implicapao x (A - B) =>(x E A e x B) => x E A 
4 verdadeira para todo x, entao (A - B) C A. 

A.36 Classificar em V ou F as sentenpas: 

a) (A - B) D 0 b) (A - B) U (A O B) = A 

c) (A-B) C B d) (A-B) C (A U B) 

admitindo que A e B sao conjuntos quaisquer. 

A.37 Dados os conjuntos A = {], 2, 3, 4, 5}, B = {l, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}, 
obter um conjunto X tal que XCA e A - X = B H C. 

A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de 
t cada vez, os seguintes conjuntos: 

a) A - B 

b) A-AUB 

c) B U A 

d) A U B 

e) A H B 

f) B H A 


A. 39 Provar que A - B = A O B onde A e B sao conjuntos quaisquer do universo U. 

Solupao 

A implicapao 

x E (A-B) ==> (x 6 A e x ^ B) =* x E A e xGB=> 

=> x E A H B 4 verdadeira, Vx, portanto, esta provado. 

A.40 Classificar em V ou F as seguintes sentenpas: 

a) (A-B) U (B - A) - (A U B) - (A O B) 

b ) A C B => ( CB) C ( CA) 

c) (A-B) C ( C A) 

d) (A-B) C ( CB) 

EXERCICIOS SUPLEMENTARES 

A.41 Descrever os elementos dos conjuntos abaixo: 

A = {x | x 2 - 5x - 6 = o} 

B = {x | x 4 letra da palavra "exercfcio”} 

C = {x | x 2 - 9 = 0 ou 2x - 1 = 9} 

D = {x | 2x + 1 = 0 e 2x? - x - 1 = 0} 

E = {x | x 4 algarismo do numero 234 543} 



34-A 


35-A 




A.42 Seja E - {a, {a}}. D izer quais das proposicoes abaixo sao verdadeiras. 

a) a € E 

b) {a} € E 

c) a C E 

d) {a} C E 

e) 0G E 

f) 0 C E 

A.43 Sejam A e B dois conjuntos finitos. Provar que 

n A U B = n A + n B ” n A H B • 

O st'mbolo representa o numero de elementos do conjunto X. 

A.44 Em uma escola que tern 415 alunos, 221 estudam ingles, 163 estudam Frances e 52 es- 
tudam ambas as Ifnguas. Quantos alunos estudam Ingles ou Frances? Quantos alunos 
nao estudam nenhuma das duas? 

A.45 Sendo A, B e C conjuntos finitos, estabelecer uma formula para calcular n AUB UC‘ 

A.46 Uma populagao consome tres marcas de sabao em po: A, B e C. Feita uma pesquisa 
do mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: 


A.49 Dados dois conjuntos 
junto AAB tal que: 


Pede-se: 

a) determinar 

b) provar que 

c) provar que 

d) provar que 


A e B, chama-se diferenga simdtrica de A com B o con- 


AAB = (A - B) U (B - A) 


{a, b, c, d} A {c, d, e, f, g} 

AA0 = A, para todo A 
aAa = 0, para todo A 
aAb = bAa, para A e B quaisquer 


e) assinalar em cada diagrama abaixo o conjunto AAB: 



A.50 Desenhar urn diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, B, C e D nao 
vazios de modo que se tenha 

A 0 B, B 0 A, C D (A U B) e D C (A O B> 


marca 

A 

B 

C 

Ae B 

BeC 

C e A 

-! 

A, B e C : 

nenhuma das tres 

numero de 

consumidores 

109 

203 

162 

25 

41 

28 

5 

115 


Pede-se: 

a) numero de pessoas consultadas 

b) numero de pessoas que so consomem a marca A 

c) numero de pessoas que nao consomem as marcas A ou C 

d) numero de pessoas que consomem ao menos duas marcas. 

A.47 Determinar os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes seis condigoes: 

1?) A U B U C = {z, x, v, u, t, s, r, q, p} 

2?) A H B - {r, s} 

39 ) b n C ■= {s, x} 

43] C n A = {s, t} 

5?) A U C = {p, q, r, s, t, u, v, x} 

6?) A U B = {p, q, r, s, t, x, z} 

A.48 Em certa comunidade ha indivfduos de tres ragas: branca, preta e amarela. Sabendo que 
70% sao brancos e 210% nao sao pretos e 50% sao amarelos, pergunta-se: 

a) quantos indivfduos tern a comunidade? 

b) quantos sao os indivfduos amarelos? 


36-A 


37-A 




CAPITULO III 


CONJUNTOS 

NUMERICOS 


I. CONJUNTOS DOS NUMEROS NATURAIS 

56. Chama-se conjunto dos numeros naturais — sfmbolo N — o conjunto forma- 
do pelos numeros 0, 1, 2, 3, . . . 

N = {0, 1,2,3,...} 


57. Neste conjunto sao definidas duas operacoes fundamentais a adi<pao e a mul- 
tiplicapao, que apresentam as seguintes propriedades: 

[A. 1 ] associativa da adigao 

(a + b) + c = a + (b + c) 
para todos, a, b, c £ N. 

[A.2] comutativa da adigao 

a + b = b + a 
para todos a, b E N. 

[A.3] elemento neutro da adicao 
a + 0 = a 
para todo a £ N 

[M.1 ]associativa da multiplicagao 
(ab)c = a(bc) 
para todos a, b, c £ N 

[Ni.2) comutativa da multiplica<;ao 
ab = ba 

para todos a, b £ N 


39-A 



[M.3]e/eme/7fo neutro da muitiplicapao 
a * 1 = a 

para todo a G M 

[D] Distributiva da muitiplicapao relativamente a adipao 
a{b + c) = ab + ac 
para todos a, b, c G N 

58. Veremos que os proximos conjuntos numericos a serem apresentados sao 
ampliapoes de N, isto e, contem N, tem uma adipao e uma multiplicapao com as 
propriedades formais ja apresentadas e outras mais, que constituem justamente o 
motivo determinante da ampliapao. 

Assim, dado um natural a ^ 0, o simetrico de a nao existe em M: 
-a G N. 0 resultado disso 6 que o si'mbolo a - b nao tem significado em N 
para todos a, b G M, isto 6, em W a subtrapao nao 6 uma operapao. Venceremos 
esta dificuldade introduzindo um novo conjunto num^rico. 

II. CONJUNTO DOS NUMEROS INTEIROS 

59. Chama-se conjunto dos numeros inteiros — sfmbolo 2! — o seguinte conjunto: 

-3. -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 

60. No conjunto Z distinguimos tres subconjuntos notaveis: 

= {0, 1, 2, 3, ...} = N 
(chamado conjunto dos inteiros nao negativos) 

= {0, -1, -2, -3, ...} 

(chamado conjunto dos inteiros nao positivos) 

**={..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 

(chamado conjunto dos inteiros nao nulos) 

61. No conjunto Z sao definidas tambem as operates de adipao e multiplicapao 
que apresentam, al6m de [At], [A2], [A3], [Ml], [M2], [M3] e D, a proprie- 
dade: 


[A.4] simetrico ou oposto para a adipao 

Para todo a G Z existe -a G Z tal que 
a +. (-a) = 0 

Devido a propriedade [A4], podemos definir em Z a operapao de sub- 
trapao, estabelecendo que a - b = a + (-b) para todos a, b G Z. 

62. Os numeros inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada 
atraves do seguinte procedimento: 

a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto 0 (origem) 
que representa o inteiro 0 (zero) 

0 

b) a partir de 0, no sentido positivo, marcamos um segmento unitario 

u =£ 0 cuja extremidade passara a representar o inteiro 1 

_ u , _^ 

0 1 

c) para cada inteiro positivo n, a partir de 0, marcamos um segmento de 
medida nu no sentido positivo cuja extremidade representara n e marcamos um 
segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representara o 
inteiro -n. 

O resultado e este: 

- 4 - 3 - 2-10 1 2 3 4 

- i —- f -—f-»- \ -1-1-1-1-► 

uu u u uuuu 

63. Uma importante nopao que devemos ter sobre numeros inteiros e o con- 
ceito de divisor. 

Dizemos que o inteiro a e divisor do inteiro b — sfmbolo alb — quando 
existe um inteiro c tal que ca = b. 


a | b <=> (3c G Z 1 ca = b) 


Exemplos 

1) 2 | 12 

pois 

6*2 = 12 

2) 3 1 -18 

pois 

(-6) • 3 = -18 

3) -5 | 20 

pois 

(-4) (-5) = 20 

4) -2 I -14 

pois 

7 • (-2) = -14 

5) 4 1 0 

pois 

0*4=0 

6) 0 1 0 

pois 

1*0 = 0 


40-A 


41-A 




64. Quando a e divisor de b dizemos que “b e divisfvel por a" ou “b e 
multiplo de a". 

Para um inteiro a qualquer, indicamos com D(a) o conjunto de seus di- 
visores e com M(a) o conjunto de seus multiplos. 

Exemplos 

1) 0(2) = {1, -1, 2, -2} M{2) = {0, ±2, ±4, ±6, ...} 

2) D(-3) = { 1 , -1, 3, -3} M(-3) = {0, ±3, ±6, ±9, . . .} 

3) D(0) = Z M(0) = {0} 

65. Dizemos que um numero inteiro p 6 primo quando p 0, 1 e -1 e 
D(P) = {1, “1, P, -p}. 

Exempt os 

2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7 sao primes. 


EXERCICIOS > 

A.51 Quais das proposipoes abaixo sao verdadeiras? 

a) 0 G fSl b)(2- 3) G W c) N Cz 

d) fcl U = Z e) Z+ n = 0 f) (- 3)2 e z_ 

g)<-4> (-5) €/Z+ h) 0 G Z_ i) ( 5 - 11 ) G* 

A. 52 Descrever os seguintes conjuntos: D(6), D(-18), D(-24) H D(16), M(4), M(10) e 
M(-9) n M(6). 

A.53 Quais dos seguintes elementos de Z nao sao primos: 12, -13, 0, 5, 31, -1, 2,-4, 1, 
49 e 53? 

A.54 Sendo a e b dois numeros inteiros, pergunta-se: 

a) D{a) e D(b) podem ser disjuntos? 

b) Que nome se da a um inteiro m tai que D(a) O D(b) = D(m)? 

c) Quando D(a) O D{b) = {l,-1}, qual 6 a relagao existente entre a e b? 

d) Em que caso ocorre M(a) C M(b)? 

e) Em que caso ocorre M(a) H M(b) = M(ab)? 

f) Que nome se da a um inteiro n tal que M{a) O M{b) = M(n)? 

A.55 Deter mi nar os seguintes numeros inteiros: 

a) mdc(2, 3) b) mdc(-4, 6) 

c) mdc<-6,-14) d) mmc(2, 3) 

e) mmc(-4,6) f) mmc(-6,-14) 


42-A 


III. CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS 


66. Dado um numero inteiro q i=- 1 e -1, o inverso de q nao existe em 
Z: -i- ^ Z. Porisso nao podemos definir em Z a operaqao de divisao, dando 

significado ao simbolo — Vamos superar esta dificuldade introduzindo os nume- 

q 

ros racionais. 


67. Chama-se conjunto dos numeros racionais — si'mbolo Q — o conjunto dos 
pares ordenados (ou frapoes) —, onde a G Z e b G Z*, para os quais 


adotam-se as seguintes definipoes: 


(i) igualdade: 


b d 


ad = be 


.... „ a . c ad + be 

(h) adicao: -- + — = ——— 
b d bd 


(iii) multiplicacao: 


a_ c _ ac 
b d bd 


68. No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos: 
(D+ = conjunto dos racionais nao negativos 

<Q_ = conjunto dos racionais nao positivos 

<D* - conjunto dos racionais nao nulos 


69. Na frapao —, a e o numerador e b o denominador. Se a e b sao 
b 


primos entre si, isto e, se mdc(a, b) = 1, dizemos — e uma frapao irredu- 

b 

, , A . ,^ 2 3 7 6 

tivel. Assim, as frapoes —, — e — sao irredutiveis mas — nao e: 


43-A 




44-A 


[M.4] simetrico ou inverso para a mu/tip/icagao 

3 3 

para todo — G Q e — =£ 0, existe 
b b 

b _ ~ , a b 

— G (Q tal que — • — = 1. 
a b a 

Devido a propriedade [M.4], podemos definir em <D*, a operacao de di- 

3 0 3cl 3 Q 

visao, estabelecendo que — t — = ♦ — para — e — racionais quaisquer 

b d b c b d 

nao nulos. 


72. Notemos finalmente que todo numero racional — pode ser representado 

por um numero decimal. Na passagem de uma notagao para outra podem ocorrer 
dois casos: 

19) o numero decimal tern uma quantidade finita de algarismos, isto e, e 
uma decimal exata. 

Exemp/os 

T**i-** To' ° 05 - m ' 

29) o numero decimal tern uma quantidade infinite de algarismos que se re- 
petem periodicamente, isto e, e uma dfzima periodica. 

Exemp/os 

-i = 0,333... = 0,285714285714... 

s3 / 


EXERCICIOS 


A.56 Quais das seguintes proposigoes sao verdadeiras? 


a) N C Q 


d) 517 G <D 
g ) 1 e Q-Z 


b) Z C (D 

e ) 0,474747 . . . G <Q 


h) — G 


21 121 131 

j) — b irredutfvel k > ^ < TbO 


0 {f 


y e <D-Z 


-r G <Q 


45-A 



A.57 Colocar na forma de uma fra^ao irredutfvel os seguintes numeros racionais: 0,4; 
0,444. . . ; 0,32; 0,323232 . . . ; 54,2; 5,423423423 . . . 

a cd s'* i , * , 15 11 18 47 

A.58 Colocar em ordem crescente os numeros racionais seguintes: —, —, —, 1, — 

16 12 19 48 


A.59 Mostrar que se r t e r^ sao racionais e r x < r 2 , entao existe urn racional r 
tal que r* < r < r 2 . 

3 

A.60 Representar sobre uma reta orientada os numeros racionais seguintes: -2, , -1, 

1 n 2 i 4 o 7 6 

"4' °' r r 2 ‘ ~3 e T- 


IV. CONJUNTO DOS NUMEROS REAIS 


73. Dado um numero racional — e um numero natural n > 2, nem sempre 
n/^ e racional. Por exemplo, V~2 ^ Q o que e provado facilmente assim: 

(i) admitamos que a fragao irredutfvel seja tal que y/~2 = — ; 

b b 

(ii) - y/~2 => a 2 = 2b 2 => a 2 e par => a e par 

(iii) fazendo a = 2m, com m GZ, temos: 

a 2 = 2b 2 => (2m) 2 = 2b 2 =*• b 2 = 2m 2 => b 2 e par => b e par 
e isto e absurdo pois mdc(a, b) = 1. 

Vamos agora in^roduzir um conjunto numerico que contem Q e onde a 
radiciapao pode ser definida. 


74. Chama-se conjunto dos numeros reais IR — aquele formado por todos os 
numeros com representacao decimal, isto e, as decimals exatas ou periodicas 
(que sao numeros racionais) e as decimals nao exatas e nao periodicas (chamadas 
pumeros irracionais). 

Assim, todo racional e numero real 

(Q C IR 

e, alem dos racionais, estao em R numeros como: 


46~A 


\T2 = 1,4142136. . . 

7T =3,1415926... 
a = 1,010010001.. . 

chamados numeros irracionais. 


Se quisermos outros numeros irracionais, poderemos obte-los, por exemplo, 
atraves da expressao \fp onde p e primo e positivo. Sao irracionais: 

VI, Vs, VI, etc. 

Outro recurso para constru 9 ao de irracionais e usar o fato de que se a e 

irracional ere racional nao nulo, entao: a + r, a • r, — e — sao todos 

r a 


irracionais. 


Exemp/os 


sao irracionais. 


75. Alem de (D, destacamos em IR tres outros subconjuntos 

R+ = conjunto dos reais nao negativos 
R_ = conjunto dos reais nao positivos 
IR* = conjunto dos reais nao nulos. 


76. As operates de adi 9 §o e multiplica 9 ao em IR gozam das mesmas pro- 
priedades vistas para o conjunto <D. Em R e tambem definida a opera 9 ao 
de subtra 9 §o e em R* e definida a divisao. Com a introdu 9 ao dos numeros 
irracionais, a radicia 9 ao e uma opera 9 ao em IR + , isto e, *\Ta G R para todo 
a G IR+. 


77. Ja vimos que os numeros inteiros podem ser representados por pontos de 
uma reta 


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 



u 


Analogamente, os numeros racionais nao inteiros tambem podem. Se qui¬ 
sermos, por exemplo, representar o numero y sobre a reta, marcamos a par- 

tir de 0 um segmento de medida yu no sentido positivo. A extremidade desse 


47-A 



segmento representa —. Na figura abaixo representamos sobre a reta varios 
numeros racionais. 


- 3 - 2-1 0 12 3 



Os numeros racionais, entretanto, nao preenchem completamente a reta, 
isto e, ha pontos da reta que nao representam racional algum. Por exemplo, entre 
os pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto que representa \J~2 = 1,414215. . . 
(irracional). 

Quando representamos tambem sobre a reta os numeros irracionais, cada 
ponto da reta passa a representar necessariamente um numero racional ou irra¬ 
cional (portanto, real), isto e, os reais preenchem completamente a reta. 



Esta reta, que representa IR, e chamada reta real ou reta numerica. 


78. Na reta real os numeros estao orde- 
nados. Um numero a e menor que qual* 
quer numero x colocado a sua direita e 
maior que qualquer numero x a sua es- 
querda. 



EXERCICIOS 


A.61 Quais das proposipoes abaixo sao verdadeiras? 


a) 3 G IR 


b) N C |R 


d) j G IR - <Q e) y/4 G |R - <D 

g) ( V 2 - 3 V^3) e IR - Q h) G IR - (Q 

\/5 


c) 2 C |R 


f) \/4 G |R - Q 

i) 3V ^ G Q 
5 V 2 


A.62 Provar que se a, b, c, d sao racionais, p 6 primo positivo e 
entao a = c e b = d. 


bV^ = c + dVpT, 


Solupao 

a + b'v/p' = c + d\/p~ <==> (b - d) \/p = c - a 

Como c - a 6 racional, a ultima igualdade s6 subsiste quando (b - dlV^p" G Q, 
isto 6, se b - d = 0. Neste caso, c - a =0, provando a tese. 


48-A 


A.63 Mostrar que V4 + 2\/~Z = 1 + s/~3 . 

A.64 Mostrar que existem a e b racionais tais que \/l8 - 8 y /2 = a + b\/2. 

A.65 Dados dois numeros x e y reais e positivos, chama-se m6dia aritm^tica de x com 

x + y , j — 

y o real a - —-— e chama-se media geometrica o real g = V xy . Mostrar 

que a > g para todos x, y G IR+. 


A.66 Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos: 
A = {x G |R | 1 < x < 2} 

B = {x G IR | 0 < x < 3} 

C - {x G IR j x < 0 ou x > 2} 

D = {x G |R [ -l’< x < 0 ou x > 3} 


V. INTERVALOS 

79. Dados dois numeros reais a e b, com a < b, definimos: 

a) intervalo aberto de extremos a e b e o conjunto 

] a, b [ = {x G IR | a < x < b} 
que tambem pode ser indicado por a-b. 

b) intervalo fechado de extremos a e b e o conjunto 

[a, b] = {x G IR | a < x < b} 
que tambem pode ser indicado por ai—ib. 

c) intervalo fechado a esquerda (ou aberto a direita) de extremos a e b 
e o conjunto 

[a, b [ = {x G IR | a < x < b) 
que tambem pode ser indicado por ai—b. 

d) intervalo fechado a direita (ou aberto a esquerda) de extremos a e b 
. e o conjunto 

] a, b] = {x G R l a < x < b} 
que tambem pode ser indicado por a—ib. 


49-A 



80. Os numeros reais a e b sao denominados, respectivamente, extreme in¬ 
ferior e extremo superior do intervalo. 

81. Exemplos 

19} ]2, 5[ = {x G IR | 2 < x < 5} e intervalo aberto 
29) [-1, 4] = {x E IR | -1 < x < 4} e intervalo fechado 
2 2 

39) [~, 7 [ = {x G IR | — < x < 7} e intervalo fechado a esquerda 

49) ] " 2 “# y/~2\ ={x£IR|---<x< \/~2} e intervalo fechado a direita. 

82. Tambem consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos” assim 
definidos: 

a) ]-«, a[ = {x G IR | x < a} 

que podemos tambem indicar por - oo-a. 

b) ]-oo, a] = {x E IR | x < a} 

que tambem podemos indicar por - oo-i a . 

c) ]a, + oo[ = {x € IR | x > a} 

que tambem podemos indicar por a-+ oo. 

d) [a, + oo[ = {x € R | x > a} 

que tambem podemos indicar por ai-+ oo. 

e) ]-oo ( + oo[ = |R 

que tambem podemos indicar por -oo-+ oo. 

83. Os intervalos tern uma representapao geometrica sobre a reta real como segue: 


a b 



50-A 


EXERCICIOS 


^.67 Descrever, conforme a nota<?ao da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos: 
[-1. 3], [0, 2 [, ]-3, 4[, ]-», 5[ e [ 1, + <*>[. 

V.68 Utilizando a representa^ao grSfica dos intervalos sobre a reta real, determinar 
A O B e A U B sendo A = [o, 3] e B = [l, 4] 


Solupao 



entao A O B = [l, 3] e A U B = [0, 4] 

\.69 Descrever os seguintes conjuntos: 

a) [0, 2] H [i, 3] 

b) [0, 2] n ]1, 3[ 

H fl n ]0.|[ 

d) ]-o° ( 2] n [0, + oo[ 

e) [-1 , + oo[ n [-J , 2 ( 

t) [i, 2 ] n [o, 3] n [-i, 4) 

V.70 Determiner os seguintes conjuntos: 

a) [-1, 3] U [0, 4] 

b) 1-2, 1] U ]0. 5[ 

c) H. 3] U [3. 5] 

[-f 0[ U 

k.7t Sendo A = [0, 5[ e B=]l,3[, determinar Q® 


51-A 



VI. CONJUNTO DOS NUMEROS COMPLEXOS 


84. Em IR+ a radiciagao e uma operagao, isto e, Va € IR+ qualquer que 
seja o real a nao negativo. Assim, por exemplo, V~2 , \/~S, , \J~^ e 

sao numeros reais. 

Desde que o fndice da raiz seja impar, os radicals da forma \T- a, 
onde a € IR + , tambem representam numeros reais. E o caso, por exemplo, de 
\T\, V^32 e V^3 

Se o radicando e negativo e o fndice da raiz e par, entretanto, o radical 
V-a nao representa elemento de IR. Por exemplo, V-l nao e real, pois: 

\T~\ = x =* -1 = x 2 

e isto e impossfvel pois se x 6 R, entao x 2 > 0. 


85. Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao sfmbolo 
VI, para todo numero a, introduzindo no volume F desta colegao o con* 
junto C dos numeros complexos do qua I IR 6 um subconjunto. 


VII. RESUMO 


86. Os conjuntos numericos podem ser representados esquematicamente pela 
figura abaixo: 



52-A 


Observemos que N 'C £ C <Q C R CC. 

Notemos tambem que: 

/Z - N = conjunto dos numeros inteiros negativos 

(Q - /Z = conjunto dos numeros racionais n£o inteiros. 

R - (Q = conjunto dos numeros reais irracionais. 

Finalmente lembremos das principals operagoes definidas em cada conjunto: 

fcJ: adigao e multiplicapao 

-Z: adigao, multiplicagao e subtrapao 

O: adigao, multiplicapao, subtrapao e divisao 

IR. adigao, multiplicapao, subtrapao, divisao e radiciagao (para reais nao ne* 
gativos) 


VIII. PRINCIPIO DA INDUQAO FIISIITA 

87. A indugao vulgar (generalizagao de propriedade apos verificagao de que a 
propriedade e valida em alguns casos particulares) pode conduzir a serios enganos 
na Matematica. Vejamos dois exemplos: 

19) Consideremos a relapao y = 2 2n + 1 definida para n G N. 
Temos: 


n = 

0 


y = 2 2 ° 

+ 

1 

= 2 1 

+ 

1 

= 3 

n = 

1 


y = 2 21 

+ 

1 

= 2 2 

+ 

1 

= 5 

n = 

2 


y = 2 22 

+ 

1 

ii 

ro 

■t* 

+ 

1 

= 17 

n = 

3 


y = 2 23 

+ 

1 

= 2 8 

+ 

1 

= 257 

n = 

4 


M 

CM 

II 

> 

+ 

1 

_ 2 16 

+ 

1 

= 65 537 


Os numeros y encontrados sao numeros primos. Fermat (1601-1665) acre- 
ditou que a formula acima daria numeros primos qualquer que fosse o valor 
inteiro positivo atribufdo a n. Esta indugao e falsa pois Euler (1707-1783) 
nostrou que para n = 5 resulta y = 2 2 * + 1 = 2 s2 + 1 = 429496^297 = 
= 641 x 6700417, isto e, resulta um numero divisivel por 641 e que, portanto, 
lao e primo. 


53-A 



^ n 3 3n 2 7n _ 

29) Dada a relagao y = - — + — —r- + 3, definida para todo 

6 2 3 

n E M*, temos: 

« I 3 3 • I 2 7 • 1 0 -1+9-14+18 _ 

n = 1 => y = - — + —--— + 3 = --- = 2 

6 2 3 6 

„ 2 3 3 • 2 2 7 * 2 0 -8 + 36-28 + 18 

6 2 3 6 

^ 3 3 3 • 3 2 7*3 „ -27 +81 -42 + 18 

n = ^ ==> V = —6 + 2-3 + 3 = -e- = 5 

4 3 3 • 4 2 7 - 4 „ -64 + 144-56 + 18 

n = 4=*y = --+-2 -T" + 3 " -6- =? 

Poderi'amos tirar a conclusao precipitada: "y e numero primo, V nE hi*''. 
Esta indugao tambem e falsa pois: 


5 3 3 • 5 2 7 * 5 0 -125 + 225-70+ 18 _ 

n = 5 ■*V-- T + — "3- + 3 - - r - =8 


88. £ necessario, portanto, dispor de um metodo com base logica que permita 

decidir sobre a validade ou nao de uma indugao vulgar. 

Consideremos, por exemplo, a igualdade: 

1 + 3 + 5 + . . . + (2n - 1) = n 2 (n E W*) 

que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros numeros fmpares positivos 
e n 2 ." 

Vamos verificar se ela e verdadeira: 
n s 1 => 1 = I 2 (V) 

n = 2 => 1 + 3 = 4 = 2 2 (V) 

n = 3 =*> 1 + 3 + 5 = 9 = 3 2 (V) 


n = 10 => 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 10 2 (V) 

Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificagao ate n = 1 000 000 
nao estara provado que a formula vale para todo n natural, pois podera existir 
um n > 1 000 000 em que a formula falha. 


54-A 


89. Para provarmos que a relagao e valida para todo n E hJ* empregamos o 
princi'pio da indugao finita (P.I.F.) cujo enunciado segue: 

Uma proposigao P(n), ap/icavel aos numeros naturais n, e verdadeira 
para todo n ^ N, n > n 0 , quando: 

19) P(n 0 ) e verdadeira, isto e, a propriedade e valida para n = n 0f e 

29) Se k E N, k > n 0 e P(k) e verdadeira, entao P(k + 1) tambem 
e verdadeira. 


90. Provemos, por exemplo, que: 

1 + 3 + 5 + . . . + (2n - 1) = n 2 (n 6 N*) 

19) Verifiquemos que P(1) e verdadeira 

n = 1 => 1 = I 2 

29) Admitamos que P{k), com k E N # , seja verdadeira: 

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) * k 2 (hipotese da indugao) 
e provemos que decorre a validade de P(k + 1), isto e: 

1 + 3 + 5+...+ (2k-1) + [2(k + 1) - 1] = (k+1) 2 
Temos: & 

1 +3 + 5 + ... + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) - k 2 + 2k + 1 = (k + 1) : 


EXERCICIOS 


Demonstrar usando o princfpiosda indugao finita. 


A.72 1 + 2 + 3+. .. + n = > 6 N * 


A.73 2 + 5 + 8 + . . . + -v-. + (2 + 3n) =| n(4 * 3n) , V n E ty 


A.74 2° + 21 + 2 2 + . . . n E M* 

^A.75 I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = n|n + j 11 (2n * 11 , V n £ ftl 


A.76 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = [ n(n | - ] 2 , V n £ HI 


56-A 



A.77 8 | (3 2n - 1), V n 6 fcJ 


Solupai 

1?) P(1) e verdadeira pois 8 | (3 2 - 1) 

29) Admitamos que P(k), k G fcT, seja verdadeira 

8 I {3 2k - 1) (hipotese da indupao) 

O I ,~2(k + 1 ) . , 

e provemos que o | (3 - 1): 

3 2(k + _ 1 = 3 2k + 2 - 1 = 3 2k • 3 2 - 1 = 3 2k (8+ 1) - 1 - 8 • 3 2k + (3 2k - 1) 

entao 

=» 8 |(8 • 3 2k + 3 2k - 1) => 8 | (3 2(k+ - 1) 


8 | 8 ■ 3 2k 
8 | (3 2k - 1) 


A.78 6 | n(n + 1) (n + 2), V n G N. 

A. 79 2 I In 2 + n), V n G N. 

A.80 3 | (n 3 + 2n), V n G fcl. 

A.81 (1 + 1){1 + ~) {1 + -?-) • • • • * (1 + —) = n + 1, V n G |^|* 
2 4 n 


J- + -L- + -L- 

1 - 2 2 - 3 3 -4 


n(n + 1) 


V n G M- 


A.83 1»2 + 2*3+3*4+... + n(n + 1) = n(n + ^ <n * — , V n G fcj' 


A.84 2n > n + 1. V n G M* 

Solupao 

19) P(1) e verdadeira pois 2 • 1 ^ 1 +1 

2?) Admitamos que P(k), k G N*, seja verdadeira: 
2k ^ k + 1 (hipotese da indugao) 
e provemos que 2{k + 1) ^ (k + 1) + 1 
Temos: 

2(k + 1) = 2k + 2 > (k + 1) + 2 > (k + 1) + 1 
A.85 2 n > n, V n G N 

4 

A.86 I 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 > , V n G N*. 

4 

A.87 (1 + a) n ^ 1 + na,V n G M*, V a G |R, a ^ -1 


56-A 



provemos que ela vale para um poh'gono de k + 1 lados: 

. (k + 1) [(k + 1) - 3] (k + 1) (k - 2) 

Quando passamos de um polfgono com k vertices para um de k + 1 vertices, acres- 
centando mais um vertice, ocorre o seguinte: 

(i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonals do segundo; 

(ii) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundo; 

(iii) no segundo ha k - 2 novas diagonais (as que partem do novo v6rtice). 

Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadrilatero para um pentagono 



AC e BD sao diagonais -► AC e BD continuam diagonais 

AD 6 lado -* AD se transforma em diagonal 

EB e EC sao diagonais 


j , . „ k(k - 3) . . , k - 3k + 2k - 2 <k + 1)(k-2> 

d k+i = d k + 1 + (k-2) = —-- + k - 1 = --- = - - - 

A. 89 A soma das medidas dos angulos internos de um polfgono convexo de n lados 6 
S n = (n -2) • 180°. 


A.90 Se A e um conjunto finito com n elementos, entao conjunto das partes 

de A, tern 2 n elementos. 


57-A 





Desvendado misterio da continuidade 


Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma famflia luterana de 
Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gottingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu 
doutoramento com uma tese sobre Cilculo, elogiada at6 por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e 
dedicou-se ao ensino secunddrio em Brunswick at6 os ultimos anos de sua vida. 

Preocupado com a natureza das fungoes e dos numeros, concentrou-se no problems 
dos numeros irracionais desde 1858 quando dava aulas de Calculo, publicando seu livro mais 
c^lebre, “A Continuidade e os Numeros Irracionais”. 

Uma de suas grandes duvidas era sobre o que hi na reta geometries contfnua que a 
distingue dos numeros racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclui'do que entre dois 
pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, os numeros racionais formam um 
conjunto denso mas nao contmuo. 

Relendo, Dedekind observou que a essencia da continuidade da reta nao esta ligada a 
densidade mas a natureza da divisao da reta em duas partes, que chamou classes, atravis de um 
unico ponto sobre a reta. A essa cjivisao da reta chamou "schnitt" ou "corte", que passaria a ser 
o apoio da Anilise, pois com essa observagao "o segredo da continuidade seria revelado". 

Dedekind viu tambim que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondence 
bium'voca com os numeros reais, o que conseguiu ampliando conjunto dos racionais. Esta 
conclusao 6 conhecida por n6s como Axioma de Cantor-Dedekind. 

Mais uma de suas observagoes foi sobre o 
teorema fundamental dos limites, achando que 
para obter-se uma demonstragao rigorosa deste 
conceito era necessario desenvolve-lo somente atra- 
ves da Aritmetica, sem interference de metodos 
geometricos embora estes tenham sido responsa- 
veis por seus brilhantes resultados. 

Em 1879 foi o primeiro a dar uma definigao 
explfcita de corpo numerico como sendo uma co- 
legao de numeros que formam um grupo abeliano 
(comutativo) em relagao a adigao e multiplicagao, 
no qual a multiplicagao e distributiva em relagao a 
adigao. Este conceito, que foi fundamental para o 
desenvolvimento da Algebra, tambem e responsavel 
pelo teorema dos inteiros algebricos, bem como 
introduziu na Aritmetica o conceito de “ideal''. 

Dedekind viveu tantos anos depois de sua 
celebre introdugao dos “cortes" que a famosa 
editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de 
setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que 
viveu mais doze anos e escreveu ao editor que 
passara a data em questao em converse estimulan- 
te com seu amigo Georg Cantor. 



Julius W. R. Dedekind 
(1831 - 1916) 


CAPITULO IV 

RELAgOES 


I. PAR ORDENADO 

91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2}, 
{3, -1), {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de con- 
juntos, observamos que inverter a ordem dos elementos nao produz um novo par: 

{1, 2} = {2, 1}, {3, -1} = {-1, 3}, {a, b} = {b, a}. 

Em Matematica existem situates, onde ha necessidade de distinguir dois 
pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equagdes 

[x+v=3 

L x - v =. 1 

x = 2 e y = 1 e solupao ao passo que x = 1 e y = 2 nao e solugao. 
Se representassemos por um conjunto teriamos: {2, 1} seria solugao e {1,2} 
nao seria solugao. Ha uma contradipao, pois sendo {2, 1} = (1, 2}, o mesmo con¬ 
junto e e nao e solugao. Por causa disso dizemos que a solugao e o par ordenado 
(2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incognita 
x e o segundo elemento 1 refere-se a incognita y. 


92. Admitiremos a nogao de par ordenado como conceito primitivo **. Para ca- 
da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existencia de um terceiro 
elemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha 


(a, b) = {c, d) <=> a = c e b = d 


(*) Poderi'amos definir par ordenado como Kuratowski fez: 

(a, b) = {{a}, (a, b} } 
mas isto ficaria fora do ni'vel deste curso. 


58-A 


59-A 




II. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 


93. Consideremos dois eixos x e y 
perpendiculares em 0, os quais deter- 
minam o piano a. 

Dado um ponto P qualquer, Pe a. 
conduzamos por ele duas retas: 

x'//x e y' // y 

Denominemos P x a intersecpao de 
x com y' e P 2 a intersecqao de y com 
x\ 

Nestas condigoes definimos: 

a) abscissa de P e o numero real xp representado por Pi 

b) ordenada de P e o numero real yp representado por P 2 

c) coordenadas de P sao os numeros reais x p e y p , geralmente indi- 
cados na forma de um par ordenado ( x p , y p ) onde x p e o primelro termo. 

d) eixo das abscissas e o eixo x (ou Ox) 

e) eixo das ordenadas e o eixo y (ou Oy ) 

f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) 
e o sistema xOy 

g) origem do sistema e o ponto 0 

h) piano cartesiano e o piano a 


yz 

‘p y ' 

v 2 

a 

p 


^1 p 


_ 

0 


Pi ^ 


94. Exemplo 


Vamos localizar os pontos 
A(2, 0), B(0, -3), C(2, 5), D(-3, 4) 
E(-7, -3), F(4, -5), G(|, |) e 



no piano cartesiano lembrando que, no 
par ordenado, o primeiro numero repre- 
senta a abscissa e o segundo a ordenada 
do ponto. 



95. Teorema 

Entre o conjunto dos pontos P do piano cartesiano e o con junto dos 
pares ordenados ( x p , y p ) de numeros reais existe uma correspondence bium'vo- 
ca. 


Demons tragao 
19 Parte 

As definipoes dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P G o, 
corresponde um unico par de pontos [P it P 2 ) sobre os eixos x e y res- 
pectivamente e, portanto, um unico par ordenado de numeros reais (x p , y p ) 
tais que x p e y p sao representados por P[ e P 2( respectivamente. 

Esquema: P —* ( P \, P 2 ) -► {* P , y p ) 

29 Parte 

Dado o par ordenado de numeros reais (x p/ y p ), existem P x € x e 
P 2 E y tais que Pi representa x p e P 2 representa y p , conforme vimos 
no item 77. 

Se construirmos x'U x por P 2 e y' H y por P lt essas retas vao concorrer 
em P. Assim, a todo par ( x p , y p ) corresponde um unico ponto P, Pea. 

Esquema: (x p , y p ) —► (Pi, P 2 ) —► P 
EXERCICIOS 

A.91 Dar as coordenadas de cada ponto do piano cartesiano abaixo. 



A.92 Assinalar no piano cartesiano os pontos: A(2, -3), B{0, -4), C(-4, -5), DM, 01, 
E(Q, 5), F(5, 4), G(3, 0), H(-3, 2), l(y, 


60-A 


61-A 






III. PRODUTO CARTESIANO 

96. Definipao 

Sejam A e B dois conjuntos nao vazios. Denominamos produto cartesiano 
de A por B o conjunto A X B cujos elementos sao todos pares ordenados 
(x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. 

A X B = {(x, y) | x 6 A e y € B} 

o si'mbolo A X B le-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B". 

Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de A 
por B como sendo o conjunto vazio. 

AX 0 = 0 0 X B = 0 0X0 = 0 

97. Exemplos 

19) Se A = {1,2,3} e B = {1,2} temos 

A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} 
e 

B X A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} 
e as representapoes no piano cartesiano sao as seguintes: 

y n A x b yii B x A 

1(1,3) 1(2,3) 

3 -*-f--' 

2 _j ( A'_ 2 ) _j(2,_2) 4<_3,2) 2 _j(1,_2) J(2, 2) 

| i 1 | I 

. ... 1(2,1) 1(3, 1) , 1(1,1) 5(2,1) 

1 “t-1- T~ 1 -4-.+- 

• | ! i I 

i i i--t-1-► x 

12 3 12 

29) Se A = {2, 3} entao o conjunto A X A (que tambem pode ser 
indicado por A 2 e le-se "A dois") e 

A X A = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} 


62-A 


39) Se A = {x G IR | 1 < x < 3} 
e B = {2} entao temos A X B = {(x, 2) I 

A representapao grafica de A X B da 
como resultado o conjunto de pontos 
do segmento paralelo ao eixo dos x da 
figura ao lado. 



49) Se A = {x G |R | 1 < x < 3} e B = {x G IR | 1 < x < 5} te¬ 
mos A X B = {(x, y) 6 R 2 I 1 < x < 3 e 1<y<5} representado gra- 

ficamente no piano cartesiano pelo conjunto de pontos de urn retangulo. Note- 

mos que B X A = {(x, y) € IR 2 | 1 < x < 5 e 1 < y < 3} e representa¬ 

do por um retangulo distinto do anterior. 



98. Observapoes 

1) Se A ^ B entao A X B B X A, isto e, o produto cartesiano 
de dois conjuntos nao goza da propriedade comutativa. 

2) Se A e B sao conjuntos finitos com men elementos respectivamente, 
entao AX B e um conjunto fin i to com m • n elementos. 

3) Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio entao A X B e um 
conjunto infinito. 


63-A 

















EXERCICIOS 


A.93 Dados os conjuntos 

A ={1,3,4} B - {-2, l} C= {-1,0,2} 

representar pelos elementos e pelo grafico cartesiano os seguintes produtos: 

a) A X B b) B X A c)AxC 

d) C X A e) B 2 f) c 2 

A.94 Dados os conjuntos 

A = {x E |R | 1 < x < 3} 

B = {x E IR | -2 < x < 2} 

C .{xE R|-4< x< l} 

representar graficamente os seguintes produtos: 

a) A x B b) A X C c) B X C 

d) C x B e) A 2 f) C 2 

A.95 Dados os conjuntos A - {l,2, 3, 4 } e B = {xElRjl<x<4} representar 
graficamente os conjuntos: 

a) A X B 

b) B X A 

c) (A X B) U (B X A) 

A.96 Sejam os conjuntos A, B e C tais que A C_ B C C. Estabelecer as relacoes de in- 
clusao entre os conjuntos A X A, A X B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A, 
C X B e C X C. 

A. 97 Sabendo que {(1,2), (4,2)} C A 2 e n(A 2 ) = 9, represente pelos elemen¬ 
tos o conjunto A 2 . 

Solupao 

2 

O numero de elementos de A e igual ao quadrado do numero de elementos de A, por- 
tanto 

n(A 2 ) = [n(A)f => [n(A)] 2 = 9 ==> n(A) = 3. 

Se A e um conjunto de 3 elementos, (1,2) E A 2 e (4,2) E A 2 , conclui'mos que 

A = {l,2,4}. 

Assim sendo, 

A X A - {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2). (4, 4)} 

A.98 Se {(1,-2), (3,0)} E A' e n(A 2 ) - 16 entao represente A 2 pelos seus elemen¬ 
tos. 

A.99 Considerando A E B, {(0,5), (-1,2), (2,-1)} E A X B e n(A X B) = 12,re- 
presente A X B pelos seus elementos. 


64-A 


IV. RELAQAO BINARIA 


99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4} 

e B = {2, 3, 4, 5, 6}. 0 produto cartesiano 

de A por B e o conjunto 

A X B = {{x, y) | x E A e y E B} 

formado por 3*5= 15 elementos represen- 
tados na figura ao lado. Se agora considerarmos 
o conjunto de pares ordenados (x, y) de 
A X B tais que x ( y (le-se: x e divisor de 
y), teremos 

R = {(x, y) G A X B | x|y} = 

= {{2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} 
que e chamado relacao entre os elementos 
de A e de B ou, mais simplesmente, uma rela- 
gao binaria de A em B. 

0 conjunto R esta contido em A X B 
e e formado por pares (x, y) em que o ele- 
mento x de A e "associado" ao elemento y de 
B mediante um certo criterio de “relaciona- 
mento” ou "correspondencia". 

Sera bastante util a representapao da rela¬ 
cao por meio de flechas, como na figura ao lado. 

100. Definicao 

Dados dois conjuntos A e B, chama-se relagao binaria de A em B todo 
subconjunto R de A X B. 

R e relapso binaria de A em B <=* R E A X B. 

Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de 
A X A e chamado relacao binaria em A. 

R e relacao binaria em A <=> R E A X A 



65-A 








Utiiizaremos as seguintes nomenclatures ja consagradas 

A = conjunto de partida da relacao R 
B = conjunto de chegada ou contra-domi'nio da relacao R. 

Quando o par (x, y) pertence a relacao R, escrevemos x R y (le-se: " 
erre y") 


(x, y) € R <=> x R y 


e se o par (x, y) nao pertence a relacao R escrevemos x fi y (le-se: "x nao 
erre y") 


(x, y) ^ R <=> xfi y 


101. Exemplos 

19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} quais sao os elementos da 
relacao R = {(x, y) I x < y} de A em B? 

Os elementos de R sao todos os pares ordenados de A X B nos quais o 
primeiro elemento e menor que o segundo, isto e, sao os pares formados pela 
"associacao de cada elemento x G A com cada elemento de y G B tal que 
x < y”. 

Temos entao 

R ={(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} 

29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }, quais sao os elemen¬ 
tos da relacao binaria R de A em B assim definida: x R y <=> y = x + 2? 

Fazem parte da relacao todos os pares ordenados (x, y) tais que x 6 A, 
yGB e y = x + 2. 

Utilizando as representacoes graficas 




39) Se A = {-1, 0, 1, 2} quais sao os elementos da relacao 
R = {(x. y) £ A 2 1 x 2 = y 2 }? 

Fazendo a representacao grafica notamos que 
R ={(0,0), (1,1), (1,-1), (-1,-1), (-1,1), (2,2)} 



49 ) Se A = {x E |R | 1 < x < 3} e B = {y G IR I 1 < y < 2} pe- 
de-se a representacao cartesiana de A X B e R = {(x, y) G A X B | y = x} 



66-A 


67-A 





















EXERCICIOS 


A. 100 Pede-se: 

I) enumerar pares ordenados 

II) representar por meio de flechas 

III) fazer o grafico cartesiano 

das relates binarias de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} de- 
finidas por: 

a) x R y < ■ > x + y = 2 b)xSy < =- > x 2 = y 

c) x T y <==> Ixl =. ly! d) x V y <■ ■ -— > x + y >2 

e) x W y <= 3 —» (x - y) 2 = 1 

A. 101 Dado o conjunto A = {l, 2, 3, 4, 5, 6}. Enumerar os pares ordenados e construir 
o grafico cartesiano da rela<?ao R em A dada por: 

R - {(x, y) E A 2 I mdc (x, y) = 2} 

A. 102 Seja o conjunto A = {l, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir o grafico cartesiano da relagao 
R em A definida por: 

x R y < ==» x e y sao primos entre si. 

A. 103 Dado o conjunto A = {m CZ I -7 ^ m ^ 7 }. Construir o grafico cartesiano da 
rela<?ao bin^ria R em A definida por: 

x R y <=> x 2 + y 2 = 25. 



103. Exemplos 


1?) Se A = {0, 2, 3, 4} e B = {1. 2, 3, 4, 5 f 6} qual e o domrnio 
e a imagem da relapao R = {(x, y) E A X B I ye multiplo de x}? 


Utilizando o esquema das flechas e 
facil perceber que Deo conjunto dos 
elementos de A dos quais partem flechas 
e que Im e o conjunto dos elementos de 
B aos quais chegam flechas, portanto: 

R = {{2, 2), (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 
D = {2, 3, 4} Im - {2, 3, 4, 6} 



2?) Se A = {x E IR I 1 < x < 3} e B = {y E IR I 1 < y < 4} f qual 
e o domrnio e a imagem da relapao R = {(x, y) E A X B I y = 2x}? 


Utilizando a representagao cartesiana 


temos D = {x G IR I 1 < x < 2} e Im = {y G IR I 2 < y < 4} 



A.104 Estabelecer o domrnio e a imagem das seguintes relates: 

a) {(1,1), 11,31,(2. 4)} b) {(-2, 4), (-1, 1), (3, -71, (2, 1)} 

c) {(2, 1), (1, -3), (5, n/ 2)} d) {(1 +V2, >/2), (1 ->/3, 1)} 

e) {(3, 1). (y.-1), (-|, 0)} 


A. 105 Estabelecer o domrnio e a imagem das relapoes binarias do exercfcio A.100. 

A.106 Sejam os conjuntos A = {-2, -1,0, 1,2, 3, 4, 5}, B * {-2, -1, 0, 1, 2} e R a 
relagao binaria de A em B definida por 

x R y <=> x = y 2 

Pede-se: 

a) enumerar os pares ordenados de R 

b) enumerar os elementos do domfnio e da imagem de R 

c) fazer o grafico cartesiano de R 


69-A 





A.107 Se Rea relapao binaria de A = {xG IR I 1 < x 
definida por 

x R y <r > x = 

Pede-se: 


<6} em B = {y G IR 1 1 < y < 4 
■ 2y 


a) a representapao cartesiana de A X B 

b) a representapao cartesiana de R 

c) o dommio e a imagem de R 


A. 108 Se R e S sao as relapoes binarias de A = { x (E Z I -2 x ^ 5 } 
B = {y Gz I -2 ^ y ^ 3} definidas por: 

x R y < > 2 divide (x - y) 

x S y <=> (x - 1)2 = ( y _ 2) 2 . 

Pedem-se: 

a) as representapoes cartesianas de R e de S 

b) o domfnio e a imagem de R e de S 

c) r n s. 


VI. RELACAO INVERSA 


104. Definicao 

Dada uma relacao binaria R de A em B # consideremos o conjunto 

R" 1 - {(y, x)G B X A I {x, y) G R} 

Como R 1 e subconjunto de B X A, entao R _1 e uma relapao binaria de 
B em A a qua I daremos o no me de relacao inversa de R. 



Decorre dessa definicao que R 1 e o conjunto dos pares ordenados obtidos 
a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par. 

105. Exemplos 

1?) Se A - {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais sao os elementos de 
R = {(x, y) 6 A X B I x < y[ e de R' 1 ? 

Utilizando o esquema das flechas 


70-A 



A B BA 


temos R = {{2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5, 7)} 

e R 1 = {(3, 2), (5, 2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), {5, 4), (7, 4), (7, 5)} 

2?) Se A = {x G IR I 1 < x < 4} e B = {y G IR I 2 < y < 8 } re- 

presentar no piano cartesiano as relacoes R = {(x, y) G A X B I y - 2x} e 

sua inversa R -1 . 



VII. propriedad.es 

Sao evidentes as seguintes propriedades 
1 a ) D{R -1 ) - lm(R) 

isto e, o dommio de R _1 e igual a imagem de R. 
2 a ) lm( R _1 ) - D(R) 

isto e, a imagem de R _1 e iguai ao dommio de R. 
3 a ) (R - 1 ) -1 = R 

isto e, a relacao inversa de R -1 e a relacao R. 


71-A 







EXERCICIOS 


A.109 Enumerar os elementos de R -1 , reiagao inversa de R, nos seguintes casos: 

a) R = {(1, 2), (3, 1), (2, 3)} 

b) R = {(1, -1), (2, -1), (3, -1). 1-2, 1)} 

c) R = {{-3, -2), (1, 3), (-2, -3). (3, 1)} 

A.110 Enumerar os elementos e esbopar os graficos de R e R _1 , relagoes binarias em 
A = {x G M I x < 10), nos seguintes casos: 

a) R = {(x, y) G A 2 I x + y = 8} 

b) R - {(x, y) G A 2 I x + 2y = 10} 

c ) R = {(x, y) G A 2 | y = lx - 3) 2 + l} 

d) R = {(x, y) G A 2 I y = 2*} 

A.111 Dados os conjuntos A - {x G |R I 1 =^x ^ 6}, B = {y G |R I 2 ^ y ^ 10} e as seguin¬ 
tes relagoes binarias: 

a) R = {(x, y) G A X B I x = y} 

b) S = {{x, y) G A X B I y = 2x} 

c) T = {(x, y) G A X B ly-x + 2} 

d) V = {lx, v)GaXb I x + y = 7} 

pede-se o grafico cartesiano dessas relagoes e das respectivas relagoes inversas. 


CAPITULO V 

FUNgOES 


I. CONCEITO DE FUNQAO 


106. Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos 

A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3} 
e as seguintes relagoes binarias de A em B: 

R = {(x, y) £ A X B I y = x + 1} 

S = £(x. y) £ A X B I y 2 = x 2 } 

T = {(x, y) G A X B I y = x} 

V - {<x, y) G A X B I y = (x - I ) 2 - 1} 

W = {(x. y) 6 A X B I y - 2} 


Analisando cada uma das refagoes temos: 


a) R = {(0, 1), ( 1 , 2), (2, 3)} 

Para cada elemento x G A, com 
excegao do 3, existe um so elemento 
y G B tal que (x, y) G R. 

Para o elemento 3 G A, nao exis¬ 
te y G B tal que (3, y) G R. 



b) S = {(0, 0), (1, 1), (1, T 1), 
(2, 2), {3, 3)} 

Para cada elemento x G A, com 
excegao do 1 , existe um so elemento 
y G B tal que (x, y) G S. Para o ele¬ 
mento 1 G A existem dois elementos de 
B, o 1 e o -1 tais que {1, 1) G S e 
(1, -1) G S. 



72-A 


7 3-A 




c) T = {(0,0), (1,1), (2, 2), (3, 3)} 

Para todo elemento x G A, sem 
excepao, existe um so elemento y G B 
tal que (x, y) E T. 


d) V = {(0,0), (1,-1), (2, 0), (3,3)} 

Para todo elemento x E A, sem 
excepao, existe um so elemento y G B 
tal que (x, y) G V. 


e) W - {(0,2), (1,2), (2, 2), (3, 2)} 

Para todo elemento x G A, sem 
excepao, existe um so elemento y G B 
tal que (x, y) G W. 

As relapoes T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x G A 
existe um so y G B tal que (x, y) pertence a relapao", recebem o nome de 
apUcagao de A em B ou funpao definida em A com imagens em B. 

II. DEFINIQAC 





107. Dados dois conjuntos A e , nao vazios, uma relapao f de A em B 
recebe o nome de aplicapao de A em B ou funpao definida em A com imagens 
em B se, e somente se, para todo xGA existe um so y£B tal que (x, y) G f. 



(*) Em todo o nosso estudo de funpoes, fica estabelecido que A e B sao conjuntos forma- 
dos de numeros reals, isto e, A e B contidos em IR. 


7 4-A 


108. Vejamos agora com o auxi'lio do esquema das flechas, que condipoes deve 
satisfazer uma relapao f de A em B para ser aplicapao (ou funpao). 

It) e necessario que todo elemento x E A participe de pelo menos um par 
(x, y) G f, isto e, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle- 


2 ?) e necessario que cad a elemento xEA participe de ape nas um unico par 
( x, y) G f, isto e, cad a elemento de A deve servir como ponto de partida de uma 
(mica flecha . 

Uma relagao f, nao e aplicapao (ou funpao) se nao satisfaz er uma das con- 
dicogs acima isto e, 


1.) se existir um elemento de A 
do qual nao parta flecha alquma ou 


f nao 6 funcao 



f nao e funpao. 


109. Podemos verificar atraves da representacao cartesiana da relapao f de A em 
B se f e ou nao funpao: basta verificarmos se a reta paralela ao eixo y condu- 
zida pelo ponto (x, 0), onde x G A, encontra sempre o grafico de f em um so 
ponto. 


110. Exemplos 

1?) A relapao f de A em IR, com 
A - {x E IR I -1 < x < 3), 

representada ao lado e fungao, pois toda 
reta vertical conduzida pelos pontos de 
abscissa x G A encontra sempre o gra¬ 
fico de f num so ponto. 

2?) A relacao f de A em IR repre- 
sentada ao lado, onde 

A = {x 6 |R I -2 < x < 2} 

nao e funpao, pois ha retas verticals que 
encontram o grafico de f em dois pon¬ 
tos. 




75-A 











3?} A relacao f de A em IR, re- 
presentada ao lado, onde 

A = {x 6 IR I 0 < x < 4} 

nao e funcao de A em IR pois a reta 
vertical conduzida pelo ponto ( 1 , 0 ) nao 
encontra o graf ico de f. Observemos que 
f e fun$ao de B em IR onde 

B = {x e IR I 2 < x < 4}. 



EXERCICIOS 

A. 112 Estabelecer se cada urn dos esquemas das relagoes abaixo define ou nao uma fungao 
de A ■= {-1, 0, 1, 2} em B = {-2, -1,0, 1, 2, 3}. Justificar. 



A (a) B A (b> B 



76-A 


A.114 Quais das relagoes de IR em IR cujos graficos aparecem abaixo, sao funpoes? Justificar. 


a) 



d) 




c) 



f) 



III. notaqAo das funqoes 

111. Toda funpao e uma relapao binaria de A em B, portanto, toda funpao e 
um conjunto de pares ordenados. 

Geralmente, existe uma sentenpa aberta y = f(x) que expressa a lei me- 
diante a qual, dado x E. A, determina-se y G B tai que (x, y) E f, entao 
f = {(x, y) | xEA,yEBey = f(x)}. 

Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a funpao f tern a lei de 
correspondence y = f{x). 

Para indicarmos uma funpao f, definida em A com imagens em B se- 
gundo a lei de correspondence y = f(x), usaremos uma das seguintes notapoes 

f: A —► B A B 

X *-► f(x) OU X ►-f(x) 

77-A 





















112. Exemplos 


1?) f: A —* B 

x i—► 2x 

e uma funpao que associa a cada x de A urn y de B tal que y = 2x. 

2?) f: IR » IR 

x i ► x 2 

e uma funpao que leva a cada x de IR um y de IR tal que y =- x 2 . 

3?) f: IR + -► |R 

x i —> \fx 

e uma funcao que faz corresponder a cada x G |R + um y G IR tal que y =\Z~x. 

113. Se (a, b) G f, como ja dissemos anteriormente, o elemento b e chama- 
do imagem de a pela aplicapao f ou valor de f no elemento a e indicamos: 

f (a) = b 

que se le "f de a e igual a b". 

114. Exemplo 

Seja a funpao 

f: IR -» IR 

x i-> 2x + 1 entao 

a) a imagem de 0 pela aplicapao f e 1, isto e: 

f(0) - 2 • 0 + 1 = 1 

b) a imagem de -2 pela aplicapao f e -3, isto e; 

f(—2) = 2 * (-2) + 1 - -3 r 

c) analogamente 
f( y) = 2 • 1 + i = 2 

f(>/~2) = 2 • \J~2 + 1 

f(0,7) = 2 • 0,7 + 1 = 2,4 



78-A 


EXERCICIOS 


A.115 Qual e a notapao das seguintes funpoes de IR em IR? 

a) f associa cada numero real ao seu oposto 

b) g associa cada numero real ao seu cubo 

c) h associa cada numero real ao seu quadrado menos 1 

d) k associa cada numero real ao numero 2 

A.116 Qual e a notapao das seguintes funpoes? 

a) f e funpao de (Q em Q que associa cada numero racional ao seu oposto adicionado 
com 1. 

b) g e a funpao de Z em Q que associa cada numero inteiro a potencia de base 2 
desse numero. 

c) h e a funpao de IR* em IR que associa cada numero real ao seu inverso. 

A.117 Seja f a funpao de IR em IR definida por f(x} = x 2 - 3x + 4. Calcular: 
a) f(2) b) f(-1) c) H^) 

d) H-^) e) Hyfi) f) f(1 -V~2) 

A.118 Seja f a funpao deZ emZ definida por f(x) = 3x - 2. Calcular: 

a) f(2) c) f(0) 

b) f(-3) d) f(-|> 


A.119 Seja f a funpao de IR em IR assim definida 


a) f<3) 
d) f(\/4) 


f(x) = 


f 1 

\x + 1 


se 

se 


x G <Q 
x ^ <D 


b) f(-y) 
e) f(V¥- 1) 


A.120 Seja a funpao f de IR em IR definida por f(x) 

3 

do dommio que tern - — como imagem? 


c) f(V2) 

f) f(0,75) 

-. Qual e o elemento do 


Solupao 

Queremos determinar o valor de x tal que f{x) = 


basta, portanto, resolver a equapao 
Resolvendo a equapao: 



3 

4 ' 


3 ^ . 
4 ' 


2x - 3 
5 


4<2x - 3) = -3 


8 x - 12 = -15 


Resposta: o elemento e x 


3_ 
8 ‘ 


79-A 


co | co 



A.121 Seja a fungao f de IR - {l} em IR definida por f(x) = Q ual ® ° elemento 

do domfnio que tem imagem 2? 

A.122 Quais sao os valores do domfnio da fungao real definida por f(x) = x 2 - 5x + 9 que 
produzem imagem igual a 3? 


IV. DOMI'NIO E IMAGEM 


115. Definigao 

Considerando que toda fungao f de A em B e uma relagao bin^ria, entao 
f tem um domfnio e uma imagem. 

Chamamos de domfnio o conjunto D dos elementos x E A para os quais 
existe y E B tal que (x, y) E f. Como, pela definigao de fungao, todo elemento 
de A tem essa propriedade, temos nas fungoes: 

domfnio = conjunto de partida 
isto 

D = A. 

Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y E B para os quais 
existe x E A tal que (x, y) E f, portanto: 

imagem 6 subconjunto do contradomfnio 

isto 4, 


Im C B 



domfnio contra-domfnio 


80-A 


Notemos, que, feita a representagao cartesiana da fungao f, temos: 
Domfnio 

(D) e o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas vertical's condu- 
zidas por esses pontos interceptam o grafico de f, isto e r e o conjunto formado 
por todas as abscissas dos pontos do grafico de f. 

Imagem 

(Im) e o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais 
conduzidas por esses pontos interceptam o grafico de f, isto e, e o conjunto for- 
mado por todas as ordenadas dos pontos do grafico de f. 

116. Exemplos 



D = {x 6 IR 1x^0} D = {x E IR I -2 < x < 2} 

Im = {y E IR I -2 < y < 0 Im = {l, 2} 
ou 1 < y < 2} 


81-A 











EXERCICIOS 


117. As fungoes que apresentam maior interesse na Matematica sao as fundoes 
numericas, isto e, aquelas em que o dommio A e o contradommio B sao subcon- 
juntos de R. As funqoes numericas sao tambem chamadas fungoes reais de varia- 
vel real. 

Observemos que uma funpao f fica completamente definida quando sao 
dados o seu domfnio D, o seu contradommio e a lei de correspondence y= f(x). 

Quando nos referirmos a fungao f e dermos apenas a sentenga aberta 
y = f(x) que a define, subentendemos que Deo conjunto dos numeros reais x 
cujas imagens pela aplicapao f sao numeros reais, isto e: 

x g d <=* f(x) e ir. 


118. Exempk>s 

Tomemos algumas fungoes e determinemos o seu domfnio. 
1 °) y = 2x 

notando que 2x G IR para todo x € (R, temos: 

D = IR. 

2 ?) y = x 2 

notando que x 2 G IR para todo x G IR, temos: 



notemos que — G IR se, e somente se, x e real e diferente de zero; temos entao 
x 


4?) y = y/~x 

notemos que V^x G IR se, e somente se, x e real e nao negativo, entao 

D = IR+. 

5?) y = 

notando que $/~x G |R para todo x G IR, temos: 

D = IR. 


A. 123 Estabelecer o dommio e a imagem das funcoes abaixo 



A.124 Nos graticos cartesianos das fungoes abaixo representadas, determinar o conjunto ima¬ 
gem. 



82-A 


83-A 




A. 125 Considerando que os graficos abaixo sao graficos de funpoes, estabelecer o dominie 
e a imagem. 



A.126 Dar o domfnio das seguintes funcoes reais: 


i) f(x) = 3x + 2 

c) h(x) = Aj — —~r 

x 2 - 4 

e) q{x) = ■ y~~- -- 
Vx + 1 


b) 9(x) ■ 7^2 

d) p(x) = v/^ -1 


f) r(x) = 


g) s{x) 
i) u(x) 



h) t{x) 



V. FUNQOES iguais 


119. Definipao 

Duas funcoes, f de A em B e g de C em D sao iguais se, e somente se, 
A = C, B = D e f(x) = g(x) para todo x G A. 


84-A 


120. Exemplos 


1?) Se A = {l, 2, 3} e B = {-2, -1, 0, 1, 2} entao as fundoes de A 
em B definidas por: 

f(x) = x - 1 e g(x) = —tt 

x + 1 

sao iguais, pois 

x = 1 ==* f(1) = 1-1=0 e g (1) = = 0 

x = 2 => f(2) =2-1=1 e g(2) = = 1 

X = 3 ==■ f(3) = 3-1=2 e g(3) = = 2 

2?) As funcoes f<x) = %/"? e g(x) = Ixl de R em R sao iguais, pois 

y/~P = ixl, YxE IR. 

3?) As funcoes f(x) = x e g(x) =lxi de R em R nao sao iguais, pois 
x =£ Ixi para x < 0. 


EXERCICIOS 


A>27 Sejam as funpoes f, g e h de IR em IR definidas por f(x) = x 3 , g(y) - y 3 e 
h(z) = z 3 . Quais delas sao iguais entre si? 

/^rf28 As funcoes: f de IR em IR definida por f(x) = e g de IR em IR definida 

por g(x) = x sao iguais? Justificar. 


A.129 As funpoes f ^ g cujas leis de correspondence Scfo 


^129 


x - 1 V x— 1 , . _ , 

- e g(x) = - ,_ podem ser iguais? Justificar. 

x + 1 V x + 1 


A.J30 As funpoes f e g de A ^ {x E |R I -1 ^ x ^ 0 ou x > l} em R, definidas por: 


sao iguais? Justificar. 


A.13t As funpoes: 


f: IR —► IR e g: IR - {l} —* iR sffo iguais? Justificar. 

X X+1 x \ - y 

x - 1 



85-A 




AP£NDICE SOBRE INEQUApOES 

Vamos ver aqui algumas tecnicas uteis para os pr 6 ximos capftulos. 

121. Definipao 

Sejam as funpoes f(x) e g(x) cujos domfnios sao respectivamente D! C IR 
e D 2 C |R. Chamamos inequapao na incognita x, a qualquer uma das sentenpas 
abertas, abaixo: 

f(x) > g(x) 
f<x) < g(x) 
f(x) > g(x) 
f(x) < g(x) 

Exempt os 

|M?) 2x - 4 > x e uma inequapao onde f(x) = 2x - 4 e g(x) = x. 

2?) 3x - 5 < 2 e uma inequapao onde f(x) = 3x - 5 e g(x) = 2. 

3?) x 2 - 3 > — e uma inequapao onde f(x) = x 2 - 3 e g(x) =• —. 

x x 

1 <j 

4?) V x - 2 < -- e uma inequapao onde f(x) = V x - 2 e g(x) = -- . 

x ~ o x - 3 

122. Domfnio de validade 

Chamamos de domfnio de validade da inequapao f(x) < g{x) o conjunto 
D = Dj n D 2 , onde Dj eo domfnio da funpao f e D 2 e o domfnio da funpao 
g. E evidente que para todo x 0 E D, estao definidos f(x 0 ) e g(x 0 ), isto e: 

x 0 € D <=> (x 0 G D, e x 0 G D 2 ) <=> (f(x 0 ) G 1R e g(x 0 ) ^ R.) 
Nos exemplos anteriores, temos: 

1?) D = IR D R = IR 

2?) D = |R n |R = |R 
3?) D = IR H IR * = IR* 

4?) D = {x G R I x > 2} n {x G IR I x ± 3} = 

= {x£IRix >2 e x^= 3 } 


123. Solupao 

O numero real x 0 e soluqao da inequapao f(x) > g(x) se r e somente 
se, e verdadeira a sentenpa f(x 0 ) > g(x 0 ). 

Exemplo 

O numero real 3 e solupao da inequapao 2 x + 1 > x + 3, pois 
2-3+1 >3 + 3 
f (3) g(3) 

e uma sentenpa verdadeira. 

124. Conjunto-solupao 

O conjunto S de todos os numeros reais x tais que f{x) > g(x) e uma 
sentenpa verdadeira, chamamos de conjunto-solupao da inequapao. 

Exemplo 

A inequapao 2x + 1 > x + 3 tern o conjunto-solupao S = {x G IR l x > 2}, 
isto e, para qualquer x 0 £ S a sentenpa 2x 0 + 1 > x 0 + 3 e verdadeira. 

Se nao existir o numero real x tal que a sentenpa f(x) > g(x) seja 
verdadeira, diremos que a inequapao f(x) > g(x) e impossfvel e indicaremos o 
conjunto solupao por S = 0. 

Exemplo 

O conjunto-solupao da inequapao x+ 1 >x + 2 e S = 0, pois nao 
existe x 0 G IR tal que a sentenpa x 0 + 1 > x 0 + 2 seja verdadeira. 

Resolver uma inequapao, significa determinar o seu conjunto-solupao. Se 
x 0 G* R e solupao da inequapao f{x) > g(x), entao, x 0 e tal que f(x 0 ) *= R 
e g(x 0 ) e IR, isto e, x 0 6 D (domfnio de validade da inequapao). Assim sendo, 
temos y 

x 0 E S =" ===» Xq ^ D 

ou seja, o conjunto-solupao e sempre subconjunto do dominio de validade da 
inequapao. 


87-A 



125. inequagoes equivalentes 


Duas inequagoes sao equivalentes em D C IR se o conjunto-solugao da 
primeira e igual ao conjunto-solugao da segunda. 

Exempt os 

1?) 3x + 6 > 0 e x + 2 > 0 sao equivalentes em IR, pois o conjunto- 
solugao de ambas e S = {x € IR I x > 2}. 

2?) x < 1 e x 2 < 1 nao sao equivalentes em IR, pois x 0 = -2 e solu- 
gao da primeira mas nao o e da segunda. 


126. Princfpios 

Na resolugao de uma inequagao procuramos sempre transforma-la em outra 
equivalente e mais "simples", em que o conjunto-solugao possa ser obtido com 
maior facilidade. Surge, entao, a pergunta: "que transforma goes podem ser feitas 
em uma inequagao para obter-se uma inequagao equivalente?". A resposta a esta 
pergunta sao os dois princfpios seguintes: 


P-1) Sejam as fungoes f(x) e g{x) definidas em D, e D 2 , respectivamente. Se 
a fungao h(x) e definida em Di n D 2 , as inequagoes 

f(x) < g(x) e f(x) + h(x) < g(x) + h(x) 
sao equivalentes em D i n d 2 . 

Exemplo 

Seja a inequagao 

3x - 1 > 2x + 3 (T) 

fix) g(x) 


adicionemos h(x) = -2x + 1 aos dois membros: 


(3x - 1) + |-2x + 1) > (2x + 3) + (-2x + 1) 



fagamos as simplificagoes possfveis: 



fix) + hlx) g(x) + h(x) 


© 


88-A 


portanto, como (7) e equivalente a ( 2 ), temos: 

S = {x € R I x > 4}. 

Na pratica, aplicamos a propriedade P-1 com o seguinte enunciado: 
"em uma inequagao podemos transpor um termo de um membro para outro 
trocando o sinal do termo considerado 

f(x) + h(x) < g(x) -> fix) < g{x) - h(x). 

Assim, no exemplo anterior, terfamos: 

3 x - 1 > 2x + 3 => 3x - 1 - 2x > 3 —► x > 3 + 1 => x > 4. 


P-2) Sejam as fungoes f{x) e g(x) definidas em Di e D 2 , respectivamente. Se 
a fungao h{x) e definida em Di H D 2 e tern sinal constante, entao: 

a) se h(x) > 0, as inequagoes f(x) < g(x) e 

f(x) • h(x) < g(x) • h(x) sao equivalentes em Dt O D 2 . 

b) se h{x) < 0, as inequagoes f(x) < g(x) e 

f(x) • h(x) > g(x) • h(x) sao equivalentes em Di O D 2 . 


Exempt os 

1 °j A _ > I e 6x - 9 > 4 sao equivalentes em R, pois a segunda 

2 4 3 

inequagao foi obtida a partir da primeira atraves de uma multiplicagao por 12. 

2?) -2x 2 + 3x > 1 e 2x 2 - 3x < -1 sao equivalentes em R, pois a 
segunda foi obtida da primeira atraves de uma multiplicagao por -1 e inversao 
do sentido da desigualdade. 


4x - 3 

——— >0 e 4x-3>0 sao equivalentes em IR. Notemos que a 
x 2 + 1 


Ha rwimoirA Ha multinlicacao 


.2 1 * ■'s. r\ W- .. d 


Na pratica, aplicamos a propriedade P-2 com o seguinte enunciado: 
"em uma inequagao podemos multiplicar os dois membros pela mesma expressao , 
mantendo ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa expressao seja 


positiva ou negativa, respectivamente ” 


EXERCICIOS 

A. 132 Resolver as inequagoes em IR: 

a) 4x + 5 > 2x - 3 

b) 5<x + 3) - 2lx + 1) <2x + 3 

c) 3(x + 1) - 2 > 5(x - 1) - 3(2x - 1) 


89-A 



A.133 Resolver em |R, a inequapao 


x + 2 x - 1 


Solupao 


A inequapao proposta 6 equivalente a inequapao que se obt6m multiplicando pelo 
m.m.c. (3, 2) = 6: 

2(x + 2) - 3<x - V > 6x. 

Efetuando as operates, temos: 


ou ainda 


■x + 7 ^ 6x 


-7x > -7. 


Dividindo ambos os membros por -7 e lembrando que devemos inverter a desigual- 
dade, temos 

x < 1 

e, portanto, 

S = {x G IR I x < l}. 

A.134 Resolver em IR, as inequapoes: 

. x - 1 x - 3 - . 

3 2 -— > 1 

2x - 3 5 - 3x ^ „ 1 

b) -5- - -5— < 3x - t 

c) <3x + 1 M2x + 1) < (2x - 1) (3x + 2) - (4 - 5x) 

d) (3x - 2)2 - (3x - I) 2 > (x + 2)2 - (x - 1)2 

e) 4<x - 2) - <3x + 2) > 5x - 6 - 4(x - 1) 

f) 6(x + 2) - 2(3x + 2) > 2(3x - 1) - 3<2x + 1) 

A.135 Resolver em IR, a inequapao: 


Solupao 

A inequapao proposta e equivalente a 


- 2 < 0 


que, reduzindo ao mesmo denominador, fica 


Notemos que a frapao - _ - devera ser nao positive; como o numerador -1 6 nega- 

tivo, entao o denominador x - 1 devera ser positivo. Lembrando que o denomina¬ 
dor nao podera ser nulo 

x - 1 >0 <=► x > 1 

e, portanto, 

S = {x € IR i x > 1} 


A.136 Resolver em IR, as inequapoes: 


,) <_ 3 
1 - X 


bl >2 

2x - 1 


» -4 ~ 3x ^ . 
cl 3TTT <-! 


90-A 


Famflia serve a ciencia por 100 anos 


Nenhuma famflia na histdria da Matem£tica produziu tantos matematicos cdlebres 
quanto a famflia Bernoulli. Oriunda dos Pafses Baixos espanhdis, esta famflia emigrou em 
1583 para Basileia, na Sufpa, fugindo da guerra. Cerca de uma duzia de membros da famflia 
conseguiu renome na Matemdtica e na Ffsica, sendo quatro deles eleitos como sdcios 
estrangeiros da Academia das Ciencias, da Franpa. 



Christoph 

(1782-1863) 

I 

Jean Gustave 
(1811-1863) 


Os Bernoulli matematicos: Srvore genealdgica 

Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matem^tica foram Jacques e Jean, 
respectivamente quinto e ddcimo filhos de Nicolaus. 

Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros pafses. Destacou-se por 
seus estudos sobre infinitdsimos, seus artigos sobre m^ximos e mfnimos de funpoes publicadas 
na revista “Acta Eruditorum" (Anotapoes dos eruditos), suas pesquisas sobre series infinitas 
em que aparece o resultado cdlebre conhecido como “desigualdade de Bernoulli": (1 + x) > 1 + 
+ nx. A ele 6 tambdm atribufda a demonstrapao de que a sdrie harmonica 6 divergente. 

Jacques tinha uma verdadeira fascinapao por curvas, tendo estudado varias delas: a 
parabola semi-cubica, a lemniscata, a catendria, a isdcrona a espiral logarftmica, etc. 

Jean Bernoulli segundo a vontade do seu pai deveria ser mddico, pordm indo estudar 

em Paris, desgarrou para a Matem^tica, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Calculo que 

foram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Calculo a um jovem marques 

de L'Hospital e, em troca de um salario regular, concordou em enviar ao nobre frances suas 

descobertas matematicas, para serem usadas como o marques o desejasse. A consequencia foi 

que uma das mais importantes descobertas de Jean passou a Histdria com norne “regra de 

L'Hospital" se f(x) e g(x) sao funpoes diferenciSveis em x - a, f(a) - 0 e g(a) - 0, 

.. f’(x) f(x) f'(x) 

entao existe lim ,, . e lim , . - lim ,, . ■ . 

x-^a g (x) x->a g(x) x->a 9 lx) 


91-A 



Os irmaos Jean e Jacques mantmham intensa correspondencia com Leibniz pois todos 
eles colaboravam com artigos para a mesma revista, “Acta Eruditorum" {Anotagoes dos eru- 
ditos). Jacques 6 tamb6m autor do cldssico "Arte de conjecturar", considerada a mais antiga 
obra sobre probabilidade. 

Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean II. Nicolas foi professor de Matem^tica em 
S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em BasilSia. Outro Bernoulli, Nicolas II, 
primo desses tres, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pddua. 

Da gerapao mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidro- 
dinamica e probabilidade. 

Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidencia em Matematica, no s6culo 
XVIII, fazendo juz ao nome da famflia. 



Jean Bernoulli 
(1667 - 1748 ) 


Jacques Bernoulli 
(1654 - 1705 ) 




Daniel Bernoulli 
(1700 - 1782 ) 


CAPITULO VI 

F UNDOES 
DO 1? GRA U 


I. FUNQAO CONSTANTE 

127. Definicao 


Uma aplicapao f de IR em IR 
recebe o nome de fun$ao constante quan- 
do a cada elemento x 6 IR associa 
sempre o mesmo elemento c £ IR. 
Isto e: 

f: IR —* IR 
x -► © 

0 grafico da fun^ao constante e urr 
pelo ponto (0, c). 

A imagem e o conjunto Im = {c} 



r 


(0, c) 

reta pa rale la • 

X 

ao eixo dos x passando 


128. Exemplos 

Construir os graficos das aplicagdes de IR em IR definida por: 
1) y = 3 2) y = -1 



ly 

(0, 3) 

iy 

X ' 






X 

(0,-1) 


92-A 


93-A 



II. FUNQAO IDENTIDADE 


129. Definipao 

lima aplicapao f de tR em IR 
recebe o no me de fungao identidade 
quando a cada elemento x £ IR as- 
socia o proprio x, isto e; 

f: R —R 
X I- ► x 

0 grafico da funpao identidade e uma reta que contem as bissetrizes do 
1? e 3? quadrantes. 

A imagem e lm = IR. 

III. FUNQAO LINEAR 

130. Definipao 

Uma aplicapao de IR em IR re¬ 
cebe o nome de fungao linear quando 
a cada elemento x E IR associa o 
elemento ax E IR onde a # 0 e 
um numero real dado, isto e: 

f: R--* R 

x i-* ax, a =£ 0 (*) 

Demonstra-se que o grafico da fun- 
pao linear e uma reta que passa pela 
origem.l**) 

A imagem e Im = IR. 

De fato, qualquer que seja o y E IR, existe x = E IR, a#0, tal 

a 

que 


(*} Observe que se a = 0, teremos a fungao constante y = 0. 

(**) Essa demonstragao ser^ feita para um caso mais geral e se encontra na ptfgina 96. 





94-A 


131. Exemplos 


1?) Construir o grafico da funpao 
y = 2x. Considerando que dois pontos 
distintos determinam uma reta e no caso 
da funpao linear um dos pontos e a 
origem, basta atribuir a x um valor 
nao nulo e calcular o correspondente 
y = 2x. 


x 

y = 2x 

1 

2 


Pelos pontos P{0, 0) e Q(1, 2) 
trapamos a reta PQ que e precisamente 
o grafico da funpao dada. 

2?) Construir o grafico da funpao 
y = -2x. Analogamente, temos: 


,- 

X 

X 

CM 

1 

II 

> 

. i 

1 

-2 



EXERCICiOS 

A.137 Construir o grafico das fungoes de IR em IR: 
a) y = 2 b) y = -3 

c) y = V2 d) y = 0 

A. 138 Construir, num mesmo sistema cartesiano, os graficos das fungoes de IR em IR: 

a) y = x b) y = 2x c) y = 3x d) y = ~ 

2 

A. 139 Construir, num mesmo sistema cartesiano, os graficos das fungoes de IR em IR: 

a) y = -x b) y = -2x c) y = -3x d) y = - — 

2 


95-A 








IV. FUNQAO AFIM 

132. Definigao 

Uma aplicagao de IR em IR recebe o nome de fungao afim quando a 
cada x G IR estiver associado o elemento (ax + b) G IR com a ^ 0, isto e: 

f: IR —► R 

x i—► ax + b, a J= 0 

133. Exemplos 


a) y = 3x + 2 

onde 

a = 3 

e 

b = 2 

b) y = -2x + 1 

onde 

a = -2 

e 

b = 1 

c) y = x - 3 

onde 

a - 1 

e 

b = >3 

d) y = 4x 

onde 

a - 4 

e 

0 

11 

n 


Notemos que para b = 0 a fungao afim y = ax + b se transforma 
na fungao linear y = ax; podemos, entao, dizer que a fungao linear 6 uma 
particular fungao afim. 

V. GRAFICO 

134. “0 grafico cartesiano da fungao f(x) = ax + b (a 0) e uma reta". 
Demonstragao 

Sejam A, B e C tres pontos quaisquer, distintos dois a dois, do grafico 

cartesiano da fungao y - ax + b (a ^ 0) e (x lf yt), (x 2 , y 2 ) e (x 3f y 3 ), res- 

pectivamente, as coordenadas cartesianas desses pontos. 

Para provarmos que os pontos A, 

B e C pertencem a mesma reta, mos- 
tremos, inicialmente que os triangulos 
retangulos ABD e BCE sao seme- 
Ihantes. 

De fato: 

(xi, Vi) G f *> yj = axj + b (T) 

(x 2 , y 2 ) G f => y 2 = ax 2 + b (5) 



96-A 


(x 3 ,y 3 ) £ f =► Y 3 = ax 3 + b ( 3 ) 

Subtraindo membro a membro, temos: 

Y3 - Y2 = Y2 - Yi = a 
x 3 - x 2 x 2 - x, 

Os triangulos ABD e BCE sao retangulos e tern lados proporcionais, entao 
sao semelhantes e, portanto, a = 0. Segue-se que os pontos A, B e C estao 
alinhados. 



135. Aplicagdes 


1?) Construir o grafico da fungao 
Considerando que o grafico da fun¬ 
gao afim e uma reta, vamos atribuir a x 
dois valores distintos e calcular os cor- 
respondentes valores de y. 




0 grafico procurado e a reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 3}. 


2?) Construir o grafico da fungao 
De modo analogo, temos 


X 

y = -x + 3 

0 

3 

1 

2 



97-A 











EXERCICIOS 


A.140 Construir o grdfico cartesiano das fungoes de IR am IR: 
a) y = 2x - 1 b) v = x + 2 


c) y = 3x + 2 
e) y = -3x - 4 
g) y = -2x + 3 


b) y = x + 2 
2x - 3 

f) y = -x + 1 
h) y = --— 


h) y = 


A.141 Resolver analftica e graficamente o sistema de equates: 


r x -i 

2x + 


y = “3 
h 3y = 4 


Solugao Analftica 

Existem diversos processos analfticos pelos quais podemos resolver um sistema d( 
equagSes. Vamos apresentar dois deles. 

1?) processo: Substituigao 

Este processo, consiste em substituir o valor de uma das incdgnitas, obtido a partii 
de uma das equagoes, na outra. 

Resolvendo, por exemplo, a primeira equagao na incognita x, temos: 

x - y = -3 <=> x = y - 3 
e substituimos x por este valor na segunda equagao: 

2(y - 3) + 3y = 4 <*=> 2y - 6 + 3y = 4 y = 2 

que levamos a primeira equagao, encontrando: 

x - 2 = -3 <==> x = -1. 

A solugao do sistema 6 o per ordenado (-1, 2). 

2?) processo: Adigao 

Este processo baseia-se nas seguintes propriedades: 

I. "Num sistema de equagoes, se multiplicarmos todos os coef icientes de uma equagao 
por um numero nao nulo, o sistema que obtemos 6 equivalente ao anterior {*)' 

f ajx + bjy = cj f kajx + kbiy = kcj (k ^ 0) 


a 2 x + b 2 y * c 2 


a 2 x + b 2 y = c 2 


II. “Num sistema de equagoes, se substituirmos uma das equagoes, pela sua soma 
com uma outra equagao do sistema, o novo sistema 6 equivalente ao anterior". 


x + bjy = cj 


a 2 x + b 2 y = c 2 


(a i + a 2 )x + (bi + b 2 )y = c* + c 2 
a 2 x + ^y = c 2 


(*)Sistemas da equagoes sao equivalentes quando apresentam as mesmas solugoes. 


98-A 


O fundamento do processo da adigao, consiste no seguinte: aplicando a primeira 
propriedade, multiplicamos cada equagao por ntimeros convenientes, de modo que, 
os coeficientes de determinada inc6gnita sejam opostos e pela segunda propriedade, 
substituimos uma das equagoes pela soma das duas equagoes. 


Assim, no sistema 


r x - - 

2x + 


- y = -3 
+ 3y = 4 


multiplicamos a primeira equagao por 3 

f 3x - 3y = -9 
|^2x + 3y = 4 


Substituindo a primeira equagSo pela soma das duas equagoes, temos: 
f 5x - -5 
\2x + 3y = 4 


que 6 equivalente a: 

f X = _1 

|^2x + 3y = 4 

substituindo x = -1 em 2x + 3y = 4, encontramos 
2 • (-1) + 3y = 4 => y * 2 
A solugao do sistema 6 o par ordenado (-1, 2). 
Solugao Grfifica 
O sistema proposto 

f x - y = -3 
1^2x + 3y = 4 

6 equivalente a 


y = x + 3 

y = ~ 2 * + 4 

3 

Construfmos os gr&ficos de 


■■■■*£«■■! 

Hinnisn 


y * x + 3 e y 


2x + 4 
3 



A solucao do sistema sao as coordenadas do ponto de interseccao das retas, portanto 

(- 1 . 2 ). 


A. 142 Resolver analftica e graficamente os sistemas de equagoes. 

r x + y = 5 r 3x - 2y = -14 

a) l*-y. 1 W l2x + 3y = 8 

. f 2x - 5y = 9 f 4x + 5y = 2 

C l_7x + 4y = 10 L 6x + 7y » 4 

f x + 2y = 1 f » f 2x + 5y = 0 

L 2x + 4y = 3 L3x - 2y = 0 


99-A 






100-A 


VII. COEFICIENTES DA FUNQAO AFIM 


137. O coeficiente da fungao f(x) = ax + b e denominado coeficiente 
angular ou dedividade da reta representada no piano cartesiano. 

0 coeficiente b da fungao y = ax + b e denominado coeficiente linear. 

138. Exemplo 

Na funpao y = 2x + 1 o coeficiente angular d 2 e o coeficiente linear 
e 1. Observe que se x = 0 temos y = 1. Portanto, o coeficiente linear 6 
a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. 


EXERCfCIOS 

A.146 Obter a equagao da reta que passa pelo ponto: (1, 3) e tem coeficiente angular 
igual a 2. 

Solugao 

A equagao procurada 6 da forma y = ax + b. 

Se o coeficiente angular $ 2, entao a = 2. 

Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem: 

3 = 2*1 + b =» b = 1. 

A equa^ao procurada 6 y = 2x + 1. 

A.147 Obter a equagao da reta que passa pelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular 
igual a -3. 


A.148 Obter a equagSo da reta com coeficiente angular igual a 
ponto (-3, 1). 


2 


e passa ndo pelo 


A.149 Obter a equagao da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual 
a 4. 


A.150 Obter a equagfo da reta com ooeficiente linear igual a -3 e passa pelo ponto 
<-3, -2). 


101-A 



A.151 Dados os graficos das funpoes de IR em IR, obter a lei de correspondence dessa* 
f undoes. 






102-A 


140. Podemos interpretar o zero da funcao afim, como sendo a abscissa do ponto 
onde o grafico corta o eixo dos x. 



IX. FUNCOES CRESCENTES OU DECRESCENTES 

141. Definipao 

Afunpao f: A -» B definida por y = f(x) e crescente no conjunto 

A, C A se, para do is valores quaisquer x, e x 2 pertencentes a A,, com 
xj < x 2 , tivermos f{x,) < f(x 2 ). 

Em sfmbolos: f e crescente quando 

(Vx lf x 2 )(xj < x 2 => f(Xj) < f(x 2 )) 

e isto tambem pode ser posto assim: 

/ w w w -t- _ f < x i) “ f ^ x 2 ) \ n\ 

( Vx,, x 2 ){X x =F x 2 => - > 0) 

X 1 ~ x 2 

Na linguagem pratica (nao matema- 
tica), isto significa que a funpao e cres¬ 
cente no conjunto A! se, ao aumentar- 
mos o valor atribiudo a x, o valor de 
y tambem aumenta. 



103-A 









142. Exemplo 


EXERCICIO 


A 

x j <C X 2 


funpao f (x) = 2x 
=> 2x x < 2x 2 


nx 1) f{x 2 ) 


e crescente em IR, pois: 
para todo Xi € IR e todo x 2 


IR. 


143. Definipao 


A funpao f: A ► B definida por y = f(x) e decrescente no conjunto 
A i c A se, para dois valores quaisquer x, e x 2 pertencentes a A lf com 
x, < x 2 , tem-se f(x 4 ) > f(x 2 ). 

Em si'mbolos: f e decrescente quando 


(Vx 1# x 2 ){x t < x 2 =» 
e isto tambem pode ser posto assim: 

(^x, # x 2 )(xj x 2 => 

Na linguagem pratica, {nao mate- 
matica) isto significa que a funpao e 
decrescente no conjunto A, se, ao au- 
mentarmos o valor atribui'do a x, o 
valor de y diminui. 

144. Exemplo 


f(X!> > f(x 2 )) 

f ( x i> - f <x 2 ) < Q) 
Xi - x 2 



A funpao f(x) = -2x e decrescente em IR, pois 
x i < x 2 => -2xi > -2x 2 para todo Xj G IR e todo x 2 G IR. 
f(xj) f(x 2 ) 


Notemos que uma mesma funpao 
y = f(x), pode nao ter o mesmo corn- 
portamento (crescente ou decrescente) 
em todo o seu domi'nio. 

£ bastante comum que uma funpao 
seja crescente em certos subconjuntos 
de D e decrescente em outros. 0 gra- 
fico ao lado representa uma funpao cres¬ 
cente em IR + e decrescente em IR . 



A. 152 Com base nos graficos abaixo, de funpoes de IR em IR, especificar os intervalos 
onde a funpao 6 crescente ou decrescente. 



X. TEOREMA 

145. "A funpao afim e crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente 
angular for positivo (negativo)". 

Demonstra$ao 

f(x) = ax + b e crescente <=>• > 0 (Xj =£ x 2 ) 

x, - x 2 

^ (a Xl + b) - (ax 2 + b) >q ( Xl ^ x 2 )<=> a(Xl ~ x . 2 l > 0 (x, ¥= x 2 ) <=> 
X 1 - x 2 xj - x 2 

<=> a > 0. 

Fica como exerci'cio provar que f(x) = ax + b decrescente equivale a 
a < 0. 


EXERCICiOS 

A. 153 Especificar para cada uma das funpoes abaixo, se 6 crescente ou decrescente em IR: 
a) y = 3x - 2 b) y = -4x + 3 

Solupao 

a) £ crescente, pois o coeficiente angular 6 positivo (a = 3) 

b) E decrescente, pois o coeficiente angular 6 negativo (a = -4). 


104-A 


105-A 






A. 154 Especificar para cada uma das funpoes abaixo, se 6 crescente ou decrescente em IR. 

a) y = 1 + 5x b) y = -3 - 2x 

c) v = x + 2 d) y = 3-x 

e) y = -2x f) y = 3x 

A. 155 Estudar segundo os valores do parametro m, a variapao (crescente, decrescente ou 
constante) da funpao y= (m - 1)x + 2. 

Solucao 

Se m - 1 > 0, isto 6, m >1, entao a funpao terS coeficiente angular positivo e, 
portanto, crescente em [R. 

Se m - 1 < 0, isto 6, m < 1, entao a funpao ter£ coeficiente angular negativo e, 
portanto, decrescente em IR. 

Se m - 1 = 0. isto 6, m » 1, entao ser3 funpao y = (1 - 1)x + 2, ou seja, 
y = 2 que e constante em IR. 

A. 156 Estudar segundo os valores do parametro m, a variapao (crescente, decrescente ou 
constante) das funpoes abaixo 

a) y = (m + 2)x - 3 b) y = (4 - m)x + 2 

c) y = 4 - (m + 3)x d> v - m(x - 1) + 3 - x 

XI. SINAL DE UMA FUNQAO 

146. Seja a funpao f: A -+ B definida por y = f(x). Vamos resolver o problema 

"para que valores de x temos f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0?" 

Resolver este problema significa estudar o sinal da funpao y = f(x) 
para cada x pertencente ao seu dommio. 

Para se estudar o sinal de uma funpao, quando a funpao esta representada 
no piano cartesiano, basta examinar se e positiva, nula ou negativa a ordenada 
de cada ponto da curva. 

147 Exemplo 

Estudar o sinal da funpao y = f{x) cujo grafico esta abaixo representado. 



106-A 


Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f(x) 
em relapao ao eixo dos x, nao importando a posipao do eixo dos y. 




Conclusao: 


f(x) = 0 <=> x = -1 ou x = 2 ou x = 4 ou x - 7 
f(x) > 0 <=> -1 < x < 2 ou 2 < x < 4 ou x>7 
f(x) < 0 x < -1 ou 4 < x < 7. 


EXERCICIO 



b) 


c) 




107-A 



XII. SINAL DA FUNQAO AFIM 

Considerando que x = - — f zero da funpSo afim f(x) = ax + b, 

a 

o valor de x para o qua I f(x) = 0, examinemos, entao, para que valores 
ocorre f(x) > 0 ou f(x) < 0. 

Devemos considerar dois casos. 



108-A 


Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da fun<?ao f(x) = ax + b 



Podemos analisar o sinal da funpao f(x) = ax + b com a < 0, construindo 
o grafico cartesiano. Lembremos que neste caso a fungao e decrescente. 



150. Resumo 

1) A funpao afim f(x) = ax + b anula-se para x = - — . 

a 

2) Para x > - —, temos: 

a 

fse a > 0 entao f(x) = ax + b > 0 

\$e a < 0 entao f (x) = ax + b < 0 

isto e, para x > - — a fun<?ao f(x) = ax + b tern o sinal de a . 
a 

3) Para x < - —, temos: 

a 

fse a > 0 entao f (x) = ax + b < 0 

\$e a < 0 entao f (x) = ax + b > 0 

isto e, para x < - — a fungao f(x) = ax + b tern o sinal de -a (sinal 
a 

contrario ao de a). 

Se colocarmos os valores de x sobre um eixo, a regra dos sinais da fun<?ao 
afim, pode ser assim representada: 


109-A 




ou, simplesmente: 



f(x) tem o sinaI de -a 0 f(x) tern o sinal de a 


161. Exemplos 

1?) Estudar os sinais da funpao f(x) = 2x - 1. 
Temos: 

f(x) = 0 => 2x - 1 = 0 m x = — 

2 

a = 2 =» a > 0 e -a < 0 
Logo: 

para x > -1 => f(x) > 0 (sinal de a = 2 > 0) 
para x < =► f(x) < 0 (sinal de -a = -2 < 0) 

Fazendo o esquema grafico, temos 



2?) Estudar os sinais de f(x) = -2x + 4. 
Temos 


f(x) = 0 => -2x + 4 = 0 =>• x = 2 
a = -2 => a < 0 e -a>0 

para x > 2 => f(x) < 0 (sinal de a = -2 < 0) 
para x < 2 => f(x) > 0 (sinal de -a = 2 > 0) 

Fazendo o esquema grafico 


sinal de 

f(x) = -2x + 4 



110-A 


152. Urn outro processo para analisarmos a variapao do sinal da funpao afim 
e construir o grafico cartesiano. 

Lembremos que na funpao afim f(x) = ax + b o grafico cartesiano e 
uma reta e a funpao e crescente (decrescente) se o coeficiente angular a e 
positivo (negativo). 

Assim nos dois ultimos exemplos, temos: 



EXERCICIOS 

A.t58 Estudar os sinais das funpoes definidas em IR: 

a) y = 2x + 3 b) y = -3x + 2 

c) y = 4 - X d) y = 5 + X 

e) y = 3 - JS f) y = iL + 1 

2 3 2 

4 

g) y = 2x - — h) y = -x 

A. 159 Seja a funpao de R em R definida por f(x) - 4x - 5. Determine os valores 
do domfnio da funpao que produzem imagens maiores que 2. 

Solupao 

Os valores do domfnio da funpao que produzem imagens maiores que 2, sao os 
valores de x E R tais que 

4x - 5 > 2 

e, portanto, 

x > 1 

4 

A.160 Para que valores do domfnio da funpao de IR em IR definida por f(x) = ~ 1 

2 

a imagern 6 menor que 4? 

A.161 Para que valores de x € IR a funpao f(x) = | - -i 4 negativa? 


111-A 



definidas 


A.162Sejam as funpdes f(x) = 2x + 3, g<x) = 2 - 3x e h(x) = —- 

em R. Para que valores de x £ R, tem-se: 
a) f(x) ^ g(x)? b) g(x) < h(x)? c) f(x) > h(x)? 


A. 163 Dados os gr£ficos das fungoes f, g e h 
definidas em R. Determinar os valores 
de x € !R, tais que: 

a) f(x) > g(x) 
b} g(x) ^ h(x) 

c) f(x) ^ h(x) 

d) g(x) > 4 

e) f(x) ^ 0 



XIII. INEQUAgOES SIMULTANEAS 


153. A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompoe em duas inequa- 
coes simultaneas, isto e, equivale a um sistema de duas equapoes em x, sepa- 
radas pelo conectivo e : 



Indicando com Sj o conjunto-solupao de (T) e S 2 o conjunto-solupao d< 
(fi), o conjunto-solupao da dupla desigualdade 6 S = S t n S 2 . 


154. Exemplo 


Resolver 



Temos que resolver duas inequapoes: 


CO 3x + 2 < -x + 3 => 4x < 1 => x < — 

4 

® -x + 3 < x + 4 => -2x < 1 ==► x > - -i- 



112-A 


A intersecpao desses dois conjuntos e 



155. Sendo f(x) e g(x) duas funpoes na variavel x, as inequapoes 

f{x) • g(x) > 0, f(x) * g(x) < 0, f(x) . g{x) > 0 e f(x) . g(x) < 0 
sao denominadas inequagoes-produto. 


113-A 










156. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto-solugao S da 
inequagao f(x) * g(x) > 0. 

De acordo com a regra de sinais do produto de numeros reais, um numero 
x 0 e solugao da inequagao f(x) • g(x) >0 se, e somente se, f(x 0 ) e g(x 0 ), 
nao nulos, tern o mesmo sinal. 

Assim, sao possfveis dois casos: 

1?) f(x) > 0 e g(x) > 0 

Se Sj e S 2 sao, respectivamente, os conjuntos-solugoes dessas inequagoes 
entao Si O S 2 e o conjunto-solugao do sistema. 

2?) f(x) < 0 e g(x) < 0 

Se S 3 e S 4 sao, respectivamente, os conjuntos-solugoes dessas inequagoes, 
entao S 3 O S 4 e o conjunto-solugao do sistema. 

Dai' conclufmos que o conjunto-solugao da inequagao do produto 
f(x) • g(x) > 0 e 

s = (S, n s 2 ) u (S 3 n s 4 ) 

Racioci'nio analogo seria feito para a inequagao 

f(x) • g(x) < 0. 

157. Exemplo 

Resolver em R a inequagao (x + 2)(2x - 1) > 0. 

Analisando os dois casos possfveis 

1? caso 

Cada um dos fa tores e posit ivo, isto e: 

x + 2>0=>x>-2 -2 

. .. * 

e e • 

i 
i 

2x - 1 > 0 ==*■ x > 1 6 

2 _1 

A intersecgao das duas solugoes e 2 

S,ns 2 = {x6 IR lx > 1 } 



114-A 


2? caso 

Cada um dos fatores e negativo, isto e: 


x + 2 < 0 =*x <-2 

e e 

2x - 1 <0 =* x < 1 
2 

A intersecgao das duas solugoes e: 

s 3 n s 4 = {x e ir I x < -2} 

O conjunto-soiugao da inequagao 
(x + 2)(2x - 1) > 0 e: 

s = (Si n s 2 ) u <s 3 n s 4 ) = {x € 

porta nto 



2 


R lx > 1} u {x e R I X < -2} 


S = {x e R | X < -2 ou X > 1 } 

2 


158. Vejamos, um outro processo, mais pratieo para resolvermos a inequacao 
(x + 2) • (2x - 1) > 0 em R. 

Fazemos iriicialmente o estudo dos sinais das fungoes f(x) = x + 2 e 
g(x) = 2x - 1 



Com o objetivo de evitar calculos algebricos no estudo dos sinais do 
produto f{x) • g(x), usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadra- 
produto, no qual figuram os sinais dos fatores e o sinal do produto. 



-2 ± 

2 

S = {x G )R I x < -2 ou x>l} 

2 


115-A 







159. Podemos estender o raciocinio empregado no estudo dos sinais de um 
produto de dois fatores para um produto com mais de dois fatores. 


Exemplo 

Resolver a inequapao (3x - 2){x + 1)(3 - x) < 0 em !R. 


Analisando os 

f(x) = 3x - 2 
g(x) = x + 1 
h(x) = 3 - x 


sinais dos fatores, temos 



Vamos, agora, construir o quadro-produto: 

_ 2 _ 

-1 3 3 x 



S = {x G iR I -1 < x < ~ ou x > 3} 

o 


160. A inequapao f(x) • g(x) 0 tern por conjunto-solupao S a reuniao do 
conjunto-solupao Si da inequapao f(x) • g(x) > 0 com o conjunto solupao 
S 2 da equapao f(x) • g(x) = 0, isto e 



Exemplo 

Resolver a inequapao (3x + 1)(2x - 5) > 0 em IR. 
A inequapao (3x + 1)(2x - 5) > 0 e equivalente a: 


116 -A 




S = {x € IR I x < - 1 ou x > 1 } 
1 3 2 J 


161. Dentre as inequapoes-produto, sao importantes as inequapoes: [f(x)] n > 0, 
[f(x)] n < 0, [f(x)] n > 0 e [f(x)] n < 0, onde n E N*. 

Para resolvermos estas inequapoes, vamos lembrar duas propriedades das 
potencias de base real e expoente inteiro: 

1?) "toda potencia de base real e expoente fmpar conserva o sinal da 
base", isto 6 



117-A 






2 ?) "toda potencia de base real e expoente par e um numero real nao 
negativo", isto e 



Assim sendo, temos as seguintes equivalences: 


[f(x)] n > 0 

[f(x)] n < 0 

[f(x)] n > 0 

. [f(x)] n < 0 



f(x) > 0 

se 

n 

e 

fmpar 

f{x) * 0 

se 

n 

e 

par 

f(x) < 0 

se 

n 

e 

fmpar 

$ x G IR 

se 

n 

e 

par 

f (x) > 0 

se 

n 

e 

fmpar 

VxGD(f) 

se 

n 

e 

par 

f(x) < 0 

se 

n 

e 

fmpar 

f (x) = 0 

se 

n 

e 

par 


Exernplos 

1?) (3x - 2) 3 > 0 => 3x - 2 > 0 =» S = {x G IR I x > -| } 

29) (4x - 3) 6 > 0 =» 4 x-3^0=j S = {xG IRix^ —} 

39) (2x + 1) s < 0 => 2x + 1 < 0 => S = {x G IR I x < - -1 } 

49) (x - 2) 4 < 0 => S = 0 

59) (3 - 5x) 7 >0=>a-5x>0=>S = {xG IR I x < ~ } 

b 

6°) {4x - 5) 2 > 0 => S = IR 

79) (8 - 2x) 4 < 0 ===> 8 - 2x = 0 =*■ S = {4} 


118-A 


EXERCICIOS 


A. 167 Resolver em IR as inequagoes: 

— a) (3x + 3)(5x - 3) > 0 

— c) (5x + 2)(2 - x)(4x + 3) > 0 
e) (6x - 1 )(2x + 7) > 0 

g) (3 - 2x)(4x + 1 )(5x + 3) > 0 

A.168 Resolver em IR as inequagoes: 

a) (x - 3) 4 >0 
c) (4 - 5x) 6 < 0 
e) (3x + 5) 2 >0 
g) (4 + 3x) 4 < 0 


— b) (4 - 2x)(5 + 2x) < 0 

- d) (3x + 2){—3x + 4Mx - 6) < 0 
f) (5 - 2x)(-7x - 2) < 0 

h) (5 - 3x)(7 - 2x)(1 - 4x) < 0 

b) (3x + 8) 3 < 0 
d) (1 - 7x) 5 > 0 
f) (5x + 1 ) 3 < 0 
h) (3x - 8) s >0 


A. 169 Resolver em IR a inequagao {x - 3) 5 • (2x + 3) 6 <C 0. 

Solucao 

Estudemos separadamente os sinais das fungoes f(x) = {x - 3) 5 e g(x) = (2x i- 3) 6 . 
Lembrando que a potencia de expoente impar e base real tern o sinal da base, 
entao, o sinal de {x - 3) 5 6 iguai ao sinal de x - 3, isto 6: 



A potencia de expoente par e base real nao nula 6 sempre positiva, entao (2x + 3) 6 

3 * o 

e positivo se x ^ - — e (2x + 3) 6 nulo se x - - — , isto 6: 

2 2 

3 

_:x__ 

g(x) + 0 + 

Fazendo o quadro-produto, temos: 


3 



JL 3 

2 


S = {x 6 IR |x <3 e x^-A} 

2 


A.170 Resolver em IR as inequagoes: 

a) (5x + 4) 4 • (7x - 2) 3 > 0 

b) (3x + 1 ) 3 . (2 - 5x) S * (x + 4} 8 > 0 

c) (x + 6> 7 ■ (6x - 2) 4 • (4x + 5) 10 < 0 

d) {5x - 1) • I2x + 6) 8 • (4 - 6x) 6 > 0 


119-A 




XV. INEQUAQOES-QUOCIENTE 


162. Sendo f(x 
fjx) 
g(x) 


1 e g{x) 

>0.™ 

g(x) 


duas funcoes na variavel 

f (x) . n f(x) 
TT > 0 e -j-r 
g(x) g{x) 


< o. 


<, as inequapoes 
< 0 


sao denominadas inequacoes-quociente. 

Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de numeros 
reais sao analogas, podemos, entao, construir o quadro-quociente de modo 
analogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de uma 
frapao nao pode ser nulo. 


b) h(x) = 1 - x < 0, isto e, x > 1 

9v -f 4 9 

-- <2 => 3x + 4 > 2(1 - x) =* x > - — 

1 - x 5 

■Sj ={x£ IR lx> 1} n{x £ IRlx > - -} = {x€ IRlx > 1} 

5 

0 conjunto solupao e: 

\ 

S = Sj U S 2 = {x 6 IR I x < - - ou x>l} 

5 

Daremos sempre preferencia ao metodo do quadro-quociente, por sua maior 
simplicidade. 


163. Exemplo 


Resolver em IR 


a inequapao 


3x + 4 
1 - x 


< 2 . 


3x + 4 

1 - x 


< 2 


3x + 4 
1 - x 


2 < 0 => 


5x + 2 
1 - x 


< 0 


Temos: 


3x + 4 - 2(1 - x) 

1 - x 


< 0=> 


Fazendo o quadro-quociente, temos 


2_ 

5 1 x 


f(x) = 5x + 2 

- 

0 

+ 

1 

+ 

g(x) = 1 - x 

+ 

| 

+ 

0 

- 

f(x) 


o 

+ 

; 


g(x) 




-—A. 



2 1 
5 


S = {x £ IR I x < - ~ ou X > 1} 
5 


Podemos resolver a inequapao ~ + 4 < 2, multiplicando por h(x) = 


= 1 - x e examinando dois casos: 


1 - x 


a) h(x) = 1 - x > 0, isto e, x < 1 
3x + 4 


< 2 


3x 


4 < 2(1 - x) => x < - -t- 

b 


S, = {x E IR I x < 1} D {x G IR I x < - -} = {x E IR | x < - —} 

5 5 


EXERCICIOS 

A.171 Resolver as inequapoes em |R: 


■w a) 

2x + 1 

> 0 

b) 

3x - 2 

x + 2 


3 - 2x 

... c) 

3 - 4x 

> 0 

^ d) 

-3 - 2x 


5x + 1 


3x + 1 


<0 

<0 


A. 172 Resolver em IR as inequapoes: 

. 5x - 3 \ , 

3x - 4 

c) x “ 1 > 3 

x + 1 

A.173 Resolver as inequapoes em IR: 

a) (1 2 x)( 3 + 4x) >Q 

(4 - x) 

c) I5x + 4)(4x + 1) ^ q 
( 5 - 4x) "" 


b) 5x ~ 2 <2 

3x + 4 

d) <i 

2x - 4 


b) - + 11 < 0 

(2x + 5)(5x + 3) ^ U 

d) --— <o 


(5 - x){3 - x) 


A.174 Resolver em IR as inequapoes: 


1 

< 

2 


b) 

1 

< 2 

x - 4 

x + 

3 

x - 1 

x - 2 

x + 1 

> 

X + 

3_ 

d) 

x + 5 

< x - 2 

x + 2 

X + 

4 

3x + 2 

3x + 5 

5x + 2 

> 

5x 

- 1 

f) 

1 

+ 2 - 3 

4x - 1 


4x" 

+ 5 

x - 1 

x - 2 x - 3 

2 

> 

1 

1 




3x - 1 

X - 

1 X + 1 





120-A 


121-A 



Jovem luta para ser ouvido 

Niels Henrik Abel de famflia numerosa e pobre, era filho do pastor da peque- 
na aldeia de Findo, na Noruega. 

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemati- 
cas, inclusive as "Disquisitiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta epoca, Abel conse- 
guiu generalizar o teorema binomial que Euler so havia provado para potencias 
racionais. 

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto 
a famflia, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num 
artigo a prova de que se o grau de uma equagao e maior que quatro, nao existe 
uma formula geral em fungao de seus coeficientes para achar suas raizes. Esta era 
uma duvida que preocupava os matematicos ha muito tempo e que agora estava 
resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas 
passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema 
de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matematica. 

Seu nome tambem esta ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns 
de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle. 

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de 
mostrar suas descobertas mas nao obteve exito e numa de suas cartas a um amigo 
escreveu "Todo principiante tern muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei 
um extenso tratado sobre certas classes de fungoes transcendentes mas M. Cauchy 
nao se dignou a olha-lo". 

Abel esperava obter um posto de 
professor em alguma Universidade e por 
isso deixou suas memorias com Cauchy 
para que fossem examinadas mas este logo 
as perdeu e ficaram esquecidas. 

Devido d falta de recursos morreu 
aos 26 anos, de tuberculose, deixando 
profundos e importantes resultados em 
Algebra e Teoria dos Numeros. 

Dois dias apos sua morte chegou 
finalmente a carta informando que havia 
sido nomeado professor na Universidade 
de Berlim. 

Em 1830, Cauchy achou os manus- 
critos de Abel que foram publicados em 
1841 pelo Instituto Frances e que Legendre 
classificou como "um monumento mais 
Niels H. Abel duravel que o bronze", contendo impor- 

(1802 — 1829) tantes genera I izagSes sobre fungoes elfticas. 



122-A 


CAPITULO VII 


FUNgOES 
QUADRA TICAS 


I. DEFINIQAO 

164. Uma aplicagao f de IR em IR recebe o nome de fungao quadratics 
ou do 29 grau quando associa a cada x€ IR o elemento (ax 2 + bx + c) € |R, 
onde a ¥* 0. Isto e: f: IR —► IR 

x »-► ax 2 + bx + c, a # 0. 


Exemplos de fungoes quadraticas: 


a) f(x) = x 2 - 3x + 2 

onde 

a = 1, 

cr 

ii 

i 

CO 

c = 

2 

b) f(x) = 2x 2 + 4x - 3 

onde 

a = 2, 

ii 

Si 

c = 

-3 

c) f(x) = -3x 2 + 5x - 1 

onde 

a = -3, 

b = 5, 

c = 

-1 

d) f(x) = x 2 - 4 

onde 

a = 1, 

b = 0 , 

c = 

-4 

e) f(x) = -2x 2 + 5x 

onde 

a = -2, 

in 

ii 

-O 

c = 

0 

f) f(x) = ~3x 2 

onde 

a = -3, 

b = 0 , 

c = 

0 


II. PARABOLA 


165. 0 grSfico da fungao quadratica e uma parabola. (*) 


(*) Isto 6 provado mais adiante no volume de Geometria Analftica desta colegao. 


123-A 




Exemp/os 


III. CONCAVIDADE 


1?) Construir o grafico de y = x 2 - 1 



X 

y = x 2 - 1 

-3 

8 

-2 

3 

-1 

0 

0 

-1 

1 

0 

2 

3 

3 

8 


2?) Construir o grafico de y = -x 2 + 1 



X 

•< 

ii 

i 

X 

►o 

+ 

-3 

-8 

-2 

-3 

-1 

0 

0 

1 

1 

0 

2 

-3 

3 

-8 


EXERCICIOS 

A.175 Construir os gr&ficos das funpoes definidas em IR: 

a) y = x 2 

b) y = -x 2 * 

c) y = 2x 2 

d) y = -2x 2 

e) y = x 2 - 2x 

f) y =» -2x 2 - 4x 

g) y = -3x 2 - 3 

h> y = x 2 - 2x + 4 

A. 176 Determinar uma funpao quadratics f tal que f<-1) = -4, f(1| = 2 e f (2) = -1. 


166. A parabola representative da fun¬ 
pao quadratica y = ax 2 + bx + c pode 
ter a concavidade voltada para "cima" 
ou voltada para ''baixo''. 



Se a > 0, a concavidade da 
parabola esta voltada para cima. 


Se a < 0, a concavidade da 
parabola esta voltada para baixo. 



IV. FORMA CANONICA 


167. A construpao do grafico da funpao quadratica y = ax 2 + bx + c com o 
auxflio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior, 
torna-se as vezes urn trabalho impreciso, pois na tabela atribui'mos a x alguns 
valores inteiros e pode acontecer que em determinada funpao quadratica os valores 
de abscissa (valores de x) onde a parabola intercepta o eixo dos x ou a 
abscissa do ponto da parabola de maior ou menor ordenada, nao sao inteiros. 

Para iniciarmos um estudo analftico mais detalhado da funpao quadratica, 
vamos inicialmente transforma-la em outra forma mais conveniente, chamada 
forma canonica. 


f(x) = ax 2 + bx + c = a(x 2 + ~ x + f) = a[x 2 + -^x + JL_ _ J^L + — ] = 


= a[(x 2 +^x + - ( 

a 4a 2 


a 

_bi 

4a 2 


.2 

4a 1 


^)]=a[<x+£) 2 -(^ 2 

a 2a 4a 2 


2 

4a 2 a 
")] 


Representando b 2 - 4ac por A, tambem chamado discriminants do 
trinomio do segundo grau, temos a forma canonica. 



124-A 


125-A 







V. ZEROS 


168. Definipao 

Os zeros ou raizes da funpao quadratica f(x) = ax 2 + bx + c sao os valores 
de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as solupoes da equapao do segundo grau 

ax 2 + bx + c = 0. 

Utilizando a forma canonica, temos: 


ax 2 + bx + c = 0 


a[(x + ) : 

2a 


(x + —) 2 - _ Q 

2a 4a 2 ’ 0 

x + A =± 

2a 2a 


(x+ -^-) 2 = -iL 
2a 4a 2 

-b ± >/A~ 


169. Discussao 

Observe que a existencia de rafzes reais para a equapao do segundo grau 
ax 2 + bx + c = 0 fica condicionada ao fato de VA G IR. Assim, temos tres 
casos a considerar: 


1?) A > 0, a equapao apresentara duas raizes distintas que sao 

x, = ibJL^A e x 2 = - : b - 'S* 

2a 2a 


2?) A = 0, a equapao apresentara duas rafzes iguais que sao 

x i = x 2 = . 

2a 

3?) A < 0, considerando que nesse caso V"A IR, diremos que a 
equapao nao apresenta rafzes reais. 


170. Resumo 


ax 2 + bx + c = 0 


a v. n -b + V~A 

2a 

A = 0 => x = — 

2a 

A < 0 => nao existem rafzes reais. 


-b - V~A 
2a 


126-A 


171. Interpretando geometricamente, di- 
zemos que os zeros da funpao quadratica 
sao as abscissas dos pontos onde a pa¬ 
rabola corta o eixo dos x. 

'■? Exemplo 

p Construindo o grafico da funpao 

-cy = x 2 - 4x + 3 podemos notar que 
;'a parabola corta o eixo dos x nos 

pontos de abscissas 1 e 3, que sao 
as rafzes da equapao x 2 - 4x + 3 = 0. 



EXERCICIOS 

A.177 Determinar os zeros reais das funpSes: 

a) f(x) = x 2 - 3x + 2 
b> f (x) - -x 2 + 7x - 12 

c) f(x) = 3x 2 - 7x + 2 

d) f(x) * x 2 - 2x + 2 

e) f(x) = x 2 + 4x + 4 

f) f(x) = -x 2 + -|x + 1 

g) f(x) = x 2 - 2x - 1 

h) f(x) = -x 2 + 3x - 4 

i) f(x) = X 2 - V2x + — 

2 

j) fix) = x 2 + (1 - V3)x * V3 

k) fix) = 2x 2 - 4x 

l) fix) = -3x 2 + 6 

m) fix) = 4x 2 + 3 

n) fix) = -5x 2 

A.178 (MAPOFEI-76) Resolver o sistema 



127-A 



A. 179 Determinar os zeros reais da fungao f (x) = x 4 - 3x 2 - 4. 
Solugao 

Queremos determinar x € IR tal que x 4 - 3x 2 -4 = 0. 
Fazendo a substituigao z = x 2 , vem: 

z 2 - 3z - 4 = 0 

cuja solugao e z = 4 ou z = -1 mas z = x 3 , entao: 
x 2 = 4==>x = ±2 


= -1 x G IR. 


Logo, os zeros reais da fungao fix) = x 4 - 3x 2 - 4 sao x = 2 e x = -2. 


A. 180 Determinar os zeros reais das fungoes: 

a) fix) = x 4 - 5x 2 + 4 

c) f (x) = x 4 - x 2 - 6 
e) f(x) = 2x 4 + 6 x 2 + 4 
g) fix) = 3x 4 - 1 2x 2 


b) fix) = -x 4 + 5x 2 + 36 
d) fix) = x 4 - 4x 2 + 4 
f) fix) = -x 4 + 3x 2 - 3 
h) fix) = x 6 - 7x 3 - 8 


A.181 Determinar os valores de m para que a fungao quadratica 

fix) = mx + (2m - 1 )x + (m - 2) tenha dois zeros reais e distintos. 

•> 

Solugao 

Na fungao fix) = mx 2 + (2m - 1)x + (m - 2), temos: 

a = m, b = 2m -1,c = m- 2 e A = 4m + 1. 

Considerando que a fungao 6 quadratica e os zeros sao reais e distintos entao: 
a = m^Q e A = 4m + 1 > 0 


m^O e m > - — 

4 


A. 182 Determinar os v|lores de m para que a fungao quadratica 

fix) = (m - 1)x + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. 


A. 183 Determinar os valores de m para que a equagao do 2? grau 
(m + 2)x + (3 - 2m)x + (m - 1) =0 tenha raizes reais. 


A. 184 Determinar os valores de m para que a fungao 
Vs “" f(x * = mx + (m + 1 )x + (m + 1 ) tenha urn zero real duplo. 


. AJ65 Determinar os valores de m para que 
x *■ (3m + 2)x + (m 2 + m + 2) = 0 


a equagao 

tenha duas raizes reais iguais. 


A. 186 Determinar os valores de m para que a fungao 

fix) - (m + 1)x + (2m + 3)x + (m - 1) nao tenha zeros reais. 


128-A 


A. 187 Determinar os valores de m para que a equagao 

mx 2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0 nao tenha raizes reais. 

A.188 Mostre que na equagao do 2? grau ax 2 + bx + c = 0, de raizes reais Xj e X 2 , 

temos para a soma S das raizes S = xj + X 2 = —- e para produto P das raizes 

a 

P = xj • x 2 = — . 

a 

A. 189 Na equagao do 2? grau 2x 2 *5x-1 *0 de raizes Xi e x 2 , calcular: 

a) X! + x 2 

b) xj • x 2 

v 1 ^ 1 
Xj x 2 

d) (xj) 2 + (X 2) 2 

e) AL + Hi 

x 2 X J 

f) (xi) 3 + (x 2 ) 3 

A. 190 Mostre que uma equagao do 2? grau de raizes xj e X 2 6 a equagao x 2 - Sx + P = 0 
onde S=xi + X 2 e P = xj • X 2 . 

A.191 Obter uma equagao do segundo grau de raizes: 


a) 2 e -3 



c) 0,4 e 5 

d) 1 e - V2 

e) 1 + \/~3 e 1 - V3 

A. 192 Se a equagao ax 2 + bx + c = 0, a =£ 0, admite as raizes reais nao nulas xi e 
X 2 , obter a equagao de raizes: 

a) (xi ) 2 e (x 2 ) 2 

b) ± e 1 

xi x 2 

c) ^l e A2 

X 2 X 1 

d) (xx ) 3 e (x 2 ) 3 

A.193 Determinar m na equagao mx 2 - 2(m - 1)x + m = 0 para que se tenha 

x i + ^2 - 4 onc je X i e X 2 sao as raizes da equagao. 

*2 x i 


129-A 



VI. MAXIMO E MINI MO 


172. Definipao 

Dizemos que o numero y M € lm(f) (y m G lm(f)) <§ o valor de maximo 
{m/n/mo) da funpao y = f(x) se, e somente se, y M > y (y m < y) para 
qualquer y € lm(f) e o valor de x M € D(f) (x m G 0(f)) tal que y M = f(x M ) 
(Ym = f( x m )) e chamado ponto de maximo (minimo ) da funpao. 


173. Teorema 


* ^ funpao quadratica y = ax 2 + bx + c admite um valor maximo (minimo) 
-A -b 

Y = -— em x = —— se, e somente se, a < 0 (a > 0)". 

4a 2a 

Demonstragao 

Consideremos a funpao quadratica na forma canonica 

V = a[(x + A ) 2 - -A ] (1) 

2a 4a 2 

Considerando que (x+ |) 2 >0, VxG IR e -A para uma dada 

4a 2 

funpao tern valor constante, entao y assumira valor maximo (mmimo) quando 
a < 0 (a > 0) e a diferenpa 


( X + JL)2 _ J± 

2a 4a 2 


for a menor possi'vel, isto e 


( X + A) 2 = o 

2a 


Substituindo x = — em (1) temos 
2a 


y = a [(—_ + —~) 2 - A] 
2a 2a 4a 2 J 


a[o2 -£ 


A 

4a 


130-A 


174. Exemplos 


1?) Na funpao real f(x) = 4x 2 - 4x ~ 8 temos: a = 4, b = -4, c = -8 
e A = 144. 

Como a = 4 > 0, a funpao admite um valor mmimo: 

YM = ist0 Vm = ~ 9 

4a 4-4 


2a 2-4 


, isto e: x r 


2?) Na funpao real f{x) = -x 2 + x + —, temos: a = -1, b-1, c - 
e A = 4. 

Como a = -1 < 0, a funpao admite um valor maximo: 

yM = t = A' ist0 VM = 1 


XM = ii = A ist0 " : XM 4 


VII. V6RTICE DA PARABOLA 

175. Definipao 

O ponto V( —, —) e chamado vertice da parabola representativa da 
2a 4a 

funpao quadratica. 

EXERCICIOS 

A.194 Determinar o valor maximo ou o valor mfnimo, e o ponto de m6ximo ou o ponto 
de mi'nimo das funpoes abaixo, definidas em IR. 

a) y = 2x 2 + 5x b) y = -3x 2 + 12x 

c) y = 4x 2 — 8x + 4 d) y = x 2 - x + | 

e) y = -x 2 + 5x - 7 f) V = "7 + 1 X ' \ 


131-A 





A.195 Determiner o valor de m na funpao real f(x) = 3x2 - 2x + m para que 0 va[o 

mmimo seja —. 

3 

A.196 Determinar o valor de m na funpao real f<x) = -3x 2 + 2(m - 1)x + (m + 1) par, 
que o valor m£ximo seja 2. 

A-197 Determinar o valor de m na funpao real f(x) = mx 2 + {m - 1)x + (m + 2) par; 
que o valor maximo seja 2. 

A-198 Determine o valor de m na funpao real f(x) = (m - 1)x 2 + <m + 1)x - m pan 
que o valor mmimo seja 1. 

A-199 Dentre todos os numeros reais de soma 8 determine aqueles cujo produto 6 maximo 
Solupao 

Indicando por x e z esses numeros e por y o seu produto, temos: 
x + z = 8 y = x • z. 

Como precisamos ficar com uma s6 das variaveis x ou z, fazemos 


x + z = 8 


z = 8 - x 


e portanto 

y = x • z => y = x(8 - x) =* y = -x 2 + 8x. 

Como a = -1 < 0, y 6 maximo quando 

x = — - . 

2a 2 • (-1) X = 

Substituindo em z = 8 - x vem z = 4. 

Logo, os numeros procurados sao 4 e 4. 

A.200 Dentre todos os numeros reais x e z tais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo 
produto 6 maximo. 

A.201 Dentre todos os retangulos de perfmetro 20 cm, determine o de 3rea maxima. 


A.202 Dentre todos os numeros de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados 6 


A.203 Determine o retangulo de area maxima localizado no primeiro quadrante, com dois 
lados nos eixos cartesianos e urn v 6 rtice na reta y = - 4 x + 5 . 

A.204 £ dado uma folha de cartolina como na 
figura ao lado. Cortando a folha na 
linha pontilhada resultara um retangulo. 

Determinar esse retangulo sabendo que 
a area 6 maxima. 

A.205 Determine o retangulo de maior £rea contido num triangulo equilatero de lado 4 cm, 
estando a base do retangulo num lado do triangulo. 



132-A 



133-A 





177. Provemos agora que a imagem da fungao quadratica f(x) = ax 2 + bx + c t 

lm = {y G IR | y > -^-j para a > 0 
4a 


lm = {y £ IR | y < ——} para a < 0. 

4a 

Vamos provar so para o caso em que a > 0. 

Para provarmos que a imagem da fungao f(x) = ax 2 + bx + c e 
lm = {y 6 IR | y > P ara a ^ devemos mostrar que qualquer que 

seja y 6 lm existe x G IR tal que y = ax 2 + bx + c. 

De fato, seja y E lm, entao podemos escrever 


ou seja: 


y = a(x + l )2 -ir 


y + * a(x + -^-) 2 (1) 


Como y > temos y + -A. > 0, isto e, o primeiro membro da 

igualdade (1) e nao negativo, logo o segundo membro tambem o sera, isto e, 

a(x + -A) 2 > 0 
2a 


e como a > 0, temos: 


:x +^-) 2 > o 

2a 


que 6 uma inequagao do segundo grau com solugao x E |R. 


178. Exemplos 

1?) Obter a imagem da fungao f de IR em IR definida por f(x) = 
= 2x 2 - 8x + 6. 

Na fungao f(x) = 2x 2 - 8x + 6, temos: 

a = 2, b = -8 e c = 6 

logo: 

A = b 2 - 4ac = (-8) 2 -4.2-6=16 


134-A 


e portanto: 


^ - ~ 16 = 2 
4a 4-2 

Como a = 2 > 0, temos: lm{f) ={yE IR | y > -2} 


2?) Obter a imagem da fungao f de IR em R definida por 

f(x) = - ^ + 2x - - . 

3 3 

x 2 6 

Na fungao f(x) = + 2x - —, temos: 

3 3 

a = - i b = 2 e c = - - 
3 3 


A = b 2 - 4ac = 2 2 — 4 • (-—) (-—) = — 

3 3 9 


e portanto: 


Como a = - 1 <0, temos: lm(f) = {y E IR j y < 5} 
d 3 


EXERCI'CIOS 

A.208 Determinar a imagem das fungoes definidas em IR : 

a) y = x 2 - 3x 

b) y = -x 2 + 4 

c) y - 3x 2 - 9x + 6 

d) y = -4x 2 + 8x + 12 

e) y = -x 2 + — x + 1 

2 

f) y = 1 x 2 + X + 1 


A.209 Determinar m na fungao f(x) = 3x 2 - 4x + m definida em IR para que a imagem 
seja lm = {y G R I y > 2}. 

x 2 1 

A.210 Determinar m na fungao f(x) = - — + mx - - definida em P para que a imagem 
seja lm = {y G R I y < 7}. 4:1 


( 


135-A 



IX. EIXO DE SIMETRIA 


179. "O grafico da funpao quadratica 
admite um eixo de simetria perpendicular 
ao eixo dos x e que passa pelo vertice". 

Os pontos da reta perpendicular ao 
eixo dos x e que passa pelo vertice da 

parabola obedecem a equapao x = —, 


_! M_B, 

lb/ 


pois todos os pontos dessa reta tem 
abscissa —. 


Para provarmos que a parabola tem eixo de simetria na reta x = -1—, 

devemos mostrar que dado um ponto A(-I-r, y), com 'r € IR, pertencente 

2a 

ao grafico da funpao, existe B(—— + r, y) tambem pertencente ao grafico da 

2a 


funpao. 


Tomando a funpao quadratica na forma canonica 


f(x) = a[(x + A) 2 - -A 
2a 4a 2 


e considerando que A{— - r, y) pertence ao grafico da funpao temos: 
2a 


v = f A - r) = a[ A - r + 4 -- A 1 ■ a[( - r)2 - A 1 - 

2a 2a 2a 4a 2 4a 2 

= a[(r) 2 - A_] = a[(A- + ' + A' ~ = f A + r > 

4a 2 2a 2a 4a 2 2a 


provando que B(— + r, y) tambem pertence ao grafico da funpao. 
2a 


X. GRAFICO 

180. Para fazermos o esbopo do grafico da funpao quadratica f(x) = ax 2 + bx + c, 
buscaremos, daqui para a frente, informapoes preliminares que sao: 


136-A 


x 


19) 0 grafico e uma parabola, cujo eixo de simetria e a reta x = —— 

perpendicular ao eixo dos x. 

2?) Se a > 0 (a < 0), a parabola tem a concavidade voltada para cima 
(baixo). 

3?) Zeros da funpao 

Se A > 0, a parabola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos 

p i( -b-VA 0 ) e P 2 ,AlAA,0) 

2a 2a 


Se A = 0, a parabola tangencia o eixo dos x no ponto P(—, 0). 

2a 

Se A < 0, a parabola nao tem pontos no eixo dos x. 

4?) Vertice da parabola e o ponto V(—que e maximo se a < 0 
ou e mrnimo se a > 0. 

Seguem-se os tipos de graficos que poderemos obter: 




137-A 






EXERCICIOS 


A.211 Fazer o esbopo do grafico da funpao y = x 2 - 4x + 3. 

Solupao 
Concavidade 

Como a = 1 > 0 a parabola tem a concavidade voltada para cima. 

Zeros da fungao 

x 2 -4x + 3 = 0=>x = 1 ou x - 3 
Os pontos no eixo x sao Pj(1, 0) e P 2 (3, 0) 

Vertice 

Em y = x 2 - 4x + 3, temos 
a = 1, b = -4, c = 3 e A = 4 

-b 4 „ -A -4 

2a 2 • 1 4a 4 • 1 

o v6rtice 6 V(2, -1). 

Grifico 

Observe que a parabola sempre inter- 
cepta o eixo y. Para determinarmos 
onde o faz, basta lembrar que o ponto 
situado no eixo y tem abscissa nula, 
logo y(0) = 0 2 -4-0+3 = 3, isto 
6, o ponto no eixo y 6 (0, 3). 

Determinado o ponto onde a parabola corta o eixo y, podemos determinar um outro 
ponto (4, 3) da parabola, simdtrico a (0, 3) em relapao a reta x = 2 {eixo 
de simetria da parabola). 

A.212 Fazer o esbopo do grafico da funpao y = -x 2 + 4x - 4. 

Solupao 

Concavidade 

Como a = -1 < 0 a parabola tem a concavidade voltada para baixo. 

Zeros da fungao 

-x 2 + 4x - 4 = 0 => x = 2 

A parabola admite um unico ponto no eixo x que 6 P = (2, 0). 

Virtice 

Considerando que a parabola admite um unico ponto no eixo x, entao esse ponto 
6 o v6rtice da parabola. 



138-A 



139-A 





XI. SINAL 


181. Consideremos a funpao quadratica 

f(x) = ax 2 + bx + c (a =£ 0) 

e vamos resolver o problema: “para que valores de x G IR temos: 
a) f(x) > 0; b) f(x) < 0; c) f(x) = 0? " 

Resolver este problema significa estudar o sinal da funpao quadratica pan 
cada x G IR. 

Na determinapao do sinal da funpao quadratica, devemos comepar pelc 
calculo do discriminante A, quando tres casos distintos podem aparecer: 

a) A < 0 b) A = 0 c) A > 0 

Vejamos como prosseguir em cada caso. 

182. 1? Caso: A < 0 

Se A < 0 entao -A > 0. 

Da forma canonica, temos: 

a • f(x) = a 2 [(x + A) 2 + (_A)] => a • f(x) > 0, V x e IR 

S. 2a , Ja 2 

P° S, t ,VO (nao negativo) f. 

posit i vo 

Isto significa que a funpao f(x) = ax 2 + bx + c, quando A < 0, ten 
o sinal de a para todo x G IR, ou melhor: 



A representapao grafica da funpao f(x) = ax 2 + bx + c, quando A < 0 
vem confirmar a dedupao algebrica. 



f(x) >0_ / \ 


140-A 


Exemplos 

1?) f(x) = x 2 - 2x + 2 apresenta A = (-2) 2 - 4 • 1 . 2 = -4 < 0 e, 
como a = 1 > 0, conclui'mos que 

f(x) >0, VxG IR. 

2?) f(x) = -x 2 + x - 1 apresenta A = 1 2 - 4 * (-1) - (-1 > = -3 < 0 
e, como a = -1 <0, conclui'mos que 

f(x) <0, Vx e IR. 

183. 2? Caso: A = 0 

Da forma canonica, temos: 

a • f(x) = a 2 [(x + ) 2 - 

/ ^ , 2a - 
positlvo (nao negativo) 

entao a • f (x) >0, V x G IR. 

Isto significa que a funpao f(x) = ax 2 + bx + c, quando A = 0, tern 

o sinal de a para todo x £ IR - {xj sendo x, = — zero duplo de f(x), 

2a 

ou melhor: 



A representapao grafica da funpao f(x) = ax 2 + bx + c, quando A - 0, 
vem confirmar a dedupao algebrica. 










Exemp/os 


1?) f(x) = x 2 - 2x + 1 apresenta A = (~2) 2 - 4 • 1 • 1 = 0, entao f(x) 

tem um zero duplo x t = — 1 - = 1 e, como a = 1 > 0, conclui'mos: 

2a 

/f<x) >0, Vx G IR - {1} 

|f(x) =0 se x = 1 


2?) f(x) = -2x 2 + 8x - 8 apresenta A = 8 2 - 4{-2) • (-8) - 0, entao 

f(x) tem um zero duplo para x, = ~ = 2 e, como a = -2 < 0, conclui'mos: 

2a 

f f(x) <0, Vx e IR - {2} 

| f(x) =0 se x = 2 


184. 3? caso: A > 0 


Da forma canonica, temos: 


b p . *[,* + JL + ^)( x + b _ 


a.f(x,=a 2 [(x + ^P-<^P]=a 2 [(x + ^ + ^,« 


2a 2a 


Lembramos que a formula que da as rai'zes de uma equapao do segundo 
grau e: 

' _ -b - \fK 

-b ± VT . . 2a 

x = - isto e __ 

2a -b + VA 

* 2= -^7— 


fica evidente que a forma canonica se transforma em: 


af(x) = a 2 [(x 


■ " 0 3g »(x - b + = a 2 < x ' x iM* ~ x 2 )■ 

2a 2a 


0 sinal de a • f(x) depende dos sinais dos fatores (x - Xj) e (x - x 2 ). 
Admitindo x t < x 2 , temos que: 


1} se x < Xj 


X Xj x 2 


x < Xj < x 2 


x - x x < 0 


x - x 2 < 0 


a . f (x) = a . (x - x, )(x - x 2 ) > 0 


(±) 6 6 


142-A 


2) se Xi < x < x 2 


Xi x x 2 


, temos: 


Xj < x < x 2 


x - Xj > 0 


x - x 2 < 0 


a . f(x) = a 2 (x - XjJ(x - x 2 ) < 0 


3) se x > x 2 


Xj x 2 x 


, temos: 


X > X 2 > Xj 


x - Xi > 0 


x - x 2 > 0 


a . f{x) =a\{x - x, )(x - x 2 )> 0 


<±> 4) 6 


Isto significa que: 

1) 0 sinal de f(x) e o sinal de a para todo x, tal que x < x x ou 
x > x 2 ; 

2) O sinal de f(x) e o sinal de -a para todo x, tal que x t < x < x 2 . 


Em resumo: 

x = Xj 

x < X] -»-v /— 

\ / 


f(x) tem o 
sinal de a 


^ ^ X = X2 ^ 
X[SXSX 2 --\ / -► x>x 2 


fix) tem o 
sinal de -a 


t fix) tem o 

0 sinal de a 


O grafico da funpao f(x) = ax 2 + bx + c, quando A > 0, vem confirmar 
a dedupao algebrica. 


Xi / fix) >0 


fix) <0 


fix) <0 


fix) >0 


fix) > 0 


Xi\ fix) <0 /x 2 


Exemp/os 

1?) f{x) = x 2 - x - 6 apresenta A - (-1) 2 - 4 • 1 • (-6) = 25 > 0, 
entao f(x) tem dois zeros reais e distintos: 

= -b m 1^_5 = = 1 J_5 = 3 

1 2a 2 2 2a 2 


e, como a = 1 > 0, conclui'mos que: 


143-A 




r f(x) > o 

para 

x < -2 ou 

X 

f(x) = 0 

para 

x = -2 ou 

X 

[f(x) < 0 

para 

-2 < x 

A 

CO 


2?) f(x) = -2x 2 + 3x + 2 apresenta A = 3 2 - 4 • (-2} • 2 = 25, logo 
f(x) tem dois zeros reais e distintos: 

-b + VT -3 + 5 1 . . -b - V^A -3-5 0 

Xl = 2a ~ ^ ~T~ = ~T 6 X2 = - 2a = -4 

e, como a = -2 < 0, conclumnos que 


"f(x) 

< 0 

para 

. 1 

X < —“ ou 
2 

x > 2 

f (x) 

= 0 

para 

1 

x = - —- ou 
2 

x = 2 

J(x) 

> 0 

para 

~L< X 

2 

< 2 


EXERCICIO 

A.215 Estudar os sinais de cada uma das funpoes do exerci'cio A. 214. 


XII. INEQUAQAO DO 2? GRAU 

185. Se a # 0 as inequapoes ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c < 0, 
ax 2 + bx + c > 0 e ax 2 + bx + c < 0 sao denominadas inequapoes do 29 
grau. 

Resolver, por exemplo, a inequapao 

ax 2 + bx + c > 0 

e responder a pergunta: "existe x real tal que f(x) = ax 2 + bx + c seja positiva?" 

A resposta a esta pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que 
pode, inclusive, ser feito atraves do grafico da funpao. Assim, no nosso exemplo, 
dependendo de a e de A podemos ter uma das seis respostas seguintes: 


144-A 



EXERCICIOS 

A.216 Resolver a inequapao x 2 - 2x + 2 >0. 

Sotupao 

Considerando f{x) = x 2 -2x + 2, temos 
a = 1 > 0 e A = -4 < 0 entao 
f(x) > 0, V x £ !R. 

Como a inequapao 6 f(x) > 0, vem: 

S = IR. 





145-A 




A.218 Resolver a inequapao -2x 2 + 3x + $ 1>0. 


Solupao 

Considerando f(x) = -2x 2 + 3x + 2, 
temos a = -2 < 0, A = 25 > 0 e os 

zeros xj = - 1 e xj = 2, entao 


f(x) < 0 para x < - - ou x > 2 

f(x) = 0 para x = - — ou x = 2 
2 


f(x) > 0 para 


<x <2 


Como a inequapao 6 f(x) ^ 0, vem: 
S = {x e IR I - i < X < 2} 



A.219 Resolver as inequapoes em ft: 

a) x 2 - 3x + 2 > 0 b) -x 2 + x + 6 > 0 

c) -3x 2 - 8x + 3 < 0 d) -x 2 + - x + 10^0 

e) 8x 2 - 14x + 3 < 0 f) 4x 2 - 4x + 1 > 0 

g) x 2 - 6x + 9 > 0 h) -4x 2 + 12x - 9 > 0 

i) x 2 + 3x + 7 > 0 j) -3x 2 + 3x - 3 < 0 

k) 2x 2 - 4x + 5 < 0 |) - 1 x 2 + 1 x - 1 > 0 

3 2 4 


A.220 Resolver a inequapao (x 2 - x - 2)(-x 2 + 4x - 3) > 0 em IR. 

Soiupao 

Analisando os sinais dos fatores, temos: 



Fazendo o quadro-produto, vem 

-11 2 3 x 


f(x) = x 2 - x - 2 + 

0 

; 

-?- 

0 + : 

+ 

g(x) = -x 2 + 4x - 3 


0 

+ i + 0 

- 

f(x) • g{x) 

0 + 
pinninmii 

w > r 1 1 1 1 111111 

0 

4fHo— 

o + o 

-ommiimmmo— 

- 


S = {x£ IR I -1 <x < 1 ou 2 <x <3} 


146-A 


A221 Resolver em IR as inequapoes: 

a) (1 - 4x 2 ) ■ (2x 2 + 3x) > 0 

b) (2x 2 - 7x + 6) • (2x 2 - 7x + 5) < 0 

c) (x 2 - x - 6) • (-x 2 + 2x - 1) > 0 

d) (x 2 + x - 6) • (*-x 2 - 2x + 3) > 0 

e) x 3 - 2x 2 - x + 2 > 0 

f) 2x 3 - 6x 2 + x - 3 < 0 

A.222 (MAPOFEI-71) £ dada a funpao y = (2x 2 - 9x - 5){x 2 - 2x + 2). 
Determiner: 

a) os pontos de intersecpao do gr^fico da funpao com o eixo das abscissas. 

b) o conjunto dos valores de x para os quais y ^ 0. 

9v 2 4- y . 1 

A.223 Resolver a inequapao --— <0 em IR. 

2x - x 2 


Soiupao 

Analisando os sinais do numerador e do denominador, temos: 



Fazendo o quadro-quociente, vem 1 

-1 0 "2 2 x 


f{x) = 2x 2 + x - 1 + 

0 

- 


- 

0 + 

—?— 

i 

1 

+ 

g(x) = 2x - x 2 


- 

0 

+ 

| 

! + 

0 

* 

f (x) 






1 


g(x) 

•-WWHHW 

Q 

1 mu 

rTTTF 

+ 

—oH+f 


0 + 

- 

_Q_ 

- 


-1 0 i- 2 


S = {x £ IR | x ^ -1 ou 0 < X <-L ou x > 2 } 

2 



147-A 










A.225 Resolver as inequagdes: 

a) 4 < x 2 - 12 < 4x 

b) x 2 + 1 < 2x 2 - 3 < -5x 

c) 0 < x 2 - 3x + 2 < 6 

d) 7x + 1 < x 2 + 3x - 4 < 2x + 2 

e) 0 < x 2 + x + 1 < 1 

f) 4x 2 - 5x + 4 < 3x 2 - 6x + 6 <C x 2 + 3x - 4 


A.226 Resolver os sistemas de inequagdes: 


fx 2 + x - 2 2 
1,3x - x 2 < 0 


1 + 2x > 0 
-4x 2 + 8x - 3 < 0 


fx 2 + x - 20 < 0 

b) l o 

lx 2 - 4x - 21 >0 

f-2x 2 - x + 1 > 0 
d) { „ 

Ux 2 - 8x + 3 < 0 


A.227 Resolver a inequagao x 4 - 5x 2 + 4 ^ 0 em IR. 


Solucao 


Fazendo ? - x 2 temos 


z 2 -5z + 4^0 => z < 1 ou z ^ 4 
mas z = x 2 , portanto: 

(x 2 <1 ou x 2 > 4) => (x 2 - 1 < 0 ou x 2 - 4 > 0) 

=> (-1 < X < 1 ou x < -2 ou x > 2) 

logo S = {xGlR|x<-2 ou -1 ^ x ^ 1 ou x ^ 2} 


A.228 Resolver em IR as inequagdes: 
a) x 4 - 10x 2 + 9 < 0 
c) x 4 + 8x 2 - 9 < 0 
e) x^ - 7x3 - 8 > 0 


b) x 4 - 3x 2 - 4 > 0 
d) 2x 4 - 3x 2 + 4 < 0 
f) 3x 4 - 5x 2 + 4 > 0 


R XIII. TEOREMA 

/ — r 

186. A condicao necessaria e suficiente para que o trinomio do 29 grau 
f(x) = ax 2 + bx + c tenha sinal constante em IR e que A < 0. 

Este teorema e uma consequencia das propriedades de sinal de 
f(x) = ax 2 + bx + c ja estudadas. Observemos que: 

j a) A < 0 e a > 0 *=> f(x) > 0, V x € IR 
\ b)A<0 e a<0 <=> f(x) < 0, V x G IR 


148-A 


187. Exemplo 


Determinar m de modo que a funcao quadratica 
f(x) = mx- + (2m - 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real. 

Devemos ter simultaneamente A < 0 e a > 0, portanto 

1?) A = b 2 - 4ac = (2m - I) 2 - 4 • m • (m + 1) = 

= 4m 2 - 4m + 1 - 4m 2 - 4m = -8m + 1 < 0 => m > 1 

8 

e 

29) a = m>0=>m>0 

Como as condicoes sao simultaneas, conclui'mos que 

(f(x) > 0, V x G IR) <=> m > —, 

8 


EXERCICIOS 

A.229 Determinar m para que se tenha para V x E IR. 

a) x 2 + (2m - 1)x + (m 2 - 2) > 0 b) x 2 + (2m + 3)x + (m 2 + 3) > 0 

c) x 2 - mx + m > 0 d) x 2 + (m + 1 )x + m > 0 

e> -x 2 + (m + 2)x - (m + 3) > 0 f) (m - 1)x 2 + 4(m - 1)x + m > 0 

q) mx 2 + (m-2)x + m<0 h) mx 2 + (m + 3)x + m>0 

i) (m 4 1)x 2 - 2(m - 1)x + 3(m - 1) <0 j) (m 2 - 1)x 2 + 2(m - 1)x + 1 >0 

A.230 Determinar m para que se tenha x 2 + (m + 1)x + 1 ^ ~ w r- 

o, , , para y x t in, 

x 2 + x + 1 


Solugao 

Considerando que x 2 + x + 1 e positivo para qualquer x real, multiplicamos 
ambosos membros de ^ >» + 1 <2 por (' x 2 + x + ,, mantendo a 

desiqualdade. 

Entao: 

x 2 + (m + 1 )x + 1 ^ ^ i _l _ 

--;- < 2, V X E IR 

x 2 + x + 1 

x 2 + (m + l)x + 1 < 2(x 2 + x + 1), V x G IR <=* 

^ -x 2 + (m - 1)x - 1 < 0, V x G IR. 

Devemos ter A < 0, portanto: 

A (m - 1 ) 2 - 4 • (-11 • (-1) - m 2 - 2m - 3 < 0 <=> -1 < m < 3. 

Resposta: -1 < m < 3, 

s. 


149-A 



189. Resumo 


A.231 Determinar m para que se tenha para V x G IR: 


> x 2 + mx + 1 

11 x*V T 


<2 


b) 


x 2 - mx + 2 
x 2 - x + 2 


> m 


c) 


X 

x 2 + 4 


v> x + m 
^ x 2 + 1 


d) -3 < 


x 2 + mx - 2 
x 2 - x + 1 


<2 


% xiv. comparaqAo de um nOmero real com as raizes 

DA EQUAQAO DO 2? GRAU 


188. Comparar o numero real ct as rai'zes reais < x 2 da equapao do 2? 
grau ax 2 + bx + c = 0 e verificar se: 

1) a < X! < x 2 (a esta a esquerda de Xi) 

2) Xj < a < x 2 (a esta entre as rai'zes) 

3) < x 2 < a (a esta a direlta de x 2 ) 

4) a = X! ou a = x 2 (a e uma das rai'zes) 
sem calcular as rai'zes. 

Sendo f(x) = ax 2 + bx + c uma fungao quadratica, cuja regra de sinal ja 
discutimos neste capi'tulo, temos que: 


a) se a estiver a esquerda de Xj ou a direita de x 2 , o produto a • f(a) 
e positivo, isto e: a (coeficiente de x 2 ) e f(a) = aa 2 + ba + c tem o mesmo 
sinal. 


\ a>0 y 


<* x l/'"~ n \ x 2 


f \ f(a) >o / 


/!/ \ 


f(a)< A / 


f( “h j Ha) <0 \ 


a x N *-^ x 2 

- ► X 

v a <0 \ 



b) se a estiver entre as rai'zes Xj e x 2 (X} =£ x 2 ) o produto a • f(a) 
e negativo, isto e: a e f(a) tem sinais contrarios. 



Conhecendo a posiqao de a em relapao as rai'zes reais x t e x 2 de 
f(x) = 0, temos que: 


1) a < Xi < x 2 => a • f(a) > 0 

2) Xi < a < x 2 => a • f(a) < 0 

3) Xi < x 2 < a => a • f(a) > 0 

4) a = Xi ou a = x 2 => a • f(a) = 0 


Observemos que nos casos 1, 3 e 4 o discriminante e A>0 enquanto 
que no caso 2 temos A > 0. 


Inversamente, conhecendo o sinal do produto a • f(«), que conclusao 
podemos tirar da existencia de rafzes reais da equagao f(x)=0 equala posigao 
de a. em relaqao as mesmas rai'zes? 

E= o que veremos em seguida. 


190. Teorema 1 

Se a • f(a) < 0, o trinomio f(x) = ax 2 + bx + c tem zeros reais e dis- 
tintos e a esta compreendido entre eles. 

H{a • f (ex) <0 T{A>0eXi<o:<x 2 

Demonstragao 

1?) Se fosse A < 0, terfamos: a • f(a) > 0, V <*, a 6 R 
o que e absurdo, pois contraria a hipotese a • f(a) < 0. 

Conclui'mos, entao, que A > 0, isto e, f{x) tem dois zeros Xi e x 2 , 
reais e distintos. 

2?) Se o real a estiver a esquerda de Xi ou a direita de x 2 ou for 
um zero de f(x), teremos a • f(a) > 0, o que contraria a hipdtese a • f{a) < 0. 

Conclui'mos, entao que a esta compreendido entre x x e x 2 . 

Exemplo 

Comparar o numero 1 as rai'zes da equapao 3x 2 - 5x + 1 =0. 

Temos a = 3, a = 1 e f(x) = 3x 2 - 5x + 1, entao 

a • f(a) = 3 • f(1) = 3 * (3 • I 2 - 5 • 1 + 1) = -3 < 0. 

Conclusao: A > 0 e Xj < 1 < x 2 . 


150-A 


151-A 







191. Teorema 2 


Se a * f(a) >0 e A > 0, entao a esta a esquerda de Xi on a direita 
de x 2 . 


a • f(a) > 0 
H -< ou 

A > 0 


{ a < x, < x 2 
ou 

Xj < x 2 < o 


Demonstracao 

Se A > 0 e x 1 < 0 '^x 2 , entao a • f{a) ^0, o que contradiz a 
hipotese a ■ f(o) > 0. 

Se A = 0 e a = x, = x 2 , entao a • f(or) = 0, o que tambem contradiz 
a hipotese a • f(a) > 0. 

Conclufmos que a < x t < x 2 ou Xj < x 2 < a. 

Notemos que, se a * f(a) >0 e A > 0, o teorema 2 garante que 
<* f=- [Xi, x 2 ], mas nao indica se a esta a esquerda desse intervalo (a < x, < x 2 ) 
ou a direita dele (xj < x 2 < a). Para verificarmos qual dessas duas situates 
esta ocorrendo, devemos comparar a com urn numero qualquer que esteja entre 

as rafzes. Para facilitar os calculos vamos utilizar o numero — = Xl + X2 - — 

2 2 2a ' 

que e a media aritmetica das raizes x x e x 2 , pois: 


X, ^ x 2 


xi + x 2 


Xl < | < X 2 


S “b 

Calculando — = ——, temos duas possibilidades a examinar: 

Z Za 

S S 

1^) se a < — entao a esta a esquerda de — e, consequentemente, 
a esquerda de Xj; ^ 

Xl x 2 

C ■ " 1 1 • ■ # ♦ ^ 

a < — a < x, < x 2 a JL 

2 12 2 


2?) se a > —, entao, a esta a direita de — e, consequentemente, 
a direita de x 2 ; ^ 


Xi < x 2 < a 


152-A 


Exemplos 

1?) Comparar o numero 1 as raizes da equagao 


A = 4 2 - 4 • 3 • (-3) = 52 > 0 
a • f(a) = 3 • f(1) = 3* (3 + 4-3) = 12 > 0 



3x 2 + 4x - 3 = 0. 

=> Xj < x 2 < 1 


2?) Comparar o numero 0 com as rafzes da equagao 4x 2 - 6x + 1 = 0. 
A = (-6) 2 - 4 • 4 • 1 - 20 > 0 

a • f(a) = 4 ■ f (0) = 4-1 = 4 > 0 I 0 < < x 2 



192. Resumo 

Se f(x) = ax 2 + bx + c apresenta zeros reais x t < x 2 e a e um numero 
real que vai ser comparado a x { e x 2 , temos: 


a) a • f(a) < 0 > Xi < a < x 2 

b) a • f(a) = 0 - a 6 uma das rafzes 


c) a ■ f(a) >0 e A > 0 


a<x,<x -2 se a < — 


Xi < x 2 < a se a > 


EXERCICIOS 

A.232 Determinar m de modo que o numero 1 esteja compreendido entre as raizes da 
equapao: mx 2 + (m - 1 )x - m = 0. 

Solupao 

Considerando f{x) = mx 2 + (m - 1)x - m. 

Para que acontepa xi < 1 < x 2 onde, xj e x 2 sao as rafzes reais de 
mx 2 + (m-1 )x-m = 0, devemos ter: 

af(1) <0 m[m • I 2 + (m - 1) • 1 - m] < 0 



=> m • (m - 1) <0 => 0 < m < 1 
Resposta: 0 <m < 1. 


153-A 



A.233 Determinar m de modo que o numero 
equa^ao: 

a) mx 2 + {2m -3)x + m-1=0 e 

b) (m - 1)x 2 + (2m + 1)x + m = 0 e 

c) mx 2 + (m - 1)x + <m + 2) = 0 e 
d> (m 2 - 1)x 2 + (m - 3)x + m + 1 « 0 


ft esteja compreendido entre as raizes da 

ft = 2 
ft = -1 
ft = 0 
e a = 1 


A.234 (MAPOFEI-75) Determinar os valores de m na equagao x 2 + (m - 2)x +1 - m = 0 
de modo que o numero real 2 esteja compreendido entre as raizes. 

A.235 (MAPOFEI-74) Determinar m para que a equagao: (m - 2)x 2 - 3mx + (m + 2) = 0 
tenha uma raiz positiva e outra negativa. 

A.236 Determinar m de modo que a equagao mx 2 - (2m + 1)x + 2 + m = 0 tenha 
rafzes reais tais que -1 < xj < X 2 . 

Solugao 

Considerando f{x) = mx 2 - (2m + 1)x + 2 + m. 

Para que acontega -1 < Xj < x 2 , onde xj e x 2 sao as rafzes reais de 
mx 2 - (2m + 1)x + 2 + m = 0, devemos ter: 

a • f(-1) >0 , A > 0 e | >-1. 

Analisando separadamente cada condigao: 

I s ?) a • f(~1) > 0 => m • [m(-D 2 - (2m + 1) • (-1) + 2 + m] > 0 => 

V ~f('-1) 

=> m • (4m + 3) > 0 => m < - — ou m > 0. 


2®) A > 0 => (2m + 1 ) 2 - 4 • m(2 + m) > 0 ==> -4m + 1 > 0 => m < -. 

4 


3 s ?) | > -1 


2m + 1 
2m 


>-1 


2m + 1 
2m 


+ 1 > 0 


4m + 1 
2m 


>0 


m <-ou m > 0. 

4 


Representando os valores encontrados sobre um eixo 


(a • f(1) >0) 

(A > 0) 



Como as tres condigoes sao simultaneas, fazendo a intersecgao dos intervalos acima 
vamos encontrar: 

3 1 

m <C-ou 0 < m < — que 6 a resposta. 

4 4 


A.237 Determinar m de modo que a equagao (m - 3}x 2 + 2(m - 2)x + m + 1 =0 tenha 
rafzes reais tais que Xj < x 2 < 1. 

A.238 Determinar m de modo que a equagao (m - 1 )x 2 - mx - 2m - 2 = 0 tenha 
rafzes reais tais que -1 < x x < x 2 . 

A.239 Determinar m de modo que a equagao do 2? grau mx 2 -2(m + 1)x + m + 5= 0 
tenha rafzes reais tais que 0 < X! < x 2 < 2. 

A.240 Determinar m para que a equagao do 2? grau mx 2 - 2(m + 1)x + m + 5= 0 
tenha rafzes reais tais que X! < 0 < x 2 < 2. 

A.241 Determinar m para que a equagao do 2? grau 3x 2 - 2(m + 2)x + m 2 - 6m + 8 = 0 
tenha rafzes reais tais que xi < 1 < x 2 < 4. 

A.242 Determinar m para que a equagao do 2? grau (2m + 1)x 2 + 2x + m+1 = 0 
tenha rafzes reais tais que 0 < Xj < x 2 <4. 

A.243 Determinar m na equagao do 2? grau (3m - 2)x 2 + 2mx + 3m = 0 para que 
tenha uma unica raiz entre -1 e 0. 

A.244 Determinar m na equagao do 2? grau mx 2 -2(m-1)x-m-1=0 para que 
se tenha uma unica raiz entre -1 e 2. 


XV. SINAIS DAS RAIZES DA EQUAQAO DO 2? GRAU 


Estudar os sinais das rafzes de uma equapao do 2? grau e comparar o nume¬ 
ro zero as rafzes e x 2 da equagao dada. 

Podem ocorrer tres situapoes: 


193. 1?) as rafzes sao positivas 
Neste caso, temos: 


0 < x t < x 2 
ou 

0 < Xi = x 2 


0 


*i 


*2 


Xl=X 2 


De acordo com a teoria anterior, temos: 

A > 0 e a • f(0) > 0 e | > 0 


154-A 


155-A 




Notemos que, sendo f(x) = ax 2 + bx + c, temos: 

a) a • f(0) = a*c>0=>— >0=> P>0 

a 

Q 

onde P = — e o produto das raizes da equapao do 2? grau. 

8 

b) — > 0 => S > 0 
2 

onde S = - — e a soma das rai'zes da equapao do 2? grau. 
a 

Assim, sendo, uma equapao do 2? grau tern rai'zes positivas somente se: 
A > 0 e P > 0 e S>0 

isto e, se as rai'zes forem reais, com produto positivo e soma positiva. 

194. 2?) as rai'zes sao negativas 

Neste caso, temos: 



De acordo com a teoria anterior, temos: 

A> 0 e a • f(0) >0 e - < 0 

2 

Isto tambem pode ser escrito assim: 

A> 0 e P>0 e S<0 

195. 3?) as rafzes tern sinais contrarios 

Neste caso, temos: 

Xj < 0 < x 2 

De acordo com a teoria anterior, temos: 

a • f(0) <0 ou P < 0. 


156-A 


196. Exemplo 


Determinar os valores de m na equapao do 2? grau 
(m - 1)x 2 + (2m + 1 )x + m = 0 
para que as rafzes reais sejam distintas e positivas. 

Como a equapao e do 2? grau, devemos ter, inicialmente 
m - 1 =£ 0 => m 1 

e, se as rafzes sao distintas e positivas (0 < < x 2 ), entao: 

A > 0 (pelo fato de as rafzes serem reais e distintas) e S>0 e P>0 
(pelo fato de estas rafzes serem positivas). 

Analisando cada condipao: 

A = (2m + I) 2 - 4(m - 1) • m = i_ 

1 “8 

= 8m + 1 > 0 => m > - - A>0-o tfttWWHHWWMWt »» m 

8 


S 


P 


_ -b _ -(2m + 1) ^ q 

a m - 1 

=> _ 1 < m < 1 
2 

= £. = m — > o => 

a m - 1 

0 < m < 1 



Fazendo a intersecpao das tres condipoes, vem 0 < m < 1 que e a resposta. 


EXERCICIOS 

A.245 Determinar m de modo que a equapao do 2? grau (m + 1)x 2 + 2(m + 1 )x + m - 1 = 0 
tenha rafzes negativas. 

A.246 Determinar m de modo que a equapao do 2? grau (m + 1 )x 2 4-,2x + m - 1 - 0 
tenha rafzes positivas. 

* 

A.247 Determinar m de modo que a equapao do 2? grau (m - 2)x 2 + (3m -1)x + (m + 1)=0 
tenha rafzes de sinais contrarios. 

A.248 Determinar m de modo que a equapao do 2? grau (m - 1)x 2 + (2m + 3)x + m = 0 
admita rafzes negativas. 

A.249 Determinar m de modo que a equapao do 2? grau (m 2 - 4)x 2 + mx + m - 3 = 0 
admita rafzes de sinais contrarios. 

A.250 Determinar m de modo que a equapao do 2? grau mx 2 - (2m - 1)x + (m - 2) = 0 
admita rafzes positivas. 


157-A 



As margens dos livros falam 

Pierre Simon de Fermat nasceu na Franga e estudou Direito em Toulouse, 
af participando do Parlamento. Embora muito ocupado, encontrou tempo para 
estudar Literatura Classica, Ciencias e Matematica, por puro prazer. 

Em 1629 iniciou suas descobertas matematicas depois de ter-se dedicado 
a restauragao de obras perdidas da Antiguidade. 

Baseando-se na colegao Matematica de Pappus, descobriu o princi'pio fun¬ 
damental da Geometria Anah'tica: sempre que numa equagao se encontram duas 
variaveis, os pontos que satisfazem a equagao formam uma curva. 

Em curto tratado, ‘Introdugao aos lugares pianos e so/idos", da enfase ao 
esbogo de solugoes de equagoes, comegando com uma equagao linear e urn sistema 
de coordenadas arbitrario sobre o qual a esbogou. Como apendice desta obra 
escreve "A solugao de problemas solidos por meio de lugares", observando a solu- 
gao de equagoes cubicas e quadraticas. 

Os trabalhos de Fermat eram muito mais sistematicos e didaticos do que os 
de Descartes e sua Geometria Anah'tica aproxima-se da atual, tendo em mente a 
existencia de mais de duas ou tres dimensSes, o que nunca conseguiu provar. 

Apesar de nao conhecer o conceito de limite, em sua obra "Metodo para 
achar maximos e mi'nimos" aproxima-se bastante do calculo de hoje. Tambem 
seu metodo para mudar a variavel e considerar valores vizinhos e essencial em Ana- 
lise Infinitesimal, usando-o para achar tangentes de curvas. Ainda em Analise, con- 
tribuiu com quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centro de gravidade. 

Com a restauragao do livro "A Arit- 
metica", de Diofante, muito pouco pratico 
e com muitos algoritmos, Fermat passou a 
desenvolver urn importante ramo da Mate¬ 
matica, a Teoria dos Numeros, da qual e 
considerado fundador e onde principalmente 
* cuidou dos numeros primos. 

Sua matematica estava escrita em 
apontamentos desorganizados, em margens 
de livros ou em cartas que ele nao tinha 
intengao de publicar. 

Fermat e considerado o prmcipe dos 
amadores em Matematica, sempre com 
muitas descobertas mas que perderam sua 
Pierre S. de Fermat prioridade pois, devido a sua modestia, 

(1601 — 1665) quase nada foi publicado. 



158-A 


CAPITULO VIII 


FUNQAO MODULAR 


I. FUNQAO definida por varias sentenqas abertas 

Uma fungao f pode ser definida por varias sentengas abertas cada uma das 
quais esta ligada a um domfnio Dj contido no dommio da f. 


197. Exemplos 


1?) Seja a fungao f: IR-> IR de¬ 
finida. por 

f{x) = 1 para x < 0 
< f(x) = x + 1 para 0 < x < 2 
f(x) = 3 para x > 2 

que tambem pode ser indicada por 

{ 1 se x < 0 

x+1 se 0<x<2 

3 se x>2 

0 seu grafico esta representado ao 



2?) Seja a fungao f: IRIR de¬ 
finida por 

f(x) = -x para x < -1 
f(x) = x 2 - 1 para x > -1 

que tambem pode ser indicada por 


f(x) 


f -x se x < -1 
l x 2 - 1 se x > 1 


0 seu grafico esta representado ao 

lado. 



159-A 










II. MODULO 


198. Definicao 

Sendo x E |R, define-se modulo ou valor absoluto de x que se indica por 
lx I, atraves da relapao 

I xl = x se x > 0 
< ou 

I xl = -x se x < 0 
Isto significa que: 

1?) o modulo de um numero real nao negativo e igual ao proprio numero; 
2?) o modulo de um numero real negativo e igual ao oposto desse numero. 
Assim, por exemplo, temos: 

I+21 - +2, l-7l = +7, lOl = 0, I-— I - + —, I -y/~2\ = +\^2, l+v^3l = +V^3 

5 5 

199. Propriedades 

Decorrem da definipao as seguintes propriedades: 

I. 1 xI > 0, Vx E IR 

II. IxI = 0 <=> x = 0 

III. IxI • lyl = Ixy l,V x, y E IR 

IV. I xl 2 - x 2 , Vx E IR 

V. Ix + y!<lxl + ly|, Vx, yE|R 

VI. lx - y| > |x| - I yl, Vx, y E |R 

VII. Ixl < a e a > 0 < —» -a < x < a 

VIII. Ixl > a e a > 0 < ■ > x < -a ou x > a 

\ 

III. funcao modular 

200. Definicao 

Uma aplicacao de IR em R recebe o nome de funcao modulo ou modular 
quando a cada x E IR associa o elemento |x| E |R. 

Isto 6: f: IR -*■ IR 

x * -► I x| 


161-A 



Utilizando o conceito de modulo 
de um numero real, a fungao modular 
pode ser definida tambem da segulnte 
forma: 

f(x) =( X se x > 0 
\ -x se x < 0. 

0 graficG da funpao modular e a 
reuniao de duas semi-retas de origem O, 
que sao as bissetrizes do 1? e 2? qua¬ 
dra ntes. 

A imagem desta funpao e Im = R +f Isto e, a funpao modular somente 
assume valores reais nao negativos. 



EXERCICIOS 


A.255 Construir os graficos das funpoes definidas em IR: 

a) f{x) = l2x I b) f(x) = 13x1 

A.256 Construir o grafico da funpao real definida por f(x) = lx + 1 I. 


Solupao 

Podemos construir o grafico de fix) = lx + 11 por dois processos: 


Primeiro Processo 

Notemos que lx + 1 I = 

entao a funpao pode ser definida como 
uma funpao a duas sentenpas ou seja, 

fix) 4 x + \ se x > - 1 

^ -x - 1 se x <. -1 
cujo grafico esta representado ao lado. 


f x + 1 se x > -1 
\ -x - 1 se x < -1 



Segundo Processo 
Para construirmos o grafico de 
fix) = lx + 1 I, 

fazemos inicialmente o grafico da funpao 
glx) = x + 1, que esta representado ao 
lado. 

Para obtermos o grafico de 
fix) = I glx)I = lx + 1 I 
fazemos em duas etapas: 



162-A 


Primeira Etapa 

Se g(x)>0, vamos ter f(x)=lg|x)l = 
= glx), isto 6, o grafico da funpao f 
coincidira com o grafico da funpao g. 


Segunda Etapa: 

Se glx) < 0, vamos ter fix) = |g(x)| = -glx), isto o grafico da funpao f ser^ sim§- 
trico do grafico da funpao g, relativamente ao eixo das abscissas. 

Construindo os graficos obtidos, nas duas etapas, no mesmo piano cartesiano temos o 
grafico da funpao fix) = |x + l|. 


A.257 Construir os graficos das seguintes funpoes reais: 

a) fix) = lx - 1 I b) fix) = l2x - 1 I 

d) fix) = 12 - 3x1 e) fix) = lx 2 + 4x1 

g) fix) = 14 - x 2 i 

A.258 Construir o grafico da funpao definida 
em IR por f(x) = |x - 1 | + 2 

Solupao 

Construimos inicialmente o grafico da 
funpao glx) = lx - 1 I 

Para obtermos o grafico de fix) - 
= glx) + 2 deslocamos cada ponto do 
grafico da funpao g duas unidades "pa¬ 
ra cima". 


A.259*Construir os graficos das seguintes funpoes reais 

a) fix) =1x1-3 b) fix) = l2x - ll - 2 c) fix) = l3x - 4| + 1 

d) fix) = lx 2 - l| - 2 e) fix) = lx 2 - 4l + 3 f) fix) = lx 2 + 4x + 3 ! - 1 



c) fix) = l2x + 3l 
f) fix) = lx 2 - 3x + 2l 





163-A 






A.260 Construir o grafico da fungao definida em |R f(x) = lx + 21 + x - 1. 


Solugao 

Notemos qu< 


+ 2 se x^-2 
< - 2 se x -2 


■ fx + 2 se x^-2 

lx + 21 =< „ ^ ^ 

{ -x - 2 se x <! -2 

Devemos, entao considerar dois casos 

1?) quando x ^-2, temos: 

f(x) » lx + 2l + x - 1 « 

= x + 2 + x-1 = 2x + 1 

2?) quando x < -2, temos: 

f(x) = lx + 2l + x - 1 = 

= -x-2 + x-1 = -3. 


Anotando a fungao f como uma fun¬ 
gao definida a duas sentengas, vem: 

. f 2x + 1 se x >-2 
f(x) =< 0 ^ 

L -3 se x <. -2 


f (x) =< ^ 

1^-3 se x <. 

cujo grafico estS ao lado. 



A.261 Construir os graficos das fungoes reais abaixo. 

a) f ( x) = Ixl + x b) f (x) = lx! - x 

c) fix) = lx - 3l + x + 2 d) fix) = ix + 1 1 - x + 3 

e> fix) = l2x - 1 1 + x - 2 f) fix) = l3x + 21 - 2x + 3 

g) fix) - x* - 4lx 1 +3 h ) f ( x ) = lx 2 - 2lx 1 - 3l 

i) fix) = lx 2 - 2x1 + x + 2 


A.262 Construir o grafico da fungao fix) = ^ definida em IR' 


A.263 Construir o grafico da fungao fix) = * _ definida em IR - {l}. 

A.264 Construir o grafico da fungao definida em IR por: 

fix) = l2x + 1 I + Ix - 1 1 

Solugao 


Notemos que l2x + 1 I = 


e Ix - 1 l =« 

I -x + 1 

Devemos entao, considerar 3 casos: 


2 x + 1 

> 1 
se 

-2x - 1 

/ 1 
se x < - — 

x - 1 

se x ^ 1 

-x + 1 

se x 1 


164-A 


1 ?) quando x < - ^, temos fix) = | 2x + 11 + |x - 1 | = -2x - 1 - x + 1 = -3x 
2 ?) quando -y < x < 1, temos fix) = |2x + 1 ( + (x - 11 = 2x + 1 ~ x + 1 = x + 2 
3?) quando x > 1, temos fix) = |2x + 1 | + | x - 1 | = 2x + 1 + x - 1 =3x 



A.265 Construir os graficos das seguintes fungoes reais: 

a) fix) = Ix + 1 I + Ix - 1 | b) fix) = Ix + 1 I - Ix - 1 I 

c) fix) = l2x - 2l + Ix + 3l d) fix) = 13x + 3l - l2x - 3l 

e) fix) = Ix 2 - 4l - Ix - 2l . . Ix 2 - 2x1 - Ix 2 - 4l 

f) fix) = --- 


A.266 Construir o grafico da fungao definida 
em IR 

fix) = II2x - 21 - 41 

Solugao 

Construfmos inicialmente o grafico de 
glx) - t2x - 2l - 4. 

Analisemos as duas possibilidades 

1?) Se glx) ^ 0, temos: 
fix) = Iglx)I = glx) 

isto e, o grafico da fungao f coincidira 
com o grafico da fungao g. 

2?) Se glx) 0, temos: 
fix) = Iglx)I = -glx) 

isto e, o grafico da fungao f 6 o opos 
to do grafico da fungao g. 

Considerando as duas possibilidades e 
representando num mesmo piano carte- 
siano temos: 



165-A 





A.267 Construir os graficos das fungoes reais: 

a) f (x) = I!xi - 21 

b) f(x) = It2x + 3l - 2 I 

c) f (x) = II x 2 - 11 - 31 

d) f(x) - lix - 1 I + x - 3l 

e) f(x) = 1x2 - 41xI + 3l 

f) f<x) = IIx + 2l - lx - 2ll 

g) f (x) = 113x - 3l - l2x + 1 II 


IV. EQUATES MODULARES 


Lembremos da propriedade do modulo dos numeros reais, para k > 0 
I x I = k < > x = k ou x = -k 

e, utilizando essa propriedade, vamos resolver algumas equagoes modulares. 


201. Exemplos 


1°) Resolver l2x - 1 I = 3 
Entao 

12x - 11 = 3 => 

S = {2, -1} 


2x - 1 = 3 => x = 2 
ou 

2x - 1 = -3 => x = -1 


2?) Resolver l3x - ll = l2x + 31 
Lembrando da propriedade 

la I - lb I .■> a = b ou a = -b 


temos: 


13x - 11 = I2x + 31 

s. K-f) 



166-A 



2 


(nao convem) 
4 


EXERCICIOS 

A.268 Resolver as seguintes equagdes em IR: 

a) I x + 21 = 3 

b) I3x - 1 I =2 

c) Ux - 51 = 0 

d) l2x - 3l = -1 

e) lx 2 - 3x - 1 I =3 



g) lx 2 - 4x + 51 = 2 

A.269 Resolver em Ft as seguintes equagdes: 

a) l3x + 21 = lx - 1 I 

b) l4x - 1 I - l2x + 31 = 0 

c) lx 2 + x - 51 = Ux - 1 I 

d) lx 2 + 2x - 2l = lx 2 - x - 1 I 

A.270 Resolver as seguintes equagoes em R: 

a) lx - 2l = 2x + 1 

b) l3x + 21 = 2x - 3 

c) I2x - 5l = x - 1 

d) l2x 2 + 15x - 3| * x 2 + 2x - 3 

e) 13x — 21 = 3x - 2 

f) U - 3x1 = 3x - 4 


167-A 



V. INEQUAQOES MODULARES 


Lembrando das propriedades de modulo dos numeros reais, para k > 0: 

1 ) Ixl < k -k < x < k 

2 ) Ixl > k > x < -k ou x > k 

e » utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequapoes modulares. 


202. Exemplos 

1?) Resolver em R: l2x + 1l < 3 
Entao: 

I 2x + 11 < 3 =► -3 < 2x + 1 < 3 - s -2 < x < 1 
S = {x e IR I -2 < X < 1} 

2?) Resolver em R: l4x - 31 > 5 
Entao: 

I4x - 31 > 5 —> (4x - 3 < -5 ou 4x - 3 > 5) => 
> (x < ou x > 2) 

S - {x G IR I x < - y ou x > 2}. 


EXERCICIOS 


A.271 Resolver em R as inequapoes abaixo: 

a) l3x-2l<4 
c) l4-'3xl<5 
e) l2x + 4 1 < -3 
g) l5x + 41^4 
i) l3x - 51 > 0 
k) 1 < ix - 1 I < 3 


b) l2x-3l<1 
d) i3x + 41 < 0 
f) l2x - 1 I >3 
h) 12 - 3x1 > 1 
j) l4x - 7,1 > -1 


A.272 Resolver as inequapoes seguintes em 

a) lx 2 - 5x + 51 < 1 
c> lx 2 - 5x1 6 


e) 


2x - 3 
3x - 1 


> 2 


g) lixI - 2l > 1 
i) 112x - 11 - 4l < 3 


R: 

b) 

dl 

f) 

h) 


lx 2 - x - 4l > 2 
lx 2 - 3x - 41 < 6 


x + 1 


2 x - 1 


< 2 


Il2x + 11 - 3l > 2 


168-A 


A.273 Resolver em IR a inequapao 2x - 7 + lx + 1 I ^ 0. 



A.274 Resolver em IR as seguintes inequapoes: 

a) Ix - 1 I - 3x + 7 < 0 b) l2x + 1 I + 4 - 3x > 0 

c) l3x - 2l + 2x - 3 < 0 (di) lx + ll-x+2>0 

e) l3x - 41 + 2x + 1 < 0 1) lx 2 - 4x1 - 3x + 6 < 0 

g) lx 2 -6x+5l + 1 < Cx 

A.275 (MAPOFEI-76) Resolver a inequapao lx 2 - 41 <C 3x . 

A.276 Resolver a inequapao em R 12x — 6 i — Ixl ^ 4 — x - 


Solupao 

Notando que: 

l2x - 6i = {- 2 x ~+ 6 6 
Construfmos a tabela: 


x ^ 3 
x < 3 


/ x se x 0 
1 -x se x <C 0 



169-A 



temos: 


r x - 6 se x^3 

l2x - 6 1 - lx I =< -3x + 6 se 0 ^ x 3 
L-x +6 se x < 0 

Devemos considerar tres casos: 

1?) Se x> 3, a inequagao proposta e equivalente a: 

x - 6 < 4 - x - => 2x < 10 — => x < 5 

A solugao Si e 

Si = {x G IR I x ^ 3} H {x G |R i x < 5 } = {x G |R I 3 ^ x < 5 ) 

2?) Se 0 ^ x < 3, a inequagao proposta e equivalente a: 

-3x + 6 ^ 4 - x - > -2x ^ -2 > x > 1 

A solugao S 2 e 

S 2 = {x E R I 0 < x < 3} H {x G |R I x ^ 1} = {x G IR I 1 ^ x < 3} 

3?) Se x <C 0, a inequagao proposta e equivalente a: 

-x + 6 ^ 4 - x - > 6^4 que e absurdo. Logo a solugao S 3 e: 

S 3 = 0 

A solugao da inequagao l2x-6l-lxl^4-x e: 

S = Si Us 2 Us 3 

isto e: 

S = {x 6 IR I 3 < x « 5} U {x G IR I 1 < X < 3} U0 
e portanto: 

S = {x E R I 1 < x < 5 } 

A.277 Resolver as seguintes inequagoes em IR: 

(a))lx + 2l - lx - 3l > x b) l3x + 2l - l2x - 1 I > x + 1 

c) lx - 2l - lx + 4l < 1 - X d) lx + 2 I + l2x - 3l < 10 

e) lx + 21 + l2x - 2 I > x + 8 f) 3 { I x + 1 | - I x - 1 I } < 2x 2 - 4x 

g) lx - 2l - lx + 3l > x 2 - 4x + 3 

A.278 (MAPOFEI-75) Resolver a desigualdade lx - 21 + lx - 4 1 ^ 6. 


CAPITULO IX 

OUTRAS FUNgOES 
ELEMENTARES 


I. FUNQAO f (x) = x 3 

203. Fagamos um estudo da fungao f: de R em IR, que associa cada x E R 
o elemento x 3 E R. 

Isto e: f: R -> R 
x* - * x 3 

Vamos inicialmente construir a tabela 



X 

X 3 

ponto 

-2 

-8 

A 

3 

27 

B 

2 

8 

-1 

-1 

C 

1 

1 

D 

2 

8 


0 

0 

E 

1 

1 

F 

2 

8 


1 

1 

G 

3 

27 

H 

2 

8 

2 

8 

1 

5 

125 

1 

2 

8 


3 

27 

K 


170-A 


171-A 





Observemos que a funpao f(x) = x 3 : 

a) e uma funpao crescente em IR, isto e: 

(Vx, G R, Vx 2 G IR) (x, < x 2 =» x, < x 2 ) 

b) tem imagem Im = R pois, qualquer que seja o y G R, existe x G IF 
tal que y = x 3 , isto e, x = y/~y. 


EXERCICIO 

A.279 Fazer o esbogo dos graficos das seguintes funpoes definidas em IR. 


a) 

fix) 

= X 3 + 1 

b) 

fix) 

= -X 3 

c) 

fix) 

= 2 - x 3 

d) 

fix) 

= (x + I) 3 

e) 

fix) 

= (2 - x) 3 

f> 

fix) 

= (x - I) 3 - 1 

g) 

fix) 

= 2 + (1 - x) 3 

h) 

fix) 

= 1 x 3 l 


II. FUNQAO REClPROCA 

204. Definipao 

Uma aplicapao f de R* em IR recebe o nome de fungao redproca quando 

a cada elemento xG R* associa o elemento—• 

x 

Isto e: f: IR* -> IR 

1 

x — 
x 

Vamos inicialmente construir a tabela 


X 

-4 

-3 

-2 

-1 

1 

“2 

1 

"3 

1 

~ 4 

1 

4 

1 

3 

1 

2 

1 

2 

3 

4 

-1 X 

ii 

>- 

1 ! 
" 4 

1 

"3 

1 

2 

-1 

-2 

-3 

-4 

4 

3 

2 

1 

1 

2 

1 

3~ 

1 

4 

ponto 

A 

B 

C 

D 

E 

F 

G 

G' 

F' 

E' 

D' 

C' 

B' 

A' 



1 

205. Observemos que a funcao reciproca y - —: 

a) nao e definida para x = 0; 

b) tem imagem Im = IR* pois, dado urn numero real y ^ 0, sempre 
existe urn x tambem real tal que y = 

c) tem por grafico uma hiperbole equilatera^ ^ 

(*} Isto esta provado em nosso livro de Geometria Analitica desta cole^ao. 


172-A 


173-A 





EXERCICfOS 


A.280 Fazer o esbopo do grafico das funpoes 


a) f(x) 
c) fix) 



b) f(x} = —— 
2 x 


d) f(x) 


1 

lx I 


A.281 Fazer o esbopo do grafico da funpao f(x) = ^ ^ 

Solupao 

Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribui'mos valores a x+ 1, caiculc 

mos — 7 -t e finalmente calculamos x: 
x + 1 



174-A 


1 

2 - x 


A.282 Fazer o esbopo grafico das seguintes funpoes: 

al f(x, = irn b| f < x » = 



A.283 Fazer o esbopo grafico da funpao f(x) = x 

x - 1 

Solupao 

Observemos que: 

X _ X - 1 + 1 X - 1 ^ 1 ^ 1 

x - 1 x -1 " ~t + = 1 + 

Vamos construir a tabela da seguinte maneira: atribui'mos valcres a x - 1, calcula- 
m ° S ^ + x-1 6 f ' na * mente x - 



175-A 



A.284 Fazer o esbogo grafico das seguintes fundoes: 

a) fix) - -44 b) f(xl - 

c) f(x) - d) f(x) = 

2 - x x 

2 

A.285 (MAPOFEI-74) Calcular o valor aproximado da area limitada pela curva y - — 

pelo eixo Ox e pelas retas x = 1 e x = 4. Use no calculo tres trapezios de basi 
contidas nas retas x = 1, x = 2, x = 3 e x = 4. 


III. FUNCAO MAXIMO INTEIRO 


206. Definipao 

Uma funcao f de IR em IR recebe o nome de fungao maximo inteiro quand 
assocta a cada elemento x G IR o elemento [x] que e o maior inteiro qi 
nao supera x. 

Isto e: f: R —► IR 
|x| 

onde [x] e o maior inteiro que nao supera x. 

Assim, por exemplo: 

Qq -7 

13,9] = 1^1 = 3, [-0,7] - I-] - -1 e [4] = 4. 

Para construirmos o grafico, 
notemos que 

-3 < x < -2 =* y * [x] = -3 
-2 < x < -1 y = [x] = -2 

-1 < x < 0 == > y = lx] = -1 

0 < x < 1 => y - Lx] = 0 

1 < x < 2 => y -- lx] = 1 

2 < x < 3 =* Y = lx] = 2 

3 < X < 4 => y = I x] = 3 

etc. 

A imagem da funcao maximo inteiro e o conjunto Im = Z. 



176-A 


EXERCICIOS 


A.286 Construir o grafico das seguintes fungoes definidas em IR. 
a) f(x) - 2[x] b) f(x) = -[x] 

A.287 Construir o grafico da fungao real definida por fix) = [2x] 


Solugao 

Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribui'mos valores a 2x, calcula- 
mos [2x] e finalmente x. 



A.288 Construir os graficos das seguintes fungoes definidas em IR: 


a) fU) = [y] 

c) fix) = [x - l] 

f) fix) = [xp 

h) f(x) = x + [x] 


b) fix) - [-x] 

d) fix) - [ |x |] 

e) fix) - |[x]| 

g) fix) = x - [x] 


177-A 






Advogado envolvido com Algebra 


Arthur Cayley nasceu na Inglaterra. 

Como estudante em Cambridge ganhou muitos premios em Matematica. 
Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que nac 
impediu suas pesquisas matematicas. 

Em 1839 fundou-se na Inglaterra o "Cambridge Mathematical Journal", 
principal vei'culo de comunicagao que contou com inumeros artigos de Cayley 
assim como outros jornais cientfficos, caracteri'sticos do seculo XIX. 

Em 1843 criou a Geometria Analftica no espago n-dimensional usandc 
determinantes como instrumento basico e foi o primeiro a estudar matrizes, defi- 
nindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operagoes 
sobre elas. Neste aspecto contou com a colaboragao de Benjamim e Charles Peirce, 

Em 1846, Cayley escreveu urn artigo para o "Jornal de Crelle" estendendo 
o teorema de espago tridimensional para urn espago de quatro dimensoes. 

No "Philosophical Transaction" (Transagao Filosofica) em 1868, publicot 
urn desenvolvimento do piano cartesiano a duas dimensdes como urn espago de 
cinco dimensoes cujos elementos sao as conicas. 



Em 1854 aceitou o cargo de professoi 
em Cambridge e em 1881 profeiu uma serie 
de confer£ncias sobre fungoes abelianas e 
fungao theta. 

Cayley escreveu muitos artigos sobre 
invariantes algebricos e principalmente nesta 
teoria teve a ajuda de seu amigo inseparavel 
Sylvester, tanto que foram chamados "g£- 
meos invariantes". 

Cayley era essencialmente um alge- 
brista mas contribuiu tambem para a Geome¬ 
tria e em Analise escreveu "Ensaio sobre as 
fungoes eh'ticas ". 

Produziu qhantidade imensa de arti¬ 
gos e obras durante sua vida, tanto que 
neste aspecto chega a competir com Cauchy 
e Euler. 


Arthur Cayley 
(1821 - 1895) 


CAPITULO X 


FUNGAO COMPOST A 
FUNQAO IN VERSA 


I. FUNQAO COMPOSTA 


207. Definigao 


Seja f uma fungao de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma 
fungao de B em um conjunto C; chama-se fungao composta de g e f a fungao 
h de A em C definida por 

h(x) = g(f(x)) 

para todo x em A. 


Indicaremos esta aplicagao h por gof (le-se: g composta com f ou g cfr- 
culo f); portanto 

(gof) (x) = g(f(x)) 

para todo x em A. 


Podemos representar tambem a com¬ 
posta gof pelo diagrama. 

208. Exemplos 



19) Sejam os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e 
C = {1, 3, 5, 7, 9} e as fungoes: 

f, de A em B, definida por f(x) = x 2 

g, de B em C, definida por g(x) = 2x + 1 


179-A 




observemos, por exemplo que: f{2) = 4, g(4) = 9 e h(2) = 9, isto e, h(2) = 
= (gof) (2) = g(f (2)) = g(4) = 9. 

Para obtermos a lei de correspondence da funpao composta h = gof, 
fazemos assim: g(f(x)) e obtida a partir de g{x) trocando-se x por f(x). 

No exemplo dado, temos: 

h<x) = (gof) (x) = g(f(x|) = 2 • f(x) + 1 = 2x 2 + 1. 

Se vamos calcular h(2), fazemos deste modo: 

h(2) = 2 • 2 2 + 1 = 9. 

29) Sejam as funcoes reais f e g definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = x 2 + x + 1. 

Notemos que a funpao composta hi = gof e def inida por: 
h,(x) = (gof) (x) = g(f(x» = [f(x)] 2 + f(x) + 1 = (x + I) 2 + (x + 1) + 1 = x 2 + 3x + 3. 

Notemos, por outro lado, que a funpao composta h 2 = fog e definida por: 

h 2 (x) = (fog) (x) = f(g(x)) = g(x) + 1=x 2 +x + 1 + 1=x 2 +x + 2. 


209. Observapoes 

1?) A composta gof so esta definida quando o contra-dommio da f e 
igual ao dommio da g. Em particular se as fungoes f e g sao de A em A 
entao as compostas fog e gof estao definidas e sao fungoes de A em A. 

2?) Notemos que em geral, fog # gof, isto e, a composipao de fungoes 
nao e comutativa. 

Pode acontecer que somente uma das fungoes fog ou gof esteja definida. 


Assim, no primeiro exemplo, se tentarmos obter fog verificaremos que e impos- 
st'vel, pois: 

g e funpao de B em C mas f nao e funpao de C em A. 



39) As cfuas composigdes fog e gof estao definidas mas fog =£ gof co- 
mo nos mostra o segundo exemplo: 

(gof) (x) = x 2 + 3x + 3 
(fog)(x) = x 2 + x + 2. 


210. Teorema 


Quaisquer que sejam as fungoes 



tem-se: 

(hog)of = ho(gof). 


Demonstragao 

Consideremos um elemento qualquer x de A e coloquemos 
g(y) = w e h(w) = z; temos: 

((hog)of) (x) = (bog)(f(x)) - (hog)(y) = h(g(y)) = h(w) = z 
e notemos que 


portanto, 


(gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = w 


entao, temos: 


(ho(gof))(x) = h((gof)(x)) = h(w) = z 


((hog)of) (x) = (ho(gof))(x), 


f (x) 


para todo x de A. 


V, 


180-A 


181-A 





EXERCI'CIOS 


A.289 Sejam as funpoes reais f e g, definidas por fix) = x 2 + 4x - 5 e g(x) = 2x - 3. 
Pede-se: 

a) obter as leis que definem fOg e gOf 

b) calcular (fOg)(2) e (gOf)(2) 

c) determinar os valores do domfnio da funpao fOg que produzem imagem 16. 
Solupao 

a) A lei que define fOg e obtida a partir da lei de f, trocando-se x por g(x): 

(fOg)(x) = f(g(x)) = [g(x)] 2 + 4[gix)] - 5 = (2x - 3) 2 + 4(2x - 3) - 5 
(fOgMx) = 4x 2 - 4x - 8. 

A lei que define gOf e obtida a partir da lei da g, trocando-se x por fix): 

(gOf)(x) = g(fix)U 2 • fix) - 3 = 2ix 2 + 4x - 5) - 3 
igOf)(x) = 2x 2 + 8x - 13 

b) Calculemos fOg para x = 2 

(f Og){2) = 4»2 2 -4*2-8 = 0 
calculemos gOf para x = 2 

(gOf)(2) = 2 • 2 2 + 8 • 2 - 13 = 11 

c) o problema em questao, resume-se em resolver a equapao 

ifOg)(x) = 16 

ou seja 

4x 2 - 4x - 8 = 16 -> 4(x 2 - x - 6) = 0 ==> x = 3 ou x = -2. 

A.290 Sejam as funpoes reais f e g, definidas por fix) = x 2 - x - 2 e g(x) = 1 - 2x. 
Pede-se: 

a) obter as leis que definem fOg e gOf 

b) calcular (fOg)(-2) e (gOf)i-2) 

c) determinar os valores do domfnio da funpao fOg que produzem imagem 10. 

A.291 Sejam as funpoes reais f e g. definidas por fix) = x 2 - 4x + 1 e gix) = x 2 - 1. 
Obter as leis que definem fOg e gOf. 

A.292 Sejam as funpoes reias f e g, definidas por fix) = 2 e gix) = 3x - 1. Obter as 
leis que definem fOg e gOf. 

A.293 Nas funpoes reais f e g, definidas por fix) = x 2 + 2 e gix) = x - 3, obter as 
leis que definem: 

a) fOg b) gOf c) fof d) gOg 

A.294 Considere a funpao em IR definida por fix) = x 3 - 3x 2 + 2x - 1. Qual 6 a lei 

que define f(-x)? E f( —)? E fix - 1)? 

x 


182-A 


A.295 Dadas as funpoes reais definidas por fix) = 3x + 2 e gix) = 2x + a, determinar 
o valor de a de modo que se tenha fOg = gOf. 

A.296 Se fix) = x 3 e gix) = x 4 , mostre que fOg = gOf. 

A.297 Sejam as funpoes fix) = x 2 + 2x + 3 e gix) = x 2 + ax + b. Mostre que se 
fOg = gOf entao f = g. 

A.298 Sejam as funpoes definidas por fix) = >/x e gix) = x 2 - 3x - 4. Determinar 
os dommios das funpoes fOg e gOf. 

Solupao 

a) (fOg)(x) * figix)) = Vgix) = Vx 2 - 3x - 4. 

Para que exista (fOg)(x) G IR, devemos ter x 2 - 3x - 4 ^ 0, isto e: x ^-1 
ou x ^ 4. Entao 

DifOg) = {x £ IR I x ^ -1 ou x>4} 

b) (gOf)ix) - gifix)) = [gix)] 2 - 3 • gix) - 4 = |x| - 3^/x - 4. 

Para que exista (gOf)(x) € IR, devemos ter x >0. Entao 
DigOf) = {x G IR I x >0}. 


A.299 Sejam fix) 
fOg e gOf. 


gix) = 2x 2 - 5x + 3. Determinar os domfnios das funpoes 


x + 1 

A.300 Sejam as funpoes f(x) = ——— definida para todo x real e x =£ 2 e gix) = 2x + 3 
definida para todo x real. Pedem-se: 

a) o domfnio e a lei que define fOg 

b) o domfnio e a lei que define gOf. 

A.301 Sejam as funpoes reais fix) = 2x + 1, gix) = x 2 - 1 e hix) = 3x + 2. Obter 
a lei que define (hOg)Of. 

A.302 Sejam as funpoes reais fix) = 1 - x, gix) = x 2 - x + 2 e hix) = 2x + 3. Obter 
a lei que define hOigOf). 


A.303 Sejam as funpoes reais fix) = 3x - 5 e ifOg)(x) = x 2 - 3. Determinar a lei da 
funpao g. 

Solupao 

Se fix) = 3x - 5 entao trocando-se x por gix) temos: 

(fOg)(x) = figix)) = 3 • gix) - 5 

mas e dado que: (fOg)(x) = x 2 - 3 entao 


3 • gix) - 5 = x 2 - 3 
ou seja 


gix) 


x 2 + 2 
3 


183-A 



A.304 Sejam as funpoes reals f(x) = 2x + 7 e (fOg)(x) = x 2 - 2x + 3. Determinar a 
lei da funpao g. 

A.305 Sejam as funpoes reais g(x) = 3x - 2 e (fOg)(x) = 9x 2 - 3x + 1. Determinar a 
lei da funpao f. 

So lu pao 

Se (fOg)(x)= 9x 2 - 3x + 1 entao f<g(x)) = 9x 2 - 3x + 1. 

Como g(x) = 3x - 2, decorre x = — e entao: 

f(g(x)) = 9[ 9(X> 3 + 2 f - 3 • [ 9lX> 3 +2 ] + 1 = [g(x>] 2 + 4g(x> + 4 - g(x) - 2 + 1 . 
= [g(x)] 2 + 3 • gix) + 3 logo, f{x) = x 2 + 3x + 3. 

A.306 Sejam as funpoes reais g(x) = 2x - 3 e (fOg)(x) = 2x 2 - 4x + 1. Determinar a 
lei da funpao f. 

A.307 Sejam as funpoes reais g(x) « 2x + 3 definida para todo x real e x ^ 2 e 
2x + 5 

IfOgMx) = — x + . definida para todo x real e x ^ 1. Determinar a lei da 
funpao f. 


A.308 Sejam f e g funpoes reais definidas por 

fi \ f"x 2 + 2x + 4 se x > 1 

f(x> = \3x + 4 se x <1 e 


g(x) = x - 3. 


Obter a lei que define fCg. 

Solupao 

Fazendo g(x) = y, temos (fOgMx) = f(g(x)) = f{y). 
Temos de examinar dois casos: 


1?) y > 1 
y ^ 1 <= 

y > 1 = 

2?) y < 1 
y < 1 <= 

y<i = 


g (x) > 1 <=> x - 3 > 1 <=> x > 4 

f(y) = y 2 + 2y + 4 - — ■ > f(g(x)) = (g(x)) 2 + 2 • g(x) + 4 

(fOgMx) = (x - 3) 2 + 2(x - 3) + 4 = x 2 - 4x + 7. 


g(x) < 1 < > x - 3 < 1 < > x < 4 

f(y) = 3y + 4 ■ r f(g(x)) = 3 • g{x) + 4 

(fOgMx) = 3(x - 3) + 4 = 3x - 5 


Conclusao: (fOg)(x) = 


f x 2 - 4x + 7, 
\3x - 5, 


se x ^ 4 
se x < 4. 


A.309 Sejam f e g as funpoes reais definidas por 

. / x 2 - 4x + 3 se x ^ 2 . . 

fUI ■ \2x - 3 se x < 2 9 9,xl = 2x + 3 ' 

Obter as leis que definem fOg e gOf. 


184-A 


A.310 Sejam as funpoes reais f e g definidas por 
f x 2 + 2 se x < -1 
f(x) =■<-se -1 <C x 1 


x 2 + 2 

se 

1 


CM 

X 

se 

4 - x 2 

se 


e g(x) = 2 - 3x. 

Obter as leis que definem fOg e gOf. 
A.311 Sejam as funpoes reais f e g definidas por 


f4x - 3 
\_x 2 - 3x + 


se x 0 

2 se x 0 6 


fx + 1 


Obter as leis que definem fOg e gOf. 


A.312 Sejam as funpoes reais g e fOg definidas por g(x) = 2x - 3 e 

, w v f 4x2 - 6x - 1 se X > 1 
HOflHx) = { 4x + 3 se x < 1 


Obter a lei que define f. 

II. FUlSigAO SOBREJETORA 

211. Definipao 

Uma funpao f de A em B 6 sobrejetora se, e somente se, para todo 
y pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que 

f<x) = y. 

Em si'mbolos 


f 6 sobrejetora *=> V Y, y € B, 3 x, x € A I f(x) - y 


Notemos que f: A -► B 6 sobrejetora se, e somente se, lm{f) = B. 


f: A B 

f 6 sobrejetora » lm(f) * B 


Em lugar de dizermos "f 6 uma funpao sobrejetora de A em B" poderemos 
dizer "f 6 uma sobrejegao de A em B". 


185-A 







212. Exemplos 


1?) A fungao f de 
A = {-1, 0, 1, 2} em B = {0, 1, 4} 
definida pela lei f(x) = x 2 e sobrejetora 
pois, para todo elemento yGB, existe 
o elemento x E A tal que y - x 2 . 

Observemos que para todo elemen¬ 
to de B converge pelo menos uma flecha. 

29) A fungao f de A = IR em B = {y € IRiy^l} definida por 
f(x) = x 2 + 1 e sobrejetora pois, para todo y E B, existe * E A tal que 
y = x 2 + 1, bastando para isso tomar x = V y - 1 ou x = -V y - 1. 


III. FUNgAO INJETORA 

213. Definigao 


Uma funcao f de A em B e injetora se, e somente se, quaisquer que 
sejam x t e x 2 de A, se x, ^ x 2 entao f(x 1 )^f(x 2 ). 

Em si'mbolos 



Notemos que a definigao proposta e equivalente a uma funcao f de A 
em B e injetora se, e somente se, quaisquer que sejam x, e x 2 de A, se 
f(xj) - f(x 2 ) entao Xj = x 2 . 



Em lugar de dizermos "f e uma fungao injetora de A em B” poderemos 
dizer "f e uma injecao de A em B". 



186-A 


214. Exemplos 


19) A funcao f de A = {0, 1, 2, 3} em B 
pela lei f(x) = 2x + 1 e injetora 
pois, dois elementos distintos de A tern 
como imagens dois elementos distintos 
de B. Observemos que nao existem duas 
ou mais flechas convergindo para um 
mesmo elemento de B. 

29) Afungao de A = W em B = N definida por f(x) = 2x e injetora, 
pois, qualquer que sejam Xj e x 2 de N, se x t ^ x 2 entao 2x, ¥= 2x 2 . 

1 

3?) A funpao de A = IR* em B = IR definida por f(x) = e inje¬ 
tora, pois, qualquer que sejam X! e x 2 de IR* f se X! x 2 entao -J- —. 

*1 X 2 

IV. FUNQAO BIJETORA 

215. Definipao 

Uma funcao f de A em B e bijetora se, e somente se, f e sobrejetora 
e injetora. 

Em si'mbolos 


= {1, 3, 5, 7, 9}' definida 




A definicao acima e equivalente a: uma funcao f de A em B e bijetora 
se, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B existe um unico 
elemento x pertencente a A tal que f(x) = y. 



Em lugar de dizermos "f e uma funcao bijetora de A em B" poderemos 
dizer "f e uma bijecao de A em B'\ 


187-A 







216. Exemplos 


1?) A fungao f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 2, 3, 4} definida 
por f(x) = x + 1 e bijetora 



pois, f e sobrejetora e injetora, isto e, para todo elemento y G B, existe um 
unico elemento x E A, tal que y = x + 1. Observemos que para cada ele¬ 
mento de B converge uma so flecha. 

29) A fungao f de A = IR em B = IR definida por f(x) = 3x + 2 
6 bijetora, pois: 


I) qualquer que seja y E IR, existe x E IR tal que y = 3x + 2, basta 

V - 2 

tomarmos x = -L——. Logo, f e sobrejetora; 
o 

II) quaisquer que sejam Xj e x 2 de IR, se X! =£ x 2 entao 3xj + 2 3x 2 +2, 

isto 6, f e injetora. 


217. Observemos que existem fungoes que nao sao sobrejetoras nem injetoras. 
Assim, por exemplo, a fungao de IR em IR definida por f(x) = |x| 

I) dado y E IR*, nao existe x E IR tal que y = |x|, portanto f 
nao e sobrejetora; 

II) existem Xj e x 2 em IR, x t e x 2 opostos (e portanto Xi =£ x 2 ) 
tais que I Xj | = I x 2 |, isto e, f nao 6 injetora. 


218. Atraves da representagao cartesiana de uma fungao f podemos verificar 
se f 6 injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos o numero 
de pontos de intersecgao das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada 
ponto (0, y) onde y E B (contra-domi'nio de f). 


188-A 


1?) Se cada uma dessas retas cortar o gr^fico em um so ponto ou nao 
cortar o grSfico, entao a fungao 6 injetora. 

Exemplos 


a) f: IR -*■ IR b) f: IR + -► IR 

f (x) = x f(x) = X 2 



29) Se cada uma das retas cortar o grafico em um ou mais pontos entao 
a fungao e sobrejetora. 

Exemplos 

a) f: IR -* IR b) f: IR -> IR + 


f{x) = x - 1 f(x) = x 2 



39) Se cada uma dessas retas cortar o grafico em um so ponto, entao a 
fungao 6 bijetora. 

Exemplos 

a) f: IR -* IR b) f: IR -> IR 


f(x) = 2x f{x) = x • I x| 



189-A 




219. Resumo: 


EXERCICIOS 


Dada a fungao f de A em B, consideram-se as retas horizontal por 
(0, y) com y € B: 

J?) se nenhuma reta corta o grafico mais de uma vez, entao f e injetora. 
2?) se toda reta corta o grafico, entao f e sobrejetora. 

3?) se toda reta corta o grafico em um so ponto, entao f e bijetora. 


220. Teorema 

Se duas funpoes f de A em B e g de B em C sao sobrejetoras, 
entao a fungao composta gof de A em C e tambem sobrejetora. 

Demonstrate) 

A fungao g e sobrejetora entao, para todo z de C, existe y em B 
tal que g(y) = z e a fungao f e sobrejetora, isto e, dado y em B existe 
x em A tal que f<x> = y. 

Logo, para todo z em C, existe x em A tal que 
z = g(y) = g(f (x)) = (gof)(x) 
o que prova que gof e sobrejetora. 


A.313 Indique qual das funpdes abaixo 6 injetora, sobrejetora ou bijetora? 
a) 




B 


A.314 Para as funpoes em IR .abaixo representadas qual 6 injetora? E sobrejetora? E 
bijetora? 



221. Teorema 

Se duas funpoes f de A em B e g de B em C sao injetoras, entao a 
fungao composta gof de A em C e tambem injetora. 

Demonstragao 

Consideremos x r e x 2 dois elementos quaisquer de A e suponhamos 
que {gof)(xi) = (gof){x 2 ), isto e, g(f(x 2 )) = g(f(x 2 )). Como g e injetora, 
da ultima igualdade resulta que^f(xj) = f(x 2 ), como f e tambem injetora 
vem, x, = x 2 ; portanto gof e injetora. 


A.315 Nas funpoes seguintes classifique em 

I) injetora II) sobrejetora III) bijetora 

IV) nao 6 sobrejetora e nem injetora. 


a) 

f: 

!R 


IR 

tal 

que 

ii 

fO 

X 

+ 1 

b) 

g: 

IR 

-> 

R 

tal 

que 

g(x) = 1 - 

X 2 

c) 

h: 

IR 

—y 

IR+ 

tal 

que 

h(x) = | x 

- 1| 

d) 

m: 

N 

->• 

N 

tal 

que 

m(x) = 3x 

+ 2 

e) 

n : 

IR 


z 

tal 

que 

n(x) = [x] 


f) 

r p: 

IR * 


IR* 

tal 

que 

p(x) = J- 
x 


g) 

q : 

!R 

->■ 

IR 

tal 

que 

qlx) = x 3 


h) 

r: 

IR 


IR 

tal 

que 

r(x) = | x | 

* (x 


190-A 


191-A 


A.316 Determine o valor de b em B = {y £|R I y ^ b} de modo que a fungao f de 
IR em B definida por f(x)= x 2 -4x + 6 seja sobrejetora. 

A.317 Determine o maior valor de a em A = {x G IR I x <a} de modo que a fungao 
f de A em IR definida por f(x) = 2x 2 - 3x + 4 seja injetora. 


A.318 Nas fungoes seguintes classifique em 

I) injetora II) sobrejetora III) bijetora 

IV) nao 6 injetora e nem sobrejetora. 


a) f: IR IR 


b) g: IR -► IR 



f(x) - - 

f x 2 se 

x > 0 

fl(x) = | 


se 

x > 1 

x se 

x < 0 

0 

L x + 1 

se 

se 

-1 < x < 1 
x < -1 


c) h: IR 
h{x) = 


IR 

3x - 2 se x >2 
x - 2 se x < 2 


d) m: IR 
m( x) = 


IR 

4 - x 2 se x < 1 
x 2 - 6x + 8 se x > 1 


e) n: N 
n(x) - 



x 6 par 
x 6 I'mpar 


f) p: IR <D 


p(x) 


2x se x E 

[x] se x E (IR - Q) 


A.319Sejam as fungoes: I de A em B, definida por y = f(x); identidade em A, 
anotada por 1/^, de A em A e definida por Ia(x) = x; identidade em B, 
anotada por lg, de B em B e definida por lg(x) = x. Prove: 

f OIa = f e lg Of = f. 

A.320 As fungoes I a e Ib do exerci'cio anterior sao iguais? Justificar. 


A.321 Os conjuntos A e B tern, respectivamente men elementos. Considera-se uma 
fungao f: A -> B. Qual a condigao sobre men para que f possa ser injetora? 
E para f ser sobrejetora? E bijetora? 

A.322 Quantas sao as injecoes de A = {a, b} em B = {c, d, e, f}? 

A.323 Quantas sao as sobrejegoes de A = {a, b, c} em B =. {d, e}? 

A.324 Mostrar com urn exemplo que a composta de uma injecao com uma sobrejepao pode 
nao ser nem injetora nem sobrejetora. 


192-A 


V. FUNCAO INVERSA 


222. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7} consideremos 
a fungao f de A em B definida por f(x) = 2x - 1. 


Notemos que a fungao f e bijetora 
formada pelos pares ordenados 

f =, {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} 
onde D(f) = A e lm(f) = B. 

A relagao f _l = {(y, x) | (x, y) £ f}, 
inversa de f, e tambem uma funcao 
pois, f e uma bijecao de A em B, 
isto e, para todo y €i B existe um 
unico x £ A tal que (y, x) E f _l . 

A funcao f -1 e formada pelos 
pares ordenados 

f- 1 = {(1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)} 
onde 

D(f“M = B e lm(f _1 ) - A. 



Observemos que a fungao f e definida pela sentenga y = 2x - 1, e f 1 e 


definida pela sentenga 


1?) f leva cada elemento x E= A ate o y G B tal que y - 2x - 1 

i < a y + 1 

2?) f leva cada elemento y £ B ate o x £ A tal que x = ——— 


223. Teorema 

Seja f: A—>■ B. A relagao f" 1 e uma fungao de B em A se, e somente 
se, f e bijetora. 

Demonstracao 

7? Parte : se f _1 e uma fungao de B em A entao f e bijetora. 

a) para todo y £ B existe um x £ A tal que f” 1 (y) = x, isto e, 
(y, x) £ f 1 , ou ainda, (x, y) £ f. Assim f e sobrejetora. 


193-A 



b) dados Xj £ A e x 2 £ A, com x x =£ x 2 , se tivermos f(x t ) = f<x 2 ) = y 
resultara f -1 (y) = x x e f -1 (y) = x 2 , o que e absurdo pois y so tern uma 
imagem em f _1 . Assim f(x x ) ^ f(x 2 ) e f e injetora. 

2 a . Parte\ se f e bijetora, entao f' 1 e uma funpao de B em A. 

a) Como f e sobrejetora, para todo y € B existe urn x E A tal que 
(x, y) E f, portanto, (y, x) E f" 1 . 

b) Se y € B duas imagens x x e x 2 em f" 1 , vem: 

(y, x x ) E f _1 e (y, x 2 ) G f" 1 

portanto 

(x X/ y) E f e (x 2 , y) E f. 

Como f e injetora resulta x x = x 2 . 

224. Definipao 

Se f 6 uma funpao bijetora de A em B, a relapao inversa de f e uma 
funpao de B em A que denominamos funpao inversa de f e indicamos por f -1 . 

225. Observances 

1?) Os pares ordenddos que formam f _1 podem ser obtidos dos pares 
ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto 6 

(x, y) E f <=> (y, x) E f 1 

2?) Pela observapao anterior, temos 

(x, y) E f <=► (y, x) E f" 1 . 

Agora, se considerarmos a funpao inversa de f _1 , teremos: 

(y, x) E f 1 *=> {x, y) E (f- 1 )- 1 
isto e, a inversa de f -1 e a propria funpao f 

(f- 1 )" 1 = f. 

Podemos assim afirmar que f e f~ l sao inversas entre si, ou melhor, uma 4 
inversa da outra. 

3?) 0 dorm'nio da funpao f -1 e B, que e a imagem da funpao f. 

A imagem da funpao f" 1 4 A, que e o domfnio da funpao f. 


194-A 


A B B A 



226. Vimos no exemplo anterior que se a funpao f 4 definida pela sentenpa 
aberta y = 2x - 1, entao a funpao inversa f -1 e definida pela sentenpa x = -X. + 1 . 

Observemos, por exemplo, que x = 2 e y = 3 satisfazem a condipao 
y = 2x - 1 e tambem x = y * ^ . Isto nao quer dizer que o par ordenado 
(2, 3) pertenpa a f ea f' 1 , De fato 

(2, 3) E f e (3, 2) E f 1 . 

As sentenpas abertas y = 2x - 1 e x = y * -l nao especificam quern 

(x? ou y?) e o primeiro termo do par ordenado. 

Ao construirmos o gr^fico cartesiano da funpao f, colocamos x em 
abscissas e y em ordenadas, isto e: 

f = {(x, y) E AX B | y = 2x - 1} 

e ao representarmos no mesmo piano cartesiano o grafico de f -1 , como o 
co nj unto 

f-‘ = {(y, x) G BX A | x = X_±_l} 

devemos ter y em abscissa e x em ordenada. 

Afim de que possamos convencionar que: 

1?) dada uma sentenpa aberta que define uma funpao, x representa 
sempre o primeiro termo dos pares ordenados e 

2?) dois graficos de funpoes distintas podem ser construfdos no mesmo 
piano cartesiano com x em abscissas e y em ordenadas. Justifica*se a seguinte 
regra pratica. 


195-A 



227. Regra pratica 


Dada a funcao bijetora f de A em B, definida pela sentenca y = f(x), 
para obtermos a sentenca aberta que define f -1 , procedemos do seguinte modo: 

1?) na sentenca y = f(x) fazemos uma mudanpa de variavel, isto e, 
trocamos x por y e y por x, obtendo x = f(y). 

2?) transformamos algebricamente a expressao x = f(y), expressandc 
y em funcao de x para obtermos y = f ~ x (x). 


Exemplos 


1?) Qual e a funcao inversa da fungao f bijetora em IR definida por 
f(x) = 3x + 2? 


A funcao dada e: f(x) = y = 3x + 2. 

Aplicando a regra pratica*. 

1} permutando as variaveis: x = 3y + 2 
II) expressando y em funcao de x: 

x = 3y + 2 => 3y = x - 2 =» 

Resposta: E a funcao f _1 em iR definida por 



2?) Qual e a funcao inversa da funcao f bijetora em IR definida poi 
f (x) = x 3 ? 

A fungao dada e f(x) = y = x 3 . 

Aplicando a regra pratica, temos: x = y 3 ==> y = \/~x 
Resposta: E a funcao f" 1 em IR definida por f -1 (x) = \/"x. 


228. Propriedade 


Os graficos cartesianos de f e f" 1 sao simetricos em relagao a bissetriz 
dos quadrantes 1 e 3 do piano cartesiano. 

Observemos inicialmente que se {a, b) € f entao (b, a) £ f _1 . 


Para provarmos que os pontos P(a, b) e Q(b, a) sao simetricos em relagac 
a reta r de equapao y = x (bissetriz dos quadrantes 1 e 3), devemos provar 
que a reta que passa pelos pontos P e Q e perpendicular a reta r e que a< 
distances dos pontos P e Q a reta r sao iguais. 


O ponto M, medio do segmento PQ tern coordenadas { 


a + b a + b 


e portanto M pertence a reta r. Como M e medio do segmento PQ, isto i 
MP = MQ, M £ r, esta entao provado que os pontos P e Q equidistam d£ 


reta r. 


196-A 


Para provarmos que a reta PQ e perpendicular a reta r, consideremos o 
ponto R(c, c) da reta r, distinto de M e provemos que o triangulo PMR e 
retangulo em M. 

Calculando a medida dos lados do triangulo PMR encontramos: 

PM 2 = (a - ^) 2 + (b - -?^) 2 = (^) 2 + (^-) 2 = 2(^-^) 2 
2 2 2 2 2 

MR 2 , (£±± - c) 2 + (A±b . c) 2 = . 2(111 _ ja 
2 2 2 

PR 2 = (a - c) 2 + (b - c) 2 


e observemos que 


PM 2 + MR 2 = 2(l^) 2 + 2(H1 - c) 2 - a ' ~ 2ab + b2 + a2 + 2ab + b2 
2 2 2 2 


- 2(a + b) • c + 2c 2 = a 2 + b 2 - 2ac - 2bc + 2c 2 = (a 2 - 2ac + c 2 ) + (b 2 - 

- 2bc + c 2 ) = (a - c) 2 + (b - c) 2 = PR 2 . 


229. Assim, por exemplo, vamos construir no mesmo dtagrama os graficos de 
duas fungoes inversas entre si: 

1?) f(x) = 2x - 4 e f-'(x) = Hi 

2 


2?) f (x) = x 2 e f' 1 (x) = v^x 

3?) f(x) = x 3 e f-‘(x) = v^x 



197-A 




2?) y = x 2 y = 



230. Teorema 

Seja f uma funpao bijetora de A 
f entao 

f -1 o f = l A e 

DemonstraQao 

V x G A, (f“ 1 of)(x) = f _1 (f(x)) = 

V y e b, {for 1 My) = f(f’ l (y» = 



»m B. Se f 1 e a funpao inversa d 
fof' 1 = l B 

r l (y) = x 
f(x) = y. 


198-A 


231. Teorema 


Se as funpoes f de A em B e g de B em C sao bijetoras entao 
(gof)' 1 = f _1 og _1 . 

Demonstragao 

Observemos inicialmente: se as funpoes f de A em B e g de B em C, 
sao bijetoras, entao a funcao composta, gof de A em C e bijetora, logo, 
existe a funpao inversa (gof) -1 de C em A. 

Queremos provar que (got) -1 = f l og entao basta provar que 
(f _1 o g -1 ) o(gof) = l A e (gof)o(f _1 og _1 ) = l C - 
Notemos que 

f _1 of = l A , fof -1 = i B , g _1 og = l B e gog' 1 = l C - 

Entao: 

(f _1 o g _1 )o(gof) = [(f _1 og“ l )og]of = [f" l o (g _1 og)]of = [f -1 ol B ]of = 

= f 1 o f = l A 

(gof)o(f -1 og _1 ) = [(gof)of‘ l ]og _1 = [go (for 1 )]og" 1 = [gol B ]og _1 - 
= gog" 1 = l c - 


EXERCICIOS 

A.325 Para cada funpao abaixo pede-se provar que e bijetora e determinar sua inversa: 

a) f: IR —* IR tal que f(x) = 2x - 5 

b) g: IR - {4}—> IR - {l} tal que g(x) = -*■ -- 

c) h: IR—v IR tal que h(x) = x s 



A.327 A funpao f em IR definida por f(x) ~ x 2 , admite funcao inversa? Justificar. 


199-A 







A.328 Seja a funpao f de IR_ em IR + , definida por f(x) = x 2 . Qual 6 a funpao inversa 
de f? 


Solupao 

A funpao dada 6 f(x) = y = x 2 com x < 0 e y > 0. 

Aplicando a regra pr^tica, temos: 

I) permutando as variaveis: 

x = y 2 com y < 0 e x > 0 

II) expressando y em funpao de x 

x = y 2 =*■ y = Vx ou y = -Vx 

Considerando que na funpao inversa f -1 , devemos ter y <0 e x >0 a lei de 

correspondence da funpao inversa sera f -1 (x) = -Vx . 

Resposta: £ a funpao f” 1 de IR + em IR_ definida por fMx) = - Vx . 

A.329 Obter a funpao inversa nas seguintes funpoes abaixo 

a) f: IR + —* |R + 
f(x) = x 2 

b} f; A > IR+, onde A = {x G IR I x < 1 } 
f(x) = lx - I) 2 

c) f : A—*■ IR onde A = {x G IR | x < 2} 
f(x) = -(x - 2) 2 

d) f : A—> IR_, onde A = {x G IR | x < -1 } 
fix) = -(x + I) 2 

e) f: IR _-► B, onde B = {y G IR | y > 1 } 

f{x) = x 2 + 1 

f) f: IR +—> B, onde B = {y G IR 1 y < 4} 
f(x) = 4 - x 2 

g) f: IR _—> B, onde B = {y G IR I y > -1 } 
f(x) = x 2 - 1 

A.330 Seja a fun?ao bijetora f, de IR - { 2 } em IR - { 1 } definida por fix) = 

Qual 6 a funpao inversa de f? x - 2 

Solupao 

A funpao dada 6 f(x) = y = x * 1 com x ^ 2 e v ^ 1 

x - 2 

Aplicando a regra pr£tica, temos: 
y + 1 _ _ 

x _ __ =*• X y - 2x = y + 1 =*• xy - y = 2x + 1 => y| x - 1) = 2x + 1 =* 

=> y = 2 X + 1 


Resp.: £ a funpao f de IR - {l> em IR - {2}, definida por f~»(x) = 2x + 1 

x - 1 


200-A 


A.331 Obter a funpao inversa das seguintes funpoes: 

a) f: IR - {3} —> IR - {1} b) f : IR - {-l} -+ IR - { 2 } 


c) f: IR - {3} —* IR - {-1} 


e) f: IR*—► IR - { 4 } 


f <x> = 2x + 3 
x + 1 

d) f: IR - {!}-«. IR -{|} 

fix) = ®*±2 
3x - 1 


f) f: IR - { 3 } —► IR - {3} 


A.332 Seja a funpao f de IR - {-2} em IR - {4} definida por f(x) = 4 ^ x -^- 3 . Qual 
6 o valor do dommio de f -1 com imagem 5? 

Solupao 

Queremos determinar a G IR - {4} tal que f -1 (a) = 5, para isto, basta determinar 
a tal que f{5) = a 


a = f(5) 


4 • 5 - 3 
5 + 2 


A.333 Seja a funpao f de A = {x G IR I x ^-l} em B - {y G 'R I y ^ 0 definida 
po r f ( x ) = \/x 2 + 2x + 2 Qual 6 o valor do domfnio de f" 1 com imagem 3? 

A.334 Sejam os conjuntos A = {x G IR I x > l} e B = {y E IR l y > 2> e a funpao 
f de A em B definida por f(x) = x 2 - 2x + 3. Obter a funpao inversa de f. 


Solupao 

A funpao dada 6 f(x) 


c 2 - 2x + 3 com x > 1 e y > 2. 


Aplicando a regra pratica temos: 

I) permutando as variaveis: 

x = y 2 - 2y + 3 com y ^ 1 e x ^ 2 

II) expressando y em funpao de x 

x = y 2 - 2y + 3= >x = y 2 - 2y +1+ 3 - 1 => x = (y - 1)j_ + 2===> 

=» ( v - 1 ) 2 = Vx -~ 2 =» y - 1 = Vx - 2 ou y - 1 = -Vx - 2 => 

=> y = 1 + Vx - 2 ou y = 1 - Vx - 2. 

Considerando que na funpao inversa f 1 , deve mos ter y>1 e x > 2, a sentenpa 

que define a funpao inversa 6 f _1 (x) = 1 + Vx - 2 

Resposta: f -1 : B —► A 

f-Mx) = 1 + Vx - 2 


201-A 



A.335 Obter a fungao inversa das seguintes tangoes: 

a) A = {x E IR I x > 1} e B = {y E IR | y > - 1 } 
f : A —* B 

f(x) = x 2 - 2x 

b) A = {x E !R I x > -1} e B = {y E IR I y > l} 
f : A —> B 

f(x) x 2 + 2x + 2 

c) A = {x E IR I x < 2} e B = {y E R I v > -1} 
f : A—» B 

f(x) = x 2 - 4x + 3 

d) A = {x E R I x > J} e B = {y E IR I y > - -} 

f: A —> B 2 4 

f(x) = x 2 - 3x + 2 

e) A = {x E IR | x > 2} e B = {y E IR | y < 9> 
f: A —> B 

f(x) = -x 2 + 4x + 5 

f) A = {x E IR I x < -1} e b = {y E IR [ -y < 5} 
f: A—► B 

fix) = -x 2 - 2x + 4 

g) A = {x E R | x > y} e B = {y E IR j y > - -} 

f: A—> B 4 8 

fix) = 2x 2 - 5x + 2 


A.336 Seja a fungao bijetora de IR em IR definida por f|x) 
Determinar f -1 . 


C x 2 - 1 se x > 0 
Lx - 1 se x < 0 


Solugao 
Notemos que 

1 .) se x > 0 entao fix) — y = x 2 - 1, logo y ^ —1. 

2?) se x < 0 entao fix) = y = x - 1, logo y <-1. 

A fungao proposta 6 

V = x2 ’ 1 com x^O e y ^ -1 ou y x - 1 com x < 0 e 
Aplicando a regra pratica: 

I) permutando as vari£veis, temos: 

x = y 2 - 1 com y > 0 e x > -1 ou x = y - 1 com y < 0 e 
II) expressando y em fungao de x, temos: 

y = Vx + 1 com y > 0 e x > -1 ou y = x + 1 com y < 0 



V <-1. 

x <-1 
x <- 1 . 


202-A 


A.337 Nas seguintes fungoes em IR, determinar a fungao inversa. 


a) fix) - 


c) fix) 


e) fix) = 


f 2x + 3 
L 3x + 1 

C x 2 se 
L 2 x se 

r vT-~ 

l <3 - x) 


3 se x > 2 
1 se x < 2 


5 - 3x se x ^ -1 
4 - 4x se x < -1 


x 2 se x >0 
2 x se x < 0 


d) fix) = 


C x 3 - 2 se x < -1 
L 4x + 1 se x > -1 


3 se x ^3 
3 se x < 3 


f x 2 - 4x + 7 se x > 2 
f) f(x) = i 2 x - 1 se -1 < x < 2 
-x 2 - 2x - 4 se x < -1 


A.338 A fungao f em IR definida por fix) = |x + 2i + | x - 11, admite fungao inversa? 

A.339 Seja a fungao f em IR definida por fix) = 2x + | x + 1 | - I 2x - 4|. Determinar 
a fungao inversa de f. 

A.340 Seja a fungao f em IR definida por fix) = 2x - 3. Construir num mesmo piano 
cartesiano os graficos de f e f 1 . 

Solugao 

fix) = 2x - 3 f -1 (x) = Z-LA 


mmmmmmmwMm 

SISSSSS^SSS 


X 

y 

-1 

-5 

0 

-3 

1 

-1 

2 

1 

3 

3 

4 

5 


X 

y 

-5 

-1 

-3 

0 

-1 

1 

1 

2 

3 

3 

5 

4 



A.341 Nas fungoes que seguem, construir num mesmo piano cartesiano os graficos de 


a) f: IR —> IR 
fix) = 2 x + 1 

c) f: IR—► IR 
fix) - 1 - x 3 

e) f : A—>• A = (x E IR I x > -l} 
fix) = x 2 + 2 x 

g) f: IR* -*• IR - {1}. 

fix) = 2L^I 

X 

i) f: IR—» IR + 

fix) = ( 1 ) X 
2 


b) f : IR —* IR 

, 2x + 4 
fix) = — 5 - 

d) f: IR_ -» B = {y E IR I y < 1} 
fix) = 1 - x 2 

f) f: IR*-» IR* 


h) f: IR —> IR+ 
fix) = 2 X 


203-A 




A-342 Dadas as funpoes f e g em R definidas por f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 5 
determinar a funpao inversa de gof. 

Solupao 
1? Processo 

Determinamos inicialmente gof e em seguida (gof) -1 
<gOf)(x) = g(f<x)) = 2f(x) + 5 = 2<3x - 2) + 5 = 6x + 1. 

Aplicando a regra pr£tica, temos: 

x = 6y + 1 => y = x ~ J 
6 

portanto (gOf) -1 (x) = -* ~ * 

6 

2? Processo 

Determinamos inicialmente f” 1 e g' 1 e em seguida f -1 Og -1 pois 
(gOf)* 4 = f -1 Og -1 . 

Aplicando a regra pratica em f<x) = 3x - 2 e gix) = 2x + 5 temos: 
f-l(x) = *-tl e g-*(x) = *-Z± 

3 2 i-rj + 2 

(f- l Og-M(x) = f-Mg-Mx)) - fl l|x> + 2 = -2- = *SL± 

3 3 6 

portanto (gOf)~*(x> = - ~ • 

6 

Resposta: (gOf)* 4 : IR—* IR 

(gOf)-*(x» = *-=-! 

6 

A.343 Dadas as funpoes f e g, determinar a funpao inversa de gof: 

a) f: IR—* IR e g: R—► IR 

f(x) = 4x + 1 g(x) = 3x - 5 

b) f: IR—* IR e g: IR —► R 

fix) = x 3 g(x) = 2x + 3 

c) f: IR + —► IR + e g: IR + -* C = {x G IR | x < 4} 

fix) = x 2 g(x) = 4 - x 

d) A = {x e IR I x > 1}, B = {x e R I x > - f-} 

2 4 

f: A—► B e g: B —+ IR + 

f(x) = x 2 - 3x g(x) = 4x + 9 

e) A = {x 6 IR I x > l}, C = {x€R|x>2} 

f: A—► IR + e g: IR + —> C 

f<x) = x 2 - 1 gix) = Vx + 4 


204-A 


A.344 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x > -2}, B = {x G IR I x > -4} e 

C-{xG IR | x > -1} e as funpoes f de A em B definida por fix) = 

= x 2 + 4x e g de B em C definida por g(x) = x 2 - 1. Pergunta-se: existe 
(gOf)" 1 ? Justificar a resposta. 

A-345 Sejam os conjuntos A = {x E IR 1 x < —} e B = {x E IR I x > -1 } e as funpoes: f 

de A em IR_ definida por f(x) = 2x - 1, g de IR_ em IR + definida por g(x) = x 2 
e h de IR+ em B definida por h(x) = 4x - 1. Determinar a funpao inversa de 
hO(gOf). 


205-A 



APENDICE I 


EQUAgOES IRRACIONAIS 


Equacao irracional e uma equacao em que ha incognita sob um ou mai: 
radicals. 


Exemplos 


x - 2 = 3, 


2x + 1 = 2, 


3x + 2 


2x + 1 + \/ 2x - 4 = 5. 


Para resolvermos uma equapao irracional, devemos transforma-la, eliminandc 
os radicais, bastando para tanto eleva-la a potencias convenientes. Nao devemos 
esquecer que este procedimento pode introduzir rafzes estranhas a equacao 
proposta inicialmente. 


232. Equacao V f(x) = g(x) 

Fapamos o estudo da equacao irracional do tipo v f(x) = g(x). 

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: 

f(x) = [g(x)] 2 . 

As duas equacoes podem ser escritas 

V f(xf - g(x) - 0 e f(x) - [g(x)] 2 = 0 
ou 

VfW"- g|x) = 0 (1) e (s/fOO - g(x)l • (v r fW‘+g(x)) = 0 (2). 

_E claro que toda raiz da equacao (1) e raiz da equaca o (2) porque anulando-se 

V f<x) - g{x) anular-se-a o produto (V f(x) - g(x)){\/ f(x) + g(x)). 

Entretanto, a rect'proca nao e verdadeira, isto e, uma raiz da equacao (2) 
pode nao ser raiz da eq uacao (1). De fato, uma raiz de (2) anula um dos fatores, 
podendo anular V f(x) + g(x) sem anular V f(x) - g(x). 

Para verificarmos se a, raiz da equacao (2), tambem e raiz da equacao 
(1) podemos proceder de dois modos: 

1?) verificando na equacao proposta, isto e, substituindo x por a em 
(1) e notando se aparece uma igualdade verdadeira; 


206-A 


2?) verificando se g(a) > 0. 

Mostremos que g(a-) > 0 => a e raiz de (1) 

f(a) = (g(a)) 2 =* I'fHa) - g{a)][\/f(aj + q(a)] = 0 => 

f g(a) = V f(of) 

=> < ou 

[_ g(a) = - Vf(a) 

Como g(a) ^ 0 resulta que so g(o;) = \/ f(o') e verdadeira, isto e, 
e raiz da equacao g(x) = V f(x). 

Esquematicamente, temos: 

Vf(x) = g(x) <=> f(x) p [g(x)] 2 e g(x) > 0 


EXERCICIOS 


A.346 Resolver as equates 


Solu^ao 


b) Vx 2 + 5x + 1 + 1 - 2x 


a) Nao ha possibilidade de introduzir rafzes estranhas ao quadrarmos esta equacao. 


q(x) 5 > 0, V x G IR 

V2x ~ 3 - 5 => 2x - 3 - 5 2 => x = 1 4 

s -■= { 14 } 

b) Antes de quadrarmos esta equacao e conveniente isolarmos a raiz em um dos 
membros. Assim, temos: 

Vx 2 + 5x + 1 + 1 - 2x => \/x 2 + 5x + 1 = 2x - 1 => 


V x‘ + bx + 1 + 1 = 2x => V + 5x + 1 = 2x - 1 => 

=> x 2 + 5x + 1 - (2x - I) 2 ==> x 2 + 5x + 1 = 4x 2 - 4x + 1 => 

=> 3x 2 - 9x = 0 ==> x - 0 ou x - 3 

x ~ 0 nao e solugao pois, \/o 2 + 5*0 + 1 +1 =£2*0 

x - 3 e solu<?ao pois, \/ 3 2 + 5*3 + 1 +1=2*3 

Para verificar se x = 0 ou x = 3 sao ou nao solu^oes da equacao proposta podemos 
utilizar o segundo processo, como segue: 

g(x) = 2x - 1 

g(0) = -1 < 0 x = 0 nao 6 solupao 

g(3) = 5 > 0 ==> x = 3 6 solucao. 


207-A 




A.347 Resolver as equagoes irracionais: 



A.348 (MAPOFEI-74) Resolver a equagao 

A.349 (MAPOFEI-75) Verificar se existem 
Justificar a resposta. 

A.350 Resolver as equagoes: 

a) x 3 - 3N/^ +2 = 0 


b) V 1 - 2x = 3 



b) \[x + 2 Vx* -1=0 


So I ugoes 

a) Fazendo Vx^ _ y e x 3 = y 2 , temos: 
y 2 -3y + 2 = 0=>y=1 ou y = 2 
mas y = Vx*, logo 

V? = 1 => X 3 = 1 X = 1 

V? = 2 => X 3 = 4 => X = \/4~ 

S = {l, \^4> 



A.351 Resolver as equagoes: 
a) x - 5\Zx” +6 = 0 
c) 6x + l\fx + 2 = 0 
e) x 3 - 6 Vx*^ + 5 = 0 
g) VZ - Vx~ +2 = 0 
i) 3\/x~- 2Vx* - 1 = 0 


b) 9x + 1 2 Vx" -5 = 0 
d) x - 2\fZ -2 = 0 
f) x 3 + 7 V^* -8 = 0 

h) Vx"- Vx -6 = 0 

j) 9^ - 8 yfx* -1=0 


208-A 


A.352 Resolver a equagao 


Vx 2 + 3x + 6 - 3x = x 2 + 4 

Solugao 

A equagao proposta 6 equivalente a 

x * + 3x + 4 - V x" 2 + 3x + 6 = 0 => x 2 + 3x + 6 - VV + 3x + 6 - 2 = 0 

Fazendo Vx 2 + 3x + 6 = y, temos 

y 2 - y - 2 = 0 => y = 2 ou y = -1 

y = -1, nao convSm, pois, y = Vx 2 + 3x + 6 > 0 

Para y = 2, temos: 

vV + 3x + 6 = 2=>x 2 + 3x + 6 = 2 2 =*x 2 + 3x + 2 = 0=> 


=> x = -2 ou x = -1 
S = {-2, -l}. 

A.353 Resolver as equagoes: 

a) 3x 2 + 5x + 4 = 2 V 3x 2 + 5x + 7 

b) x 2 + Vx 2 - 4x - 1 = 4x + 7 

c) x 2 - x + 3 = 5 V x 2 - x - 3 

d) x 2 + 4 Vx 2 - 2x - 6 = 2x + 3 


A.354 Resolver em IR + a equagao 


,' r * = s/T" 


A.355 Resolver a equagao 


Solugao 


!x + 1 + V 2x - 4 = 5 


Antes de elevarmos ao quadrado, devemos transpor uma das rafzes para o outro 
membro. Assim, temos: 


2x + 1 + V 2x - 4 = 5 


2x + 1 = 5 - v 2x - 4 


(V2x + I) 2 = (5 - V2x - 4) 2 ==> 2x + 1 = 25 - 10\/2x - 4 + 2x 


10 V 2x - 4 = 20 


2x - 4 = 2 2x - 4 = 2 2 => x = 4 


x = 4 6 solugao pois 


V2 • 4 + 1 + V2 • 4 - 4 = 5 

s = {4} 

A.356 Resolver as equagoes: 

a) \/36 + x = 2 + Vx" 


c) Vx + 1 - Vx - 1 = 1 

e) Vx - 2 - Vx - 14 = 1 


b) Vx + 1 + Vx - 1 = 1 

d) Vx - 9 - Vx - 18 = 


f) V x - 4 


x + 24 = 14 


209-A 



A.357 Resolver as equates: 



A.359 Resolver a equagao: 

Vx - 2 + Vx - 7 = Vx + 5 + Vx - 10 

Solugao 


Vx - 2 + VX -T = VX + 5 + VX - 10 => 

=> (Vx - 2 + Vx"-~7) 2 = (Vx + ~5 + Vx - To) 2 => 

=>x-2 + x- 7 + 2 Vx 2 - 9x + 14 = x + 5 + x - 10 + 2 Vx 2 - 5x - 50 => 

=> 2 Vx 2 - 9x + 14 =4 + 2 Vx 2 - 5x - 50 => 

=> Vx 2 - 9x + 14~ = 2 + Vx 2 - 5x - 50 => 

=> 60 - 4x = 4 Vx 2 - 5x - 50 => 15 - x = Vx 2 - 5x - 50 => 

=> 225 - 30x + x 2 = x 2 - 5x - 50 => -25x = -275 => x = 11 
x = 11 6 solugao pois 

V11 - 2 + V11 - 7 = V11 +5 + Vi 1 - 10 

S = {11} 


A.360 Resolver as equagoes: 



A.361 Resolver as equagoes: 



210-A 


A.362 Resolver a equagao: 


x + V 2 - x 2 


2 - x 2 


Solugao 

Multiplicand^ os termos da primeira fragao por x - V"2 - x 2 e os da segunda por 
x + V 2 - x 2 , temos: 

2(x - V 2 - x 2 ) 2(x + V 2 - x 2 ) 

2x 2 - 2 . 2jrr 2- - x =* 


x - V2 - X 2 , X + V2 - x 2 


2x = x(x 2 - 1) => x 3 - 3x = 0 


x(x 2 - 3) = 0 => x = 0 ou x = VT ou x = -V5* 

x = ou x = -VT nao sao solugoes pois devemos ter 2 - x 2 > 0 para que 

seja real a expressao V 2 - x 2 . Somente x = 0 6 solugao e isto pode ser verificado 
facilmente, substituindo x por zero na equagao proposta. 

S = { 0 }. 


A.363 Resolver as equagoes: 


+ Vx 2 - 1 


2(x 2 + 1) 


x - V x 2 - 1 

1 V3 


1 - VI -x 1+Vl-x 


x + Vi - 




Vx" + Vx + Vi VT- \/x - Vf 


A.364 (MAPOFEI-76) Resolver a equagao 


3+X-V3-X 


A.365 Resolver a equagao 


x + Vx - Vx - Vx = — 

3 


X + Vx 


A.366 Resolver a equagao 


1 + x - V2x + x 2 


+ X + V X 


1 + X + V2x + X 2 V 2 + X 


A.367 Sendo a e b numeros reais, resolver a equagao: 

Va - x + Vb - x = Va + b - 2x 


211-A 



A.368 Sendo a E IR*. resolver a equapao: 


2x + 2 V a 2 + x 2 


5a 2 


Va 2 + x 2 


A.369 Sendo a e b numeros reais nao negativos, resolver e discutir a equapao: 

Vx + a = Vx + Vb" 

A.370 Sabendo que a e b sao numeros reais e positivos, resolver as equates: 


V a + x + \ i 


V? 


b) 


V a + x - V a - x 

VT + V x - b 

y/b + y/ x - a 

c) V a + x + V a ~ x = b 

Va + x - Va - x a 

A.371 Sendo a e b numeros reais nao nulos, resolver a equapao: 

V a 2 + x V b 2 + x 2 - a 2 = x - a 
A.372 Resolver os sistemas de equates: 
a) f xy = 36 

\ Vx* + Vv = 5 


b) f VT - V7 = 2 Vxy 

l X + y = 20 


GT + pf = j> 


I . I . / A 

y V x 2 
x + y = 10 

d) f x + y - Vxy = 7 
x 2 + y 2 + xy = 1 33 

A.373 Resolver os sistemas de equapoes: 

a ) ( 5Vx 2 - 3y - 1 + Vx + 6y = 19 


3Vx 2 - 3y V = i + 2 Vx + 6y 

b) f VT+~y + y/2x + 4y = 4 + V? 
Vx + 2y - V2x + 2y = 2 VT - 2 


233. Equapao V f(x) = g(x) 

Fapamos agora o estudo da equapao do tipo V f(x) = g(x). 

Vamos mostrar que ao elevarmos esta equapao ao cubo nao introduzimos 
rafzes estranhas, isto e, obtemos uma equapao equivalente. 

Vf{x) = g{x) <=> f{x) = [g(x)] 3 . 

De fato, considerando estas duas equapoes, temos: 

V"f[x) = g(x) e f{x) = [g<x) ] 3 
ou 

VfUj-g{x) = 0 (1) e f(x> - [g(x)] 3 = 0 (2). 

Observemos em (2) que: 

f(x) - [g(x)] 3 = [ V f(x) - g(x)] • [(V~f(x)) 2 + g{x) * Vf(x) + (g(x)) 2 ] = 0. 

Como o fator ( Vf(x)) 2 + g(x) - Vf(x) + (g(x)) 2 6 sempre positivo pois 

(Vf(x)) 2 + g(x) • Vf(x) + (g(x)) 2 = [ Vf(x) + ] 2 + 3 * faMl 2 

2 4 

resulta que o fator Vf{x) - g(x) 6 nulo e a equapao (2) tem sempre as mesmas 
solupoes da equapao (1), isto e, (1) e (2) sao equivalentes. 


EXERC1CIOS 


A.374 Resolver as equapoes: 
a) V 2x + 1 - 3 


b) V 4x 2 + 9x + 


1 = x + 1 


{ 

( 

( 


Solupeo 

a> V^2x + 1 = 3=>2x + 1 = 3 3 =>x = 13 
S = {13} 

b) V4x 2 + 9x + 1 = x + 1 => 4x 2 + 9x + 1 = (x + 1 ) 3 => 

=> 4x 2 + 9x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ==> x 3 - x 2 - 6x = 0 => 
=> xlx 2 - x - 6) = 0=> x = 0 ou x = 3 ou x = -2 
S = {0, 3, -2}. 


A.375 Resolver as equapoes: 

a) V 3x - 5 = 1 
c) Vx + 5 = -3 
e) Vx 2 - 7x - 5 = 1 
g) Vx + 1 = 2x + 1 
i) V2x 2 + 3x - 1 = 2x - 1 


b) V4x + 1 = 2 

d) V x 2 - x - 4 = 2 

f) V x 2 - 8x + 40 = 3 

h) V3x - 1 = 2x - 1 

j) VT + 15x - 5x 2 - 3x 3 = x + 2 


212-A 


( 


213-A 



A.376 Resolver a equagao 2 \/x^ - 3\/x 2 _ 20 = 0 


A.377 Resolver a equagao V x + 49 - V x - 49 = 2 

Solugao 

Vx + 49 - Vx - 49 = 2==> Vx + 49 = 2 + Vx - 49 => {Vx + 49) 3 = 

_ /o a. _ /ia\ 3 s v + da - ft + T\/v - 4Q + v/y - 401 2 + y _ 49 = 


(2 + Vx _ 49) 3 ==> x + 49 = 8 + 3V x - 49 + 3( V x - 49r + x - 49 => 
3(Vx - 49) 2 + 3 Vx - 49 - 90 = 0=> (Vx - 49) 2 + Vx - 49 - 15 = 0. 


Fazendo V x - 49 = y, temos: 

y2 + y _i5 = o ==> y = 3 ou y = -5 mas, y = Vx - 49, entao 
Vx - 49 = 3=>x- 49 = 3 3 =>x = 76 
Vx - 49 = -5=> x - 49 = (-5) 3 => x = -76 
S = {76, -76). 


A.378 Resolver a equagao V x + 1 


V x - 6 = 1. 


A.379 Resolver a equagao 


A.380 Resolver a equagao V2-x = 1 - Vx - 1. 

A.381 Resolver a equagao Vx + 1 + Vx - 1 = Vsx* 

Solugao 

Para resolvermos esta equagao vamos utilizar a identidade 
(A + B) 3 = A 3 + B 3 + 3ABIA + B). 

Fazendo A = Vx + 1, B = Vx - 1 e A + B^_V^5x, temoi 
(\^5>0 3 = (tfTT I) 3 + (V x -~1) 3 + 3\/x + 1 -Vx - 1 • V^x 


=> x + 1 + x - 1 + 3\/5x 3 - 5x = 5x V5x 3 - 5x = x => 5x 3 - 5x = x 3 

VlT 

=> 4x 3 - 5x = 0 => x(4x 2 -5}=0=>x = 0 ou x = —— ou x = ~ " 2 — 


A.382 Resolver a equagao: Vx + 2 + Vx - 2 


Vx + 2 + \Ix - 2 = Vi lx . 


A.383 Resolver a equagao: Vx + 1 - Vx - 1 = Vx 2 - 1 

A.384 Resolver a equagao: V^I + Vx~ + "s/l - Vx"= Vi"* 


{ x + y = 72 

A.385 Resolver o sistema de equagoes: < + Vy~ _ 6 


214-A 


APENDICE II 


INEQUAQOES IRRACIONAIS 


234. Inequagao irracional e uma inequagao em que ha incognita sob um ou 
mais radicals. 


Exemp/os 


r x + 2 > 3, 


3x + 4 > x. 


3 > 2. 


Observemos inicialmente que s e a e b sao numeros reais nao negativos 

entao 

a > b «=* a 2 > b 2 
a < b <=> a 2 < b 2 

Assim, por exemplo, sao verdadeiras as implicagoes 

2 < 5 => 4 < 25 

V3 > V2 => 3 > 2 
4 < 9 => 2 < 3 

mas sao fa Isas as implicagoes 

-3 < -2 9 < 4 

2 > -5 =► 4 > 25 
2 > -3 => 4 > 9 


235. Teorema 

Se f(x) >0 e g(x) > 0 em um conjunto de valores x pertencentes 
a AC IR, entao sao equivalentes as inequagoes f (x) >g(x) e [f (x)] 2 > [g(x)] 2 . 

Demonstra$ao 

Seja Sj o conjunto das solugoes da inequagao f{x) > g(x) e S 2 o 
conjunto das solugoes da inequagao [f(x)] 2 > [g(x)] 2 , isto 6, 

S, = {x G A|f(x) > g(x)} 
e 

S 2 = {x G A I [f(x)] 2 > [g(x)] 2 } 

Para provarmos que as inequagoes f(x) > g(x) e [f(x)] 2 > [g(x)] 2 
sao equivalentes, basta provarmos que Si = S 2 . 


215-A 



De fato, para todo a de S lf temos: 

f f(a) - g(a) > O'! 

a G S, C A => f{a) > g(a) > 0 => j e l —> 

L f(a) + g(a) > 0 J 

[f(a) - g(a)] • |f(a) + g(a)] > 0 => [f(«)] 2 - [g(a)] 2 > 0 => 

[f(a)] 2 > [g(a)] 2 => a G S 2 . 

Acabamos de provar que Sj C S 2 , provemos agora que S 2 C S,. 
Para todo a de S 2 , temos: 


a G Si C A => 


a G S 2 => ff(of)] 2 > [g(a)] 2 => [f{<*}] 2 - [g(a)] 2 > 0 => 
=> iHoc) + g(a-)] • [f(a) - g(a)] > 0 
e 

a G A => f(a) > 0 e g(a) > 0 => f(a) + g(a) > 0 


=► ffa) - g(«) > 0 => f{a) > g(a) => a G Sj. 

Vejamos agora processos para resolvermos alguns tipos de inequacoes 
irracionais. 

236. Inequapao Irracional V f(x) < g(x) 

0 processo para resolvermos esta inequapao e: 

1?) Estabelecemos o domi'nio de validade, isto e; 

f(x) > 0 e g{x) > 0 (I) 

2?) Quadramos a inequapao proposta e resolvemos 
f(x) < [g(x)] 2 (||) 

As condicoes (I) e (II) podem ser agrupadas da seguinte forma 
0 < f(x) < [g(x)] 2 e g(x) > 0 

Esquematicamente, temos: 

Vf(x) < g(x) <*=* 0 < f(x) < [g(x)] 2 e g(x) > 0 
Analogamente, podemos estabelecer para a inequapao V f(x) ^ g(x) 


xTRx) < g(x) 0 < f(x) < [g(x)] 2 e g(x) > 0 


216-A 


EXERCICIOS 



217-A 





A.388 Resolver as inequacoes: 
a) V4 - 3x ^ x 
c) V 2x + 9 < x - 3 
e) V x + 1 <C 3 - x 
g) V x 2 - 3x +~3 < 2 x - 1 
i) 1 + Vx 2 - 3x + 2 < 2x 


b) Vx + 5 <x - 1 
d) Vx + 3<x + 1 
f) V 2x 2 - x - 6 < x 
h) V 2x 2 - 5x - 3 < x + 3 


237. inequapao irracional V f (xj > g(x) 

0 processo para resolupao desta inequapao consiste em duas partes, que sao 
7? Parte 

g(x) < 0 e f(x) > 0 

pois sendo g(x) <0 e f(x) > 0, a inequapao V f(x) > g(x) esta satisfeita. 
2? Parte 

a) Estabelecemos o domfnio de validade da inequapao, isto e: 

f(x) > 0 e g(x) > 0 (I) 

b) Quadramos a inequapao proposta recaindo em 

f(x) > [g(x)] 2 (II) 

As condipoes (I) e (II) podem ser agrupadas da seguinte forma 
f(x) > lg(x)] 2 e g(x) > 0 
Esquematicamente, temos: 



Analogamente, para a inequapao V f (x ) > g(x), temos: 



218-A 


EXERCICIOS 







220-A 


(IV) 


0 



$2 = {x G IR I X < 0 } 

A solupao da inequapao pro post a 6 dada por: 

S = Si U S 2 - {x G IR I x < 0 ou < x < 3} 

A.393 Resolver as inequapoes 



238. Inequapao Irrational V f(x) > V g(x) 

0 processo de resolupao desta inequapao e 

1?) Estabelecermos o domi'nio de validade da inequapao, isto e, 
f{x) > 0 e g(x) > 0 (1) 

2?) Quadramos a Inequapao proposta recaindo em 
f(x) > g(x) (II) 

As condipoes (I) e (II) podem ser agrupadas da seguinte forma 
f(x) > g(x) > 0 
Esquematicamente, temos: 



De modo analogo, para a inequapao 

Vf(x) > V g(x), temos: 



221-A 





EXERCICIOS 

A.394 Resolver a inequagao 

V 2x 2 - x - 1 > V x 2 - 4x + 3 


Solugao 

V2x 2 - x - 1 > \fx r 


4x + 3 = 

2x 2 - x - 1 > x 2 - 4x + 3 
e 

x 2 - 4x + 3 > 0 

x < -4 ou x > 1 (I) 

e 

X < 1 ou x > 3 (II) 

-4 

0) mmm i mm io- 


2x 2 - x - 1 > 


4x + 3 > 0 => 


x 2 + 3x - 4 > 0 


x 2 - 4x + 3 > 0 


(II) +H+4 
(1)0(11) 

S={x€rIx<-4 ou x 




-o n i m iii i iii mm i HUti iii im i i 
3 

-I HH ttHI 


-4 


3 


3} 


A.395 Resolver as inequagoes: 


a) V3x - 2 > V2x - 3 

b) V5 - x < V2x + 7 

c) V2x 2 - 5x - 3 <V8x + 1 

d) Vx 2 - 7x + 17 > V8 + 2x - x 2 

e) V2x 2 - lOx + 8 > Vx 2 - 6x + 7 

f) V-x 2 + 5x - 6 < V4x 2 + 12x + 11 

g) V2 - 3x - x i > Vx 2 - 5x + 4 

h) Vx 2 - 2x + 2 < V2x 2 - x + 4 


A.396 Resolver as inequagoes: 

a) V ^4 - V1 - x > V2 - x 

b) %/2 - V 3 + x - \/ 4 + x < 0 

A.397 Resolver as inequagoes: 

a) V1 - x ^ V V 5 + x 

b) V x"+8 < Vx~T2 

A.398 Resolver a inequagao: 

V x + 1 < 2 + V x - 4 

Solugao 

Estabelecemos inicialmente o domfnio de validade da inequagao 

f x + 1 >0 

< e => x > 4 (I) 

x - 4 > 0 


Note mo s que para os valores de x satisfazendo (I), a mb os os membros da 
inequagao proposta s5o posit ivos, entao podemos quadra-la sem preocupagSes. 

Vx + 1 <2 + Vx - 4=> x + 1 <4 + x - 4 + 4 Vx - 4 =► 1 <4 V x - 4=> 

=> V X ~ 4 > — => x - 4 > -L=*X>— (II) 

4 16 16 

A solugao da inequagao proposta 6: 

4 

(I)-«H« Hm i HmHnmii i m iii mti i nm i n ii iim t mnmm i nnMMht ii mm» ■■ x 

65 

DD-< ?nim i imin iii Hnunn i imuuwmm t ummnm>m i H x 

65 

(DO (II)-—-o BuUmHH I MUHH II U II HH I H I H Ii m t UK Itt MH > UHMUM I x 


S = {xG|R|x> ^.} 

16 J 

A.399 Resolver as inequagdes: 

a) Vx + 5 < 1 + Vx - 2 c) V3 - x - Vx + 1 > -i- 

_ 2 _ 

b) Vx - 1 - Vx - 4 <3 d) Vx 2 + 3x + 2 < 1 + Vx 2 - x + 1 

A.400 Resolver a inequagao: 

\fx + 6 - Vx + 1 > V2x - 5 

A.401 Resolver a inequagao: 

x + Vx 2 - 10x + 9 > Vx + 2 Vx 2 - 10x+ 9 


222-A 


223-A 




RESPOSTAS 


CAP ITU LO I 


A.1 Sao proposi^oes: a, b, c, d, e, f, g 
Sao verdadeiras: a, d, e, g 


A.2 

a) 

3 • 7 ^21 

(F) 





e) 

<!> 

7 x +) 3 

(F) 



b) 

3(11 - 7} - 

5 

(F) 




f) 

V2 > 1 (V) 




c) 

3-2 + 1 <4 

(F) 




g) 

-(-4) 

<7 (V) 




d) 

5 • 7 - 2 > 5 • 

6 

(V) 



h) 

2/l 

(V) 



A. 3 

a} 

V 

b) 

V 


c) 

V 



d) F 


e) V 


f) 

F 

g) 

F 









A.4 

a) 

V 

b) 

V 


c) 

V 



d) V 


e) V 


f> 

F 

9) 

V 









A. 5 

a) 

F 

b) 

V 


c) 

V 



d) V 


e) F 


f) 

V 

g> 

V 


h) 

V 






A.7 

a) 

(3x)(x 2 - 5x + 

4 = 

= 0) 



b) 

(Va)((a + D(a 

- 1) = 

a 2 - 1) 


c) 

I3y>(-| + 

V_ 

4 

* 

T 1 



d) 

{3 m) (V m 2 + 9 

# m 

+ 3) 


e) 

iYxH-(-X) : 

= x) 





f) 

(3a)(5a + 4 < 

11) 



g) 

(3x)(\^2 , 

X) 





h) 

(3a)l 

, a - a 

a 

a - 1) 

A.8 

a) 

mdc (2, 3) ^ 1 

e 

mmc 

(2, 3} 

= ( 

3 

b) 

2_ _j_ _6_ 

5^10 

e 3 • 

10 = 6 


c) 

— < 1 ou 

7 

-3 

< 

-7 




d) 

2 2 = 4 e 

V4 


e) 

(-3) 2 = 9 e 


= -3 




f) 

2 > 5 e 

3 2 > 5 2 


g) 

(3x)(x >2 

e 

3* 

<3 2 




h) 

(Vx)(Vx 

> 0) 



i) Existe um numero inteiro primo e par 
]) Existe um triangulo is6scele$ e nao equil^tero 

k) Todo losango 6 quadrado 

l) Todo numero tern raiz quadrada igual a zero 

m) Existe um triangulo equiangulo e nao equilStero. 


A.9) a) F 

b) F 

c) V 

d) F 

e) F 

f) F 

g) F 

h) V 

i) V 

j) v 

k) F 

1) F 

m) F 





CAPITULO II 

A.1 2 a) {-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9} 

b) {±1, ±2, ±3. ±6, ±7, ±14, ±21, ±42} 

0 { 1 . 1 , 2 , 2 } 

L 1 2 1 2 

d) {o} 

e) {cuiab3, goiania} 

A.13 A = (x ! x 6 divisor de 6} 

B = {x I x £ multiplo inteiro e positivo de 10} 

C = {x I x 3 quadrado de um inteiro} 

D = (x I x e $at6lite natural da Terra} 

A.14 D * {3} 

A.15 B = 0 
A.18 todas 

A. 19 a) V b) F c) F d) F e) F 

f) V g) V h) V i) V j) F 

A. 20 


A.21 (A) = { 0 , {a}, {b}, {c}, {d}, (a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, (b, d}, (c, d}, 

{a, b, c} {a, b, d}, (a, c, d}, {b, c, d}, a} 

A.22 A U B = {a, b, c, d}, A U C = {a, b, c, e}, 

B U C = {c, d, e}, A U B U C = {a, b, c, d, e} 

A.24 a) V b) F c) F d) V e) V f) V 

A.25 circulo de centro 0 e raio 2r 
A.26 piano Oc 

A.27 A O B = {b, c, d}, A O C = {c}, B O C = {c} e A H B H C = {c} 
A.29 a) V b) F c) F d) V e) V f) V 

A.30 a) L b) R c) Q d) Q e) Q f) P 

A.32 X = (a, c, e} 


A. 33 




226-A 


A.34 

a) 

(a. b} 




b) {e, 

L g} 



c) 

{b} 



d) 

{a. b } 




e) {a. 

b, c} 



f) 

i.a, c, e, f, 

g} 

A. 36 

a} 

V 


b) 

V 



c) F 



d) V 


A. 37 

X 

= {1. 3, 

5} 










A. 40 

a) 

V 


b) 

V 



c) F 



d) V 


A.41 

A 

= {6, -1 

}. 





B = {e, x 

r 

, c. 

i. 0 } 



C 

= {3, -3 

, 5), 



D = { 



E 

= {2, 3, 4, 5} 


A.42 

a. 

b, d, f 











A.44 

332 e 83 











A.45 

n A U B U 

C = n A 

+ 

n B 

+ nc 

- n A n B - n B 

n 

c - 

n c n A + 

n A 

A. 46 

a) 

500 

b) 

61 



c) 257 

d) 

84 



A. 47 

A 

= {p, q, 

r, s, t} 



B- {r. 

S, X, z 

} 


C 1 

= {s, t, u, > 

/, X 

A. 48 

a) 

560 




b) 280 






A.49 

a) 

{a, b, e 

, f. g} 












CAPITULO III 


A.51 a, c, d, g, h, i 

( A.52 D(6) = {±1, ±2. ±3. ±6} D(-18) = {± 1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} 

Dl-24) n D(16) = (±1, ±2, ±4, ±8} M(4) = {0, ±4, ±8, ±12, ...} 

' M(10) = { 0 , ±10, ±20, ±30, ...} M(-9) O M(6) = {o, ±18, ±36, ±54, ...} 

A.53 12, 0, -1, 1 e 49 
, A.54 a) nao, pois 1 €= D(a) Pi D{b) 

' b) m e um maximo divisor comum de a e b: mdc(a, b) = ±m 

( c> a e b sao primos entre si: mdda, b) = ±1 

d) quando a I b 

e) quando a e b sao primos entre si 

f) n 6 um mfnimo multiplo comum de a e b: mmc (a^ b) = ±n 

1 A.55 a) ±1, b) ±2 c) ±3 d) ±6, e) ±1*2 f) ±42 

A.56 a, b, e, f, h, k, £ 

A57 1 4 8 32 271 c 602 

( * 5 ' 9 ' 25 ' 99 ' 50 111 

( 


( 


227-A 




228-A 























































capiYulo V 


A.112 a) nao define fungao de A em B, pois o elemento 2 G A nao estci associado a 

nenhum elemento de B. 

b) nao define fungao de A em B, pois o elemento 1 £ A esta associado a dois 

elementos de B. 

c e d) define fungao de A em B, pois todo elemento de A esta associado a 
um unico elemento de B. 

A.113somente (d) pois o conjunto de partida 6 A = {o, 1, 2} e o conjunto de chegada 

6 B - {-1, 0, 1, 2} 

A.114 a) 6 fungao. 

b) nao 6 fungao de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos 

(x, 0), com x > 0, encontra o gr^fico da relagao em dois pontos. 

c) nao 6 fungao de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos 

{x, 0), com -1 x < 1, nao encontra o gr£fico da relagao. 

d) 6 fungao e) 6 fungao 

f) nao 6 fungao de IR em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto <3, 0) 
encontra o gr£fico da relagao em mais que dois pontos e as retas verticais con- 
duzidas pelos pontos (x, 0), com x i=- 3, nao encontram o gr^fico da relagao. 

A.115 a) f: IR -> IR b) g: IR -> IR c) h: IR -* IR 

3 2 

X*->-X XH>X XHX - 1 

d) k: IR -► IR 
x^2 

A.116 a) f: <Q Q b) g: Z Q c) h: IR* -»• IR 

x^-x + 1 x^2 x v .. 1 

a r-r — 

X 

A.117 a) f ( 2 ) = 2 b) f(-1) - 8 c) f(3_) , 11 

2 4 

d) f(- —) = — e) f(V3) = 7 - 3>/J f) f<1 - \f5) = 4+^2 

3 9 


A.118 a) f(2) = 4 

c) f(0) = -2 


b) f(-3) = -11 



nao tern significado pois 



234-A 


A.119 a) f (3) =1 b) f(- y ) = 1 

c) f(V2> = 1 + >/2 d) f(>/4) = 1 

e) f(\Z7 - 1) = Vz f) f(0,75) = 1 

A.121 x = -4 
A.122 x = 2 ou x - 3 

A. 123 a) D(f) = {0, 1, 2} e Im (f) = {-1, 0, l} 

b) D(g) = {-1, 0, 1, 2} e | m (g) = {l, 2} 

c) D(h) = {-1, 0, 1 } e Im (h) = {-2} 

d) D(k) = {-2, 0, 1, 2} e Im <k) = {-2, -1, 0, 2} 

A. 124 a) Im = {-2, 0, 2} b) Im = {y G IR I -2 < y < 2} 

c) Im = {y G IR | y = 1 ou y > 2} d) Im = IR 

e) lm = {y^lRlo^y^2ouy>4} 

f) lm = {yG|R|y^i} 

A.125a) D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} e Im = {l, 2. 3, 4} 

b) D = {x G IR | -2 < x < 3} e Im « {y G IR | -3 < y < 2} 

c) D = {x G IR I -2 ^ x ^ 4} e Im * {y G |R | 1 ^ y <5 5} 

d) D = {x G IR | -3 ^ x < 5} e Im = {y G IR | 1 ^ y < 3} 

e) D = {x G IR | -4 < x < 4} e Im = {y G IR I -3 ^ y 5 } 

f) D = {x G |R | -3 < x < 3} e Im * {-3, -2, -1, 0, 1, 2} 

A.126 a) D(f) = IR 

b) D(g) = IR - {-2} 

c) D(h) = IR - {2, -2} 

d) Dip) = {x G |R | x > 1 } 

e) D(q) = {x € IR I x > -l} 

f) D(r) = {x G IR I x > -2 e x 2} 

g) D(s) = IR 

h) D(t) = IR - — } 

i) Din) = IR - {3}^ 

A127 Todas sao iguais, pois sao todas fungoes de IR em IR e associam cada numero real 
ao seu cubo. 

A. 128 Nao sao iguais, pois para x <C 0 temos Vx^ ^ x. 


A.129 Somente serao iguais se forerp fungoes de A em IR onde A 4 qualquer subcon- 
junto de {x G IR I x ^ 1 }. 


A. 130 Sao iguais, pois 


x + 1 
x 2 - x 


para -1 < x ^0 ou x > 1 


A.131 Nao sao iguais* pois nao tern o mesmo domfnio. 


A. 132 a) S = (x G IR | x >-4} 

b) S = {x G IR | x < - 10 } 

c) S*{xGlR lx>- —} 

4 


235-A 







A. 139 


A. 134 a) S = {x € |R | x >3} 

b) S = {x e IR | X > - 3 } 

c) S = {x e |R I x > 7 } 

d) S * {x € |R | x < 0 } 

e) S = 0 

f) S = |R 

A.136 a) S = {x £ IR I x > 1 } 

b) S = {x e |R | x < 1} 

c) S = {x € IR I X > - — } 

3 J 

A. 140 a) 


capiYulo VI 


A137 a) 


h) 









A. 142 a) S = {(3, 2)} 

c) S = {<2, -1)} 
e) S = 0 

A.143 a) S = {(3, -1)} 
A. 145 a) y = 2x - 1 

c) y = x - 5 
A. 147 y = -3x - 2 

A. 148 y 

2 2 

A.149 y = — x + 4 
2 

A. 150 y = - JL _ 3 
3 

A.151 a) y = — + JL 
3 3 


b) S = {(-2, 4)} 
d) S = {(3, -2)} 
f> S = {(0, 0)} 
b) S = {(2, 1)} 



d) y = 2 


c) y = - 1 d) y = 2x + 3 

A.152a) crescente para x E |R I x < -2 ou x 1 
decrescente para x E IR I -2 ^ x < 1 

b) crescente para xG R I -1 <x<0 ou x ^ 1 
decrescente para x E IR | x < -1 ou 0 < x < 1 

c) crescente para x E |R | x < 0 ou x > 0 

A.154a) crescente d) decrescente 

b) decrescente e) decrescente 

c) crescente f) crescente 

A.156 a) crescente para m > -2 

decrescente para m < -2 
constante para m * -2 

b) crescente para m < 4 
decrescente para m > 4 
constante para m = 4 

c) crescente para m <C -3 
decrescente para m > -3 
constante para m = -3 

d) crescente para m > 1 
decrescente para m <C 1 
constante para m = 1 

A. 157 a) f(x) = 0 <=> x = -5 ou x = -3 ou x = 2 ou x = 6 

f(x) > 0 x < -5 ou -3 < x < 2 ou x > 6 

f(x) < 0 <=> -5 < x < -3 ou 2 < x < 6 

b) g(x) = 0 <=> x = -3 ou x » -1 ou x = 3 
g(x) >o <=>-3 <x <-1 

g(x) < 0 <=► x <-3 ou x>-1 e x 3 

c) h(x) = 0 <==> x = -2 
h(x) > 0 <==► x =£ -2 


238-A 



A.160 x < 3 

A.161 x > *- 

3 

A* 162 a) x>- JL; b) x > -i- c) YxElR, 

A. 163 a) x >2 

b) x > 0 

c) ^x E |R 

d) x < -2 

e) x < 3 


239-A 



A. 164 a) S = {x G |R 
c) S = (x 6|R 
e) S = {x G IR 

A. 165 a) S = {x G |R 

b) S = {x G |R 

c) S = 0 

d) S = {x G |R 
A.166 a) S = {x G |R 

b) S = {x G |R 

0 S - 0 

A. 167 a) S = {x € IR 

b) S = {x G |R 

c) S * {x G |R 

d) S = {x G IR 

e) S = {x G IR 

f) S = {x G |R 

g) S = {x G R 

h) S = {x € IR 

A.168 a) S = {x G |R 

b) S = {x G |R 

c) S = 0 

d) S = {x G IR 

e) S = IR 

f) S = {x G |R 

g) 

h) S = {x G |R 
A. 170 a) S^fx G IR 

b) S = {x G |R 

c) S = {x G IR 

d) S = {x G IR 



240-A 


A.171 a) S = {x G IR 

b) S = {x G |R 

c) S = {x G |R 

d} S = {x G |R 

A. 172 a) S = |x G IR 

b) S = {x G |R 
-c) S = {x G IR 

d) S = {x G IR 
A.173 a) S - {x G IR 

b> S = lx G IR 

c) S = {x G IR 

d) S = [x G IR 

A.174 a) S = (x G |R 

b) S = {x G IR 

c) S = {x G IR 

d) S = {x G IR 

e) S = {x G IR 

f) S = {x G IR 

g) S = {x G IR 


x <C -2 ou x > - — } 

2 

x < 2 ou x> 2} 

,3 2 J 

■ i <X< 1 } 

5 4 

x<-2 ou x > - 1} 

2 3 J 

x <C — ou X > 2} 

8 3 

x < -10 ou x > "2} 

3 J 

-2 < x < -l} 

1 < x <2} 

< x < 2 ou x>4} 

4 2 

x < - — OU -2 < X < - — } 

2 5 3 


X < - * OU -1 <x < 2} 

5 4 4 

2 ^ x 3 ou x > 5} 

-3 < x < 4 ou x > 11 } 

0 < x < 1 ou x > 2} 

-4 <x <-2} 

X <-2 ou . 2 * <x < -2 } 

3 24 3 

< x < - -2- ou x > 2} 

4 42 4 J 

x <1 ou | < x < 2 ou x > 3} 

-1 < x ^ 0 ou 2 <x<1 ou x ^ 3 } 
3 


CAPITULO VII 




241-A 





78 S 
80 a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

g) 

h) 

A. 182 m 


1(3, 4), (4, 3) 


X = 1 OU X = 

x = 3 ou x = 

X = V 3 " ou x 
X - V 2 ” OU X = — i 

nao existe x £ IR 
nao existe x € IR 
x = 0 ou x = 2 01 
x = 2 ou x = -1 

> J* 


16 


e m ^ 1 


V183 m 
V184 m 




17 


— e m =£ -2 


16 


-1 


ou m = — 
3 


(VI85 m 
M86 m 


V187 m 
V189a) 


<- 

<- 


13 

12 

J_ 

4 


b) - i 


c) -5 


VI91 a) 

c) 

e) 

VI92 a) 

b) 

c) 

d) 

X 1M m 


6 = 0 


X 2 + X 

x 2 - 5,4x + 2 = 0 
x 2 - 2x - 2 = 0 


a 2 x 2 - (b* - 2ac)x + c* = 0 


cx + bx + a = 0 

acx 2 - (b 2 - 2ac)x + ac = 0 

a 3 x“ + (b 3 - 3abc)x + c 3 - 0 


(b - 3abc)x + c' 

- -2 + Vi ou m = -2 - Ve 

■"-V ->™-f 

X M = 2 e YM =12 
x m “ ^ e vm ~ 0 

-9 


4 6 Vm 16 


X M 


*- e 
2 


VM 


7 

18 


d) f e) - — 

4 2 

b) 4x 2 + 4x - 3 - 0 
d) x 2 - (1 - \/2)x - 


X M = 


e VM = 





A.201 quadrado de lado 5 cm 
A.202 3 e 3 

A.203 Retangulo de lados e 

A.204 RetSngulo de lados 4 cm e 3 cm 
A.205 Retangulo de lados 2 cm e V^Tcm 


A.206 Retangulo de lados 

2 cm e 3 cm 





A.207 a) V<0, -41, 

b) V( A , 


c) 

V<*. 

-1) 

2 

4 


4 

8 

d) V(l. ^-1 

e) V( — , 

-L) 

f) 

V< — , 

_ in 

4 16 

2 

36 

6 

36 

A.208 a) lm = {y € IR I 

y > _ iL } 






b) Im » {y £ IR l y ^ 4} 

c) Im = {y Gi IR I y ^ - — } 

4 

d) Im = {y 6 IR I y ^ 16} 

e) Im = {y £ IR 1 y ^ } 

16 

f) Im = {y G IR l y > -1 } 

A. 209 m = — 

3 _ 

A.210 m = \/To ou m = - V10 


A.214 a) 



e) 


f) 




A.215 a) x 2 - 2x - 3 > 0 <=> x < -1 ou x > 3 

x 2 - 2x - 3 = 0 <=> x = -1 ou x = 3 

x 2 - 2x - 3 < 0 <=> -1 < x < 3 

b) 4x 2 - lOx + 4 > 0 <=> x < 1 ou x > 2 

2 

4x 2 - lOx + 4 = 0 «=> x = — ou x = 2 

2 

4x 2 - lOx + 4 < 0 » — < x < 2 
2 

c) -x 2 + A x + — >0 <=> - — < x < 1 

2 2 2 

2 1 1 1 

-x + — x + — — 0 <=> X-— ou X = 1 

2 2 2 

-x 2 + — x + -A < 0 ■<==> x <C - — ou x > 1 
2 2 2 

d) -3x 2 + 6x - 3 — 0 <=> x — 1 

-3x 2 + 6x - 3 < 0 <=> x ^ 1 

e) x 2 - 3x + — >0 <=>x i 

4 2 

x 2 - 3x + ^ 0 « x = — 

4 2 

f) 3x 2 - 4x + 2 > 0, V x G IR 

g) -x 2 + x - 1 <0, Vx G IR 

h) - — x 2 - x - — < 0, V x £ R. 

2 2 


245-A 















A.219 a) S = {x 6 IR I x < 1 ou x > 2} 

b) S = {x G [R I -2 < x < 3} 

c) S = {x G IR I x ^ -3 ou x ^ A } 

d) S = {x G IR I - | < x < 4} 

e) S = {x G IR i — < x < ~} 

4 2 

f) S = IR - { 1 } 

g) S = IR 

h) S = { | } 

i) S - IR 

j) S = IR 

k) S = 0 

l) S = 0 

A.221 a) S = {x G |R I - -| <x< - A ou 0 < x < A } 

b) S = {x G |R | 1 x ^ A- ou 2 ^ x ^ A } 

c) S = {x G IR I -2 < x < 3 e x =£ 1 } 

d) S = {x € IR I x = -3 ou 1 < x < 2} 

e) S= {xG IR i -1 <x<1 ou x > 2} 

f) S = {x G |R | x < 3} 

A.222 a) P, (5, 0) e P 2 (- A, 0) 

b) S = {x G IR | - A < x < 5} 

A.224 a) S = {x G |R I x < - — ou -l<x<1 ou x>2} 

4 2 

b) S = {x G |R I x < -2 ou " J < x ^ ^ ou x > y } 

c) S = {x G IR I x < -3 ou x^O} 

d) S = {x G IR | -2 < x < 1 ou x > 

2 3 s 

e) S = {x G IR I -1 < x <2 ou 3 ^ x <C 5} 

f) s = {x e |R | -2 < x < - — OU 4 <X<-1} 

2 4 3 

g) S = {x G IR | -4 ^ x ^ - — ou 1 <x< A} 

4 2 

h) S = {x G |R | x > 0 } 

A.225 a) S= {xGIR | 4<x <6} 

b) S = {x € IR 1 -3 < x < -2} 

c) S = {x G IR | -1 < x ^ 1 ou 2 ^ x ^ 4} 

d) S = {x G ]R | -3 < X < - 1 } 

e) S = {x G IR 1 -1 <x <0} f) S = 0 


246-A 


A.226 a) 

S = {x G |R I 

x < -2 

ou X > 3 } 


b) 

S = {x G iR | 

1 -5 < x 

<- 3 } 


c) 

S A{ x G |R | 

- — < X < A ou X > A } 

2 2 2 


d) 

s = } 




A.228 a) 

S = {x G IR | 

1-3 ^ x 

^ -1 OU 1 ^ X ^ 3 } 


b) 

S = {x G |R | 

x < -2 

OU X > 2 } 


c) 

S = {x G IR | 

-1 < X 

< 1 } 


d) 

S = 0 




e) 

S = {x G |R | 

X <-1 

OU X > 2 } 


f) 

S = IR 




A.229 a) 

\ 9 
m — 

4 


b) m ^ A 

4 

c) 0 <C m 4 

d) ^ m G IR 


e) G IR 

f) 1 < m - 

3 

g) 

m ^ -2 


h) m 3 

i) m <C -2 

i> 

m ^ 1 




A.231 a) 

-2 < m <2 


b) m <C 1 


c) 

^ 3 

m <. - — 

4 


d) -1 < m < 2 


A.233 a) 

0 < m < - 
9 


b) m > 1 


c) 

-2 < m <0 


d) -3 < m < 1 e 

m ^ -1 

A. 234 m 

<-1 





A.235 *2 < m < 2 

A.237 m<i ou 3 < m < A 
2 2 

A.238 m < ~ 2 ^ 

3 

A.239 m < -5 

A.240 -5 < m < -1 

A.241 1 < m < 4 

A.242 - A < m < -1 
2 

A. 243 0 < m < 1 
2 

A. 244 m < A e m^O ou m > 3 
2 

A.245 m > 1 
A.246 - V2 < m < -1 
A.247 -1 <m <2 
A.248 m > 1 

A.249 m < -2 ou 2 < m < 3 

A.250 - A < m < 0 ou m > 2 
4 

247-A 















HiSlHBB 
































A.268 a) S = {l, -5> 

b) S = {l , - 1} 

0 S-{|} 

4 

d) S = 0 

e) S = 1-1, 1, 2, 4} 

f) S = {- — , - , 2, 3} 

2 2 

g) s = {i, 3} 

A.269 a) S = {- - , - 1 } 

2 4 J 

b) S = {2, - 1 } 

c) S = {-6, -1, 1, 4} 



A.270 a) S = { — } 

b) S = 0 3 

c) S = {4, 2.} 

d) S = {-13, -6} 

e) S={x6lR |x^|} f) S = {x G |R | x >-} 

3 3 


A. 271 a) 

s = {x e IR 1 - — < x < 2 } 

b) 

S = {x G IR 

1 1 < x < 2} 

c) 

s = {x e ir 

1 - J- <x < 3 } 

3 

d) 

s = {- f} 


e) 

S = 0 


f) 

S = {x € IR 

1 x <C -1 ou x > 2 } 

g) 

s = {x e ir 

1 x < - — ou x ^ 0 } 

5 

h) 

s * {x e ir 

1 X ^ — OU X ^ 1 } 



3 

\) 

S = {x €E IR 

lx*f} 

j) 

S = IR 


k) 

S = {x G IR 

1 -2 ^ x 0 ou 2 x ^ 4 } 

A.272 a) 

S = {x G |R 

1 1 < x < 2 ou 3 < x < 4 } 

b) 

S = {x G IR 

1 x < -2 ou -1 x <C 2 ou 

c) 

S * {x G IR 

1x^-1 ou 2 ^ x ^ 3 ou 

d) 

S = {x G |R 

1 -2 ^ x < 1 ou 2 ^ x ^ 5 } 

e) 

S = {x G |R 

|.l<x<|e 

f) 

S = {x G IR 

l X ^ 1 OU X ^ 1 } 

g) 

S = {x G IR 

1 x < -3 ou -1 < x < 1 ou 

h) 

S = {x € |R 

1x^-3 ou -l^x^O ou 

i) 

S = {x G |R 

1 -3 x ^ 0 ou 1 ^ x ^ 4 } 

A.274 a) 

S = {x G IR 

1 x > 3} 

b) 

S = {x G IR 

1 x <5} 

c) 

S « {x G IR 

1 -1 <x <l} 

EC ' 

II 

£ 

& 


e) 

S = 0 


f) 

S = {x G IR 

1 3 < x <6} 

9) 

S = {x G IR 

1 4 < x < 6} 

A.275 S 

= {x e ir 1 1 

< x <4} 

A.277 a) 

S = {x G |R 

1 x < -5 ou 1 < x < 5} ** 

b) 

S = {x G IR 

t x < -2 ou x > 0 } 

c) 

S = {x G |R 

1x^-5 ou -3 <5 x ^ 7 } 

d) 

S = (x G |R 

1 -3 <x < -11} 



3 

e) 

S = {x G IR 

1 x <C -2 ou x > 4 } 

f) 

S = {x G |R 

1x^0 ou x ^ 3 } 

g) 

S = 0 


A.278 S 

® {x G IR lx 

^0 ou x > 6} 


x > 3} 
x ^ 6} 


x > 3} 
x > 2} 


254-A 


255-A 












CAP I TU LO X 


A.290 a) (fOg) (x) - 4x 2 - 2x - 2 
(gOf) (x) = 5 + 2x - 2x 2 

b) (fOg) (-2) = 18, (gOf) (-2) =- 7 

V O 3 

c) x = 2 ou x = - — 

A.291 (fOg) (x) = x 4 - 6x 2 + 6 

(gOf) (x) = x 4 - 8x 3 + 18x 2 - 8x 
A.292 (fOg) (x) = 2, (gof) (x) = 5 
A.293 a) (fOg) (x) = x 2 - 6x + 11 

b) (gOf) (x) = x 2 - 1 

c) (fOf) (x) = x 4 + 4x 2 4. 6 

d) (gOg) (x) » x * 6 

A.294 f(-x) * -x 3 - 3x 2 - 2x - 1 



f(x - 1) = x 3 - 6x 2 + 11x - 7 
A.295 a = 1 

A.299a) D(fog) = {x GlR | x <ou x>2} 

b) D(gOf) = {x Gfi | x ^ 1 } 

A.300a) D(fOg) = IR - {- ~ } 

,, . . . 2x + 4 

(f ° g ) (x)=^ TT 

b) D(gOf) = IR - {2} 

(gof) (x) = 5 * ~ * 

A.301 [(hOg)of] (x) = 12x 2 + 12x + 2 

A.302 [ho(gof)](x) = 2x 2 - 2x + 7 

x 2 — 2x — 4 
A.304 g (x) = --^—- 

x 2 + 2x - 1 
A.306 f (x) = —- - - - 

A.307 f(x) = + ~~ para x ^ 1 

X - i 

A.309 [ 4x 2 + 4x se x ^ - -J- 

(fog) (x) = J 2 

|^4x + 3 se x < - -j- 

/ zv / \ / 2x 2 - 8x + 9 se x > 2 

(gof) (x) = < ^ 

^4x - 3 se x < 2 


260-A 



A.311 

fog(x) = 


{ 4x + 1 se x > 2 

1 - 4x 2 se -1 ^ x < 1 

x 4 + x 2 se x < -1 ou 1 < x < 2 


P 4x - 2 se x>|- 

gof(x) = < -16x 2 + 24x - 8 se 0 < x < — 

[x J - 3x + 3 se x <0 

A.312 . f x 2 + 3x - 1 se x >-1 

,(X) - 1 2* + 9 se x < -1 

A.313a) injetora b) sobrejetora d) bijetora e) nao e injetora e nem sobrejetora 
A.314 a) injetora b> bijetora c) sobrejetora d) nao e injetora e nem sobrejetora 

A.315a) III b) IV c) II ( d) I 

e) It f) III g) III h) II 

A.316 b - 2 

A.317 a =4 

4 

A.318a) III b) II c) I 

d) II e) II f) II 

A.320 As funpoes I a e lg sao iguais se e somente se A = B 
A.321 m < n, m^n, m = n .. 

A.322 12 

A.323 6 

A.324 



gof naj 6 injetora nem sobrejetora. 


261-A 



A.326 a) f-l(x) = —— 
2 

c) h -1 {x> = x - : 


e) q (x) = x 3 - 2 
g) s -1 (x) - ^77^ 


, i -1 / v 3x + 1 

b) g <x) - —-- 

cf) p J = 1 + ^ x - 

f) r 1 (x) = (x + I) 3 


A.327 Nao, pois f nao e injetora, por exemplo: f (-1) = f(1) =_ 1, e portanto f nao e bijetora. 


A.329 a) f" 1 : IR + -> IR + 

f -1 (x) -- 

c) f- 1 ; 1R_ -► A 

f- 1 (x) = 2 - 

e) f-l : B -* tR_ 

f-Mx) = - \Ax - 1 

g) f-i : B -> IR_ 

f" 1 (x) « - V x + 1 


b) f-i : |R + -> A 

f-1 (x) = 1 - \/~x 

d) f“* : IR_ -► A 

f-i (x) = -1 - \/-x 

f) f" 1 : B - —» IR + 

f” 1 (x) i.. V 4 - x 


A.381 a) f" 1 : !R - {l } —* |R - { 3 } 


f-l (x) = —~ 
x - 1 


c) f- 1 : IR - {-1 } -> IR - { 3 } 

f->(x) = 3x + * 


e) M : IR - {4} —■> IR * 

f'Mx) =- — 

x - 4 

A.333 Eo \Z~V7 pois f" 1 { y/~V7 ) = 3, 

f(3) = \Tn 
A.335 a> f- 1 : B-* A 

f-l(x) » 1 + sj X + 1 

c) f- 1 : B - > A 

f" 1 (x) = 2 - V x + 1 


b) f- 1 : IR - {2} —*■ IR - {-1 } 


d) f-l : IR - HR - {|} 

f) f’ 1 : IR - {3} —» IR - {3} 

f-i(x) = — + l 


b) f- 1 : B-> A 

f-i(x) - -1 + V x - 1 

d) f* 1 : B -> A 


f-Mx) = 


3 + V 4x + 1 


e> f - 1 : B-* A 

f” 1 (x) = 2 + V 9 - x 

g) f- 1 : B-» A 


f-i(x) = 


5 + V 8x + 9 


f) f-l : B -> A 

f-Mx) = - 1 - 


A.337 a) 


| 5 3 * se X < 8 

f " 1 (x) = 1 4 - x se X >8 



























A.343a) (gof) -1 MR 
(gof)~Mx) s= 


—> IR 
x + 2 


12 

c) (gof)* 1 : C —HR + 
(gof) _1 (x) = V 4 - x 

e) (gof) -1 : C 


b) (gof) -1 MR -HR 

(gof) _1 (x) = ~ 

d) (gof) -1 : IR+ —> A 

/ 3 + y/~x 

(gof) Mx) = --- 


(gof) -1 (x) = V x 2 - 3 

^.344 Nao, pois g nao 6 injetora, por exemplo: g(-1) =g(1) = 0, portanto gof nao e 
bijetora. 


A.345 [ho(gof)] -1 : B -► A_ 

[ho(gof)] -1 (x) = -— ^ + - 

A.347 a) S = {6} 

c) S = {1,4} 

e) S = {0, -j-} 

g) S = {13} 
i) S = {3, 4} 

k) S = {0} 


b) S = {-4} 
d) S = { 

f) S = [77] 

h) S = {3} 
j) S = {4} 

I) S = {1} 


V"33 

4 


7 - 1 


m) S = 0 


O) S . {f} 


A:348 S = {5} 

A.349 S = 0 

A.351 a) S = {4, 9} 

c) S = 0 


e) S = {l, ^25 } 
g) S = {16} 


■' 8 Mi. 


A.353a) S = {-2. - j-} 
•S 


c) S = {4, -3, 

d) S = 0 


1 + 


A.354 S - {0, 1, 4} 
A.356a) S = {64} 

d) S = {34} 

A.357a) S = {o, 4> 
d) S = {l, 17} 


n) S = {0, J-} 


p) s = {0, 2} 


b> S . {|} 


d) S = (4 + 2 \/~3 } 
f) S = {1} 
h) S = {81} 


j) S 




b) S = { 5, -1} 


V29 1 - V29 


b) S = 0 


0 S . 


•) S = 


b) S = {2} 
e) S = {8} 


f) S = {40} 
c) S = {2, 6} 
f) S = 0 


g) S = { 


nT 5 ' 

A.358a) S = {6} 
d) S - -T3} 




} 


{—} 

1 11 ; 


b) S 
e) S = {3a} 


c) S = {4} 





A.360 a) 

s = {3} 

b) S = 

{19} 



c) S = 

{2} 

d) 

S = {3} 






A.361 a) 

S =, {3} 

b) S = 




c) S = 

{3, 4} 

d) 

S = {4} 







A.363 a) 

S = { 1 } 

b) S = 




c) S = 

{2} 

A.364 

s = { 1 } 







A.365 

s.{f} 







A.366 

S = {0} 







A.367 

a ^ b =—> 

' S = {a} 







a b — -> 

S = {b} 






A.368 

s = {f} 







A.369 

a * b = 0 = 

==> S = IR + 







a > b > 0 = 

c / (a - b) 2 i 

S = i 4b > 






a < b ou 

b = o —=> S : 

= 0 





A.370 a) 

b > 1 --> ; 

S , { 2a ^ } 

1 b + 1 J 

b) 

a = 

b => S 

= {x G|R | X >a) 





a ^ b ==> S 

= {a + 

b} 

c) 

b a => 

s - { 2a2b ) 

5 ~ 1 a 2 + b 2 * 




A.371 

a < 0 e 

1 b| > lal ==> S 

= (o. 

5a 2 - b 2 1 

4a J ‘ 



A.372a) 

S = {(9, 4), 

(4, 9)} 

b) 

S = 

{(10 + 4 

y/1. 

10 - 4V6)} 

c) 

S = {(2, 8), 

(8, 2)} 

d) 

S = 

{(9. 4). 

(4, 9)} 


A.373 a) 

S = {(4, 2), 

<-l. ii} 

2 ' 12 1 

b) 

{<- 

4, 6)} 



A.375a) 

S = {2} 


b) 

S = 

W 



c) 

S ={-16} 


d) 

s = 

{4, -3} 



e) 

s-t-T' 

3} 

f) 

s = 

{4 + n/T, 4 - 

V3 } 

g) 

s - {o} 


h) 

s = 

{0, 

VT 

4 

3 -\/~3 •, 

4 1 

i) 

S - {°. { 

, 

2 5 

J> 

s = 

- {0 -3, 




A.376 

A.378 

A.379 

A.380 
A.382 

A.383 

A 384 
A.385 
A.387 a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

A.388 a) 

c) 

e) 

f) 

g> 

h) 

i) 

A.390 a) 

c) 

d) 

e) 

f) 

g) 


s = 0 


S = {-2. 7} 


S = { 1, y, 2} 


S = {l, 2, 10} 

S = {o} 

s-{^. -#} 


S ~<T> 

S = {(8, 64), (64, 8)} 

S - {x €|R ||- < x <2} 

S = {x eiR I <x<2} 


S = {x GIR l -2 < x <-1 ou 2<x<3} 

1 2 

S = { x G |R | - y ^ x ^ y ou 

1 <x<2} 

S =0 


S = {xG|R[l<X<y} 

b) S = {x G|R | x >4} 

S - {x G|R I x >8} 

d) S = {x G|R | x >l} 

S = {xG|R|-1<x< 2 

} 

S = {x G|R | 2 < x < 3} 

S = {xG|R|x>l} 


S = {x G[R | -1 < x ^ - y ou 

3 < x < 12} 

S={ .6 IR | ,t / ¥ <x< 1 

o 

ou x>2} 

S = {xG|R|x>1l} 

b) S = {x G|R | x s>-2} 


S = {x G|R | x > 

S = {xG|R|x<-^- ou x >3} 

S = {x G IR 1 x < 1 - V3~ ou x > 1 + \f~3 } 
S = {xG|R|-4<x< —} 

s =0 


266-A 


267-A 



A.391 a) S = {x GlR I 1 < x <2} b> S = {x G IR I x < 2 } 

c) S = {x £ IR I x 2 - \Z~6 } d) S = {x €: IR I x < -ou x > 2} 

e) S = {x G IR i x < 1} 

f) S = {x GlR j x < -2 - 2 V ~2 ou -2 + 2 \/T<x< — 3 - -} 

g) S = 0 h) S = IR 

i) S = {x eiR t -1 < X < 2 } j) S = {x GlR I-y < x < 2 } 

A.393a) S = {xG|R|--?-<x<0 ou x>3} 

5 

b) S = {x €|R I -6 < X <0 ou 3<x<4} 

c) S = {x6|R|0<x<2} 

d) S = {x €tR |-| < x < 2} 

A.395a) S = {x €|R t x > } 

b) S = {x G|R l < x <5} 

c) S = {x 6 lR I 3 <x < 13 + N ^ - } 

4 

d) S = {x EIR I -2 ^ x ^ y ou 3 ^ x ^ 4 } 

e) S = {x G|R I x <2 - VT ou x>3 + \A2} 

f) S = {x eiR | 2 < x <3} 

g) S = 0 

h) S = IR 

A.396a) S = {x G|R I ~ 5 + < * < 1 } 

b) S = {x eiR |_ - 3 -V^5~ < x <1 j 

A.397 a) S = {x(E|R|-l<x<l} 
b) S = {x G|R I x > l} 

A.399a) S = {x eiR | x >11} 

b) S = {x€|Rjx>4} 

c) S = {x SIR 1 -1 <x < 1 - ^51} 

8 

d) S = {x Gir 1 X <-2 ou -1 <X < zl_ + >^3' } 

6 J 

A.400 s = {x eiR I 1 < X < 3 } 

A.401 S = {x 6|R I <x< 1 ou x>9} 


268-A 


TESTES 


lOgica 

TA.1 (FEI-67) Dadas as premissas: "Todos os corintianos sao fan«iticos" — "Existem fa- 
naticos inteligentes", pode-se tirar a conclusao seguinte: 

a) "existem corintianos inteligentes" b) "todo corintiano 6 inteligente" 

c) "nenhum corintiano 6 inteligente" d) "todo inteligente 6 corintiano" 

e) nao se pode tirar conclusao. 

TA.2 (FEI-66) Dadas as proposigoes: 

(1) toda mulher 6 boa motorista 

(2) nenhum homem 6 bom motorista 

(3) todos os ho mens sao maus motor istas 

(4) pelo menos um homem 6 mau motorista 

(5) todos os homens sao bon$ motoristas 

a negagao de (5) 6 

a) (1) b) (2) c) (3) d) (4) e) nenhuma das anteriores. 

TA.3 (EPUSP-66) Depois de n dias de f6rias, um estudante observa que 

(1) choveu 7 vezes, de manha ou 3 tarde 

(2) quando chove de manha nao chove a tarde 

(3) houve 6 tardes sem chuva 

(4) houve 6 manhas sem chuva 

Entao n 6 igual a: 

a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) nenhuma das respostas anteriores. 

TA.4 {EPUSP-66} Em um baile ha r rapazes e m mogas. Um rapaz danga com 5 mogas, 

um segundo rapaz danga com 6 mogas, e assim sucessivamente. 0 ultimo rapaz danga 

com todas as mogas. Tem-se entao: 

a) r = ^ b) r = m - 5 c) r - m - 4 d) r = m 

b 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.5 (FEI-68) Um teste de Literatura, com 5 alternatives em que uma unica e verdadeira, 
referindo-se a data do nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alter- 
nativas: 

(a) s6culo XIX (b) s4culo XX 

(c) antes de 1860 (d) depois de 1830 

(e) nenhuma das anteriores 

Pode-se garantir que a resposta correta 6: 

a) (a) b) (b) c) (c) d) (d) e) nenhuma das anteriores * 

m 


269-A 



TA.6 (MACK-73) Duas grandezas xe y sao tais que: "se x = 3 entao y = 7". 

Pode-se concluir que 

a) se x 3 entao y 7^ 7 b) se y = 7 entao x = 3 c) se y ^ 7 entao x =£' 

d) se x = 5 entao y = 5 e) nenhuma das conclusoes acima 6 valida 

TA.7 (CESCEM-71) Indique a afirmapao correta: 

a) uma condipao necessaria para que urn numero seja maior do que 2 e que ele sej 
positivo 

b) uma condipao suficiente para que um numero seja maior do que 2 6 que ele sej; 
positivo 

c) uma condipao necessaria e suficiente para que um numero seja maior do que 2 
que ele seja positivo 

d) toda condipao suficiente para que um numero seja positivo e tambem suficienti 
para que ele seja maior do que 2 

e) nenhuma das afirmapoes anteriores e correta 


TA.8 (SANTA CASA-77) Dispoe-se de alguns livros de Ffsica do autor A, outros do autor i 
e outros do autor C. Da mesma forma, temos alguns livros de Qufmica do mesmt 
autor A, outros de B e outros de C. Todos os livros devem ser colocados em dua 
caixas com o seguinte crit^rio: na primeira caixa, deve-se colocar todos os livros qu 
satisfapam a condipao "se for do autor A, entao nao pode ser de Fi'sica". Na segund 
caixa, somente os livros que nao satisfazem a essa proposipao. 

A primeira caixa deve conter exatamente: 


a) todos os livros de 
B e C 

b) todos os livros de 

Qufmica do autor 

c) todos os livros de 

d) todos os livros de 

e) todos os livros de 


Qui'mica do autor A mais todos os livros de Ffsica dos autore 

Fi'sica ou de Qui’mica dos autores B e C mais todos os livros d< 
A 

Ffsica dos autores B e C 

Ffsica do autor A 

Qufmica dos autores A, B e C 


TA.IISendo dado um conjunto A com n elementos indiquemos por a o numero de sub- 
conjuntos de A. Seja B o conjunto que se obt6m acrescentando um novo elemento 
a A e indiquemos por b o numero de subconjuntos de B. Qual a relapao que liga 
a e b? 

a) 2a = b b) a = 2b c) b = a + 1 d) a = b e) n*a = (n + 1)b 

TA.12 (MACK-76) Dado o conjunto C = {o, 1, 2, 3}, o numero de subconjuntos prdprios 
de C 6: 

a) 6 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 


TA.13 (CESCEM-77) Um subconjunto X de numeros naturais cont^m 12 muitiplos de 4, 
7 muitiplos de 6, 5 muitiplos de 12 e 8 numeros fmpares. O numero de elementos 
de X e: 

a) 32 b) 27 c) 24 d) 22 e) 20 

TA.14 (MACjjC-69) Sendo A = {{l}, { 2 }, {l, 2}} pode-se afirmar que 

a) {l}£A b) {l} C A c) {l}D{2}0A 

d) 2 E A e) {l } U { 2 } E A 

TA.15(GV-72) Sejam A, B e C trfis conjuntos nao vazios e consideremos os diagramas: 






CONJUNTOS 

TA.9 (MACK-73) Seja o conjunto A = {3, { 3 }} e as proposipoes: 

1 ) 3EA 2) { 3 } C A 3) {3}EA 

entao: 

a) apenas as proposipoes 1) e 2) sao verdadeiras 

b) apenas as proposipoes 2) e 3) sao verdadeiras 

c) apenas as proposipoes 1) e 3) sao verdadeiras 

d) todas as proposipSes sao verdadeiras 

e) nenhuma proposipao 6 verdadeira 

TA.10 (CESCEM-77) Sendo A = {0; a; {b}}, com {b} ^ a ¥= b entao: 

a) {0, {b}}CA b) { 0 , b } C A c) {0,{a})CA 

d) {a, b} C A e) {{a}, {b}} C A 


e as denominapoes 

I) A C B, C <£ B, AflC#0 III) A C (B DC), B C C, C^B, A j=C 

II) A C B, C C B, APlC = 0 IV) A H C = 0, A=£C, BOC = 0 

entao as associapoes corretas sao: 

a) (1, IV), (2, III) b) (1, I), (4, III) c) (2, II), (3, IV) 

d) (4, III), (1, II) e) (3, IV), (1, I) 

TA.16 (PUC-74) A e B sao subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos de A 
que pertencem ao conjunto B. Entao, pode-se afirmar: 

a) A 6 subconjunto de B b) B 6 subconjunto de A c) A e B sao disjuntos 

d) A D B ^ 0 e) nenhuma das anteriores. 

TA.17 (PUC-76) Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, entao 6 verdade que: 

a) A^B=>ACB bJA^B^A^B c) (A O B) C (B - A) 

d) (AOB)U(B-A)=B e) A = B =>A flB ^A UB 


270-A 


271-A 




TA.18 (MACK-74) Sabe-se que AUBUC={nGN |l <n<10}, AflB = {2,3,8. 
A n C = { 2 , ?}, BflC= {2, 5, 6} e A U B = {n G N | 1 < n < 8}. 

O conjunio C 

a) {9. 10} b) {5, 6, 9, 10} c) {2, 5, 6, 7, 9, 10} 

d) {2, 5, 6, 7} e) A UB 

TA.19 (MACK-74) Dentre as seguintes afirmagdes: 


TA.25 (GV-76) De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um piano de 
assistencia m£dica. A firma tem a matriz na Capital e somente duas filiais, uma em 
Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos 
empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo-se que 20% dos empregados da 
Capital optaram pelo piano de assistencia m6dica e que 35% dos empregados da filial 
de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que 
optaram pelo piano? 

a) 47% b) 32% c) 38% d) 40% e) 29% 


I) AUB = AUC => B = C 

II) AUB = AUC =>bCc 

III) AUB = AUC =>bC\c¥=0 

a) todas sao verdadeiras 

b) todas sao falsas 

c) so I e 11 s3o verdadeiras 

d) sd 11 6 verdadeira 

e) s6 I 6 falsa 

TA.20 (GV-70) A parte hachuradas no gr^fico, representa: 

a) Afl(BUC) 

b) (A D B) UC 

c) (AUB)OC 

d) A U (B OC) 

e) nenhuma das respostas anteriores. 

TA.21 (CESCRANRIO-76) Sejam A = (- 00 , 2 ] e B = [ 0 , +<») intervalos de numeros reais 
Entao A P) B 6: 

a) {l} b) (-«>,o] c) vazio d) {o. 1, 2 } e) [o, 2 ]. 

TA.22 (PUC-76) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, C con 
4 elementos; entao: 

a) A O B tem no maximo 1 elemento 

b) A UC tem no maximo 5 elementos 

c) (A n B) n C tem no maximo 2 elementos 

d) (A U B) H C tem no maximo 2 elementos 

e) A C)0 tem 2 elementos pelo menos 

TA.23 (CESGR AN RIO-76) Em uma universidade sao lidos dois jornais A e B; exatament 
80% dos aiunos leem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno 6 leito 
de pelo menos um dos jornais, o percentual de aiunos que leem ambos 6: 

a) 48% b) 140% c) 60% d) 80% e) 40% 

TA.24 (CESCEA-68) Foi realizada uma pesquisa numa industria X tendo sido feitas a seu 
operSrios apenas duas perguntas. Dos operarios, 92 responderam sim a primeira 
80 responderam sim a segunda, 35 responderam sim a ambas e 33 nao responderam a 
perguntas feitas. Pode-se concluir entao que o numero de operarios da industria £ 

a) 170 b) 172 c) 205 d) 174 e) 240 



TA.26 (CESCEA-69) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}o 
conjunto (A - C) U (C - B) U (A O B D C) 6 

a) {a, b, c, e} b) {a, c,e} c) A d) {b,d, e} e) {b, c ( d, e} 

TA.27 (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {l, 2, -1, 0, 4, 3. 5} e B = {-1,4, 2, 0, 5, 7} 
assinale a afirmagao verdadeira: 

a) A U B = {2, 4, 0, -1} b) Afl(B-A) =0 

c) A flB = {-1,4, 2, 0, 5, 7, 3} d) (A U B) D A = {-1, o} 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.28 (CESCEA-73) Sejam R o conjunto dos ntimeros reais, e 
A = {xG IR I -1 <x <2}, 

B = (x G |R |-2 <x<4}, 

C = {xGIR | - 5 < x < 0}. 

Assinale dentre as afirmagdes abaixo a correta: 

a) (A n B) U c = {x e |R 1 -2 < x < 2 } 

b) C-B = {xER|-5<x<-2} 

c) A - (B He) = {x ^ IR I -1 ^x ^ 0 } 

d) A U B U C = {x G IR | -5 < x < 2} 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.29 (PUC-75) Sendo A = {x G IR [ -1 < x < 3 } e B = {x G |R | 2 < x < 5 }, entao: 

a) AHB = {xE|R|2^x^3} 

b) A U B = {x G |R | -1 < x < 5} 

c) A-B={xGlR|-1<x<2} 

d) B - A = {x G |R | 3 <x <5} 

e) 0 a B = {xG |R | -1 < x <2} 

TA.30 (CV-74) Considere os conjuntos dados 
no grafico. Apenas uma das afirmagoes 
e verdadeira. Qual? 

a) AUB=S b) A n¥= ¥ 
c) A H B = 0 d) A C B 
e) AHB = B 



Z72-A 


273-A 





TA.31 (GV-75) Considere a parte hachurada nos diagramas, onde A e B sao subconjuntos de S 



considere as denominacoes: 

a) B - A b) A U B cl AOB d) A O B e) B 

As associacoes corretas estao na alternativa: 

a) (1, d), (4, b), (5, e) b) (3, a), (2, e), (5, c) c) (3, a), (2, c), (5. d) 

d) (1, c), (4, b), (2, e) e) (3, d), (4, b), (2, a) 

TA.32 (GV-76) Denotando-se por x' o complementar de um conjunto qualquer x, entao 

qualquer que sejam P e Q, o conjunto [P' U(POQ)] e igual a: 

a) P' O Q b) PUQ' c) POO’ d) P' U Q e) J0(conjunto vazio) 

TA.33 (PUC-77) Sabendo-se que: A e B sao subconjuntos de U, A = {e, f, g, h, i} 
A n B - (c, d}, A U B - {a, b, c, d, e, f}, entao: 

Observacao: A: complementar de A em relacao a U. 

a) A tern 2 elementos e B tern 4 elementos 

b) A tem 4 elementos e B tern 2 elementos 

c) A tem 3 elementos e B tem 3 elementos 

d) A tem 4 elementos e B tem 4 elementos 

e) A tem 1 elemento e B tem 5 elementos 

TA.34 (MACK-75) Dados M, N e P, subconjuntos nao vazios de E, e as afirmacoes: 

I) MUN-M«=>NCM; 

II) M D N - M <=> M L N; 

III) (P C M e P C N) <=> P C(M D N); 

IV) MCn«MO [ e N,0; 

V) M C N <=> N U M = E; 

entao o numero de afirmacoes corretas e: 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 

CONJUNTOS NUMERICOS 

TA.35 (CESGR AN RIO-77) A intersecpao dos tres conjuntos 
|R n c, IDinZiUC e N U (7 n C) 
e: 

a) W b) 0 c) (Q d) IR e) 2 

274-A 


TA.36 (FUVEST-77) Em um teste de cinco alternatives, com uma unica correta, as alternativas 
eram : 

A) Racional B) Irracional C) Inteiro D) Real E) Complexo 

A alternativa correta era: 

a) A b) B cl C d) D e) E 

TA.37 (CESCEA-681 Se n e m sao numeros naturais e se n < m ^ S(n), onde S(n> 6 o 
sucessor de n, entao, e sempre verdade que: 

a) m - n ou m - S(n) b) m < n c) m > n t 1 

d) n <! m e) m = n e m ^ S(n) 

TA.38 (CESCEA-68) Quaisquer que sejam m, n e p de 2 tem-se: 

a) n *0 2 b) p *0 => £m... + . p ? E z 

n p 

v , „ p m + m n _ m + n 

c) p ^ 0 - - ^2 d)-6 Zse e somente se 

P p 

e) (m + n) p - m p + n p p^Oep^m+n 

TA.39 (CESGR AN R10-76) Seja H o conjunto {n £ N I 2 ^ n =^40, n multiplo de 2, 
n nao-multiplo de 3}. O numero de elementos de H e 

a) 12 bl 14 c) 7 d) 13 e) 6 

TA.40 (FUVEST-77) Sejam a e b numeros naturais e p um numero primo. 

a) se p divide a 2 + b“ e p divide a, entao p divide b 

b) se p divide ab, entao p divide aep divide b 

c) se p divide a + b, entao p divide aep divide b 

d) se a divide p, entao a e primo 

e) se a divide b e p divide b, entao p divide a 

TA.41 (PUC-69) O menor numero inteiro positivo x para que 2940x = M 3 onde M 6 um in¬ 
teiro e: 

a) 2040 b) 1960 c) 3150 d) 2060 e) nada disso 

TA.42 (EPUSP-66) Se a 2 e x forem numeros reais tais que x < a < 0, entao 

a) x < ax < 0 b) x 2 > ax > a 2 c) x 2 < a 2 < 0 

d) x 2 > ax mas ax < 0 e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.43 (CESCEA-75) Assmalar dentre as afirmacoes seguintes a correta, quaisquer que sejam os 
numeros reais A, B e C com A 9^0, B 9^ D, C 9^0. 

a) ^ ^ C => A > BC b) A > B =► £ > V 

B B 

C) AB > c => ABC > C 2 d) 7 T < B =* < - 1 se B < 0 

C I D I C 

AB 

e) AB > C =» TcT ^ " 1 Se C< ° 


275-A 



TA.44 (GV-73) Sejam a, bee nGmeros reais quaisquer. Assinale a afirmagao verdadeira. 

a) a > b <=> a 2 > b 2 b) a > b <=> ac > be 

c) Va 2 + b 2 ^ a 

d) ———r- = —+-£- e) a 2 = b 2 <=> a = b 

a + b a b 

TA.45 (PUC-70) Sendo a e b numeros reais quaisquer e m um real diferente de zero, entao: 

a) a > b e am > bm entao m = 1 

b) a ^ b e am < bm entao m <0 

c) a ^ b e am ^ bm entao m > 1 

d) a < b e am < bm entao m < 0 

e) nenhuma das respostas anteriores 6 correta. 

TA.46 (FEI- 68 ) A desigualdade — + ~ > 2 se verifica 

y * 

a) quaisquer que sejam os reais x e y b) parax #0 

c) para quaisquer x e y de mesmo sinai d) para quaisquer x e y de sinais contrSrios 

e) nenhuma das anteriores. 

TA.47 (CESCEM- 66 ) A desigualdade (x + y ) 2 > x 2 + y 2 , sendo x e y diferentes de zer 

a) 6 sempre verdadeira 

b) s 6 6 verdadeira se x e y forem positives 

c) so 6 verdadeira se x e y forem negativos 

d) so 6 verdadeira se x e y tiverem o mesmo sinai 

e) s 6 6 verdadeira se x e y tiverem sinais contrSrios 

TA.48 (EPUSP- 66 ) O numero x nao pertence ao intervalo aberto de extremes -1 e 2. Sabe-s 
que x <0 ou x >3. Pode-se entao concluir que: 

a) x <-1 ou x >3 b) x> 2 | ou x <0 c) x > 2 ou x <-1 

d) x > 3 e) nenhuma das respostas anteriores. 

TA.49 (PUC-76) Se A = {nln = 2p - 1 e p Gb}, entao 

a) n § um numero natural impar se B = JR 

b) n 6 um numero natural impar Vp ^ B 

c) n 6 um nGmero natural impar se e somente se B = Z 

d) n 6 um nGmero natural impar se e somente se B = N 

e) n 6 um nGmero natural impar se e somente se B = N* 

TA.50 (FUVEST-77) Assinale a correta: 

a) 0,5999 ... < - 7 =-— <4 b) 0,5999... < 

s /5 + 1 3 . V 5 + 1 

c) <0,5999... <-| d > -F 2 — <T <0 ' 5999 ' 

V£+1 3 V5+1 

e) — < 2 — < 0,5999... 

3 V5 + 1 


276-A 


TA.51 (CESGRANRIO-77) Considere a expressao 


0,999.. . + 


Efetuando as operagoes indicadas e simplificando, obtemos: 


b) 2 c) 


TA.52 (CESCEA-67) Dados abaixo grupos de dois nGmeros reais, expressos decimalmente, 
qual dentre eles 6 constitufdo somente de nGmeros racionais? 

a) 1,000...0... e 790,0721721...721... 

b) 0,010010001... e 3,590888...8... 

c) 68,01002000300004... e 1,30892...892... 

d) 447,50047047...047... e 37,101112131415161718... 

e) nada disso 

TA.53 (CESCEA-68) Designemos por A o conjunto de todos os nGmeros reais da forma , 

b 

com a e b inteiros nao negativos e b^0. Se ■ e sao dois elementos quaisquer de A 

b d 

tem-se que: 


"i - A 


b) — + — G A see somente se a = c 
b d 


d) -r- + ~ e A 


e) — = — se e somente se b = d • 
b d 

TA.54 (PUC-74) Um nGmero racional qualquer: 

a) tern sempre um nGmero finito de ordens (casas) decimais 

b) tern sempre um numero infinito de ordens (casas) decimais 

c) nao pode expressar-se na forma decimal exata 

d) nunca se expressa na forma de uma decimal inexata 

e) nenhuma das anteriores 

TA.55 (CESCEM-70) Assinalar a afirmagao falsa: 

a) a soma de dois numeros irracionais pode ser racional 

b) a soma de um racional com um irracional 6 sempre irracional 

c) o inverso de um irracional 6 sempre irracional 

d) o produto de dois irracionais 6 sempre irracional 

e) a raiz quadrada positiva de um numero irracional positivo § sempre irracional 


TA.56 (GV-74) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: 

a) x • y 6 irracional b) y * y e irracional c) x + y 6 racional 
d) x - y + \f2 e irracional e) x + 2y 6 irracional 


277-A 



TA.57 (CESCEM-71) Dada uma sequencia de numeros positivos aj, a 2 , ...» a n um algoritr 

utili 2 ado em computadores eletronicos para saber se algum dos elementos da sequent 

6 um quadrado perfeito e o seguinte: 

1. Construir uma nova sequencia bj, b 2 .b n , obtida da primeira pela extrapao da n 

quadrada de cada um de seus elementos. 

2. Construir uma nova sequencia cj, c 2 , c n , a partir da anterior, onde cada Cj e 
menor inteiro contido em bj. 

3. Construir a sequencia dj, d 2 ,..., d n , obtida da anterior eievando-se os elementos Cj 
quadrado. 

4. Comparar os elementos da sequencia dj com os respectivos da sequencia aj. Os c 
forem iguais sab quadrados perfeitos, 

Nestas condipoes, dadas as sequencias abaixo 


a i 

a i 

a 2 

a 3 

bj 

2,71 

4 

b3 

Cj : 

2 

c 2 

531 

dj : 

4 

d 2 

271961 


os dados sao suficientes para afirmar que: 

a) a 2 6 quadrado perfeito 

b) a 3 6 quadrado perfeito 

c) somente a 2 6 quadrado perfeito 

d) somente a 3 6 quadrado perfeito 

e) nem ai nem a 3 sao quadrados perfeitos 

TA.58 (MACK-74) Os numeros reais x e y sao tais que x > 1 > y. Sejam S = x + 
e P = xy. Nessas condipoes: 

a) S >P 

b) P >S 

c) S pode ser maior, igual ou menor que P 

d) S pode ser maior ou menor, mas nunca igual a P 

e) nenhuma das anteriores. 

TA.59 (FCESP-74) O numero real r que nao pode ser escrito sob a forma r = X + ^ x real « 

x 

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 

TA.60 (PUC-76) Se X = {x 6 IR I (x + 1) • (x - 1) = x 2 - 1 }, entao 

a) X = IR b) X = IR + c) X = 0 d) 31 x G Rlx e X 
e) X = IR* 

TA.61 (FEI-68) Sendo x um numero real positivo qualquer, tem-se 

a) Vx + Vx = 1 + x para algum x > 0 

b) nTx + Vx < 1 + x para qualquer x > 0 

c) V"x + Vx > 1 + x para qualquer x > 0 

d) Vx + Vx = Vx + \/x, para qualquer x > 0 

e) nenhuma das anteriores. 


RELAQAO BINARIA 


TA.62Se a 6 um numero negativo e b e um numero positivo entao assinale a correta 

a) (a, b) esta no 1? quadrante b) (b, a) esta no 2? quadrante 

c) {b, -a) est<$ no 1? quadrante d) (a, -b) esta no 4? quadrante 

e) (-a, -b) esta no 3? quadrante 

TA-63Se as coordenadas de A e B sao respectivamente (-2, 2) e (-3, -1) entao as coorde- 
nadas de C sao: 

a) (2, -4) 

b) (-4, -2) 

c) (4,-2) 

d) (-4, 2) 

e) (-2,4) 

TA.64 (CESCRANRIO 73) Sendo A = {l ,3} e B = {2 ,4} , o produto cartesiano 
A X B 6 dado por: 

a) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 

b) {(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4)} 

c) {(1, 3), (1, 2), (1, 4), (3, 4)} 

d) {(1, 2), (3, 4)} 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.65 (CESGRANRIO-74) Sejam F = {l, 2, 3. 4} e G = {3, 4, 7>. Entao: 

a) F X G tern 12 elementos b) G X F tern 9 elementos 

c) F U G tern 7 elementos d) F flG tern 3 elementos 

e) (FUG)OF = 0 

TA.66 (UFF-71) Sabendo que A e B sao dois conjuntos tais que: 

1?) (1, 7), (5, 3) sao elementos de A X B 
2?) A D B = {l, 3} 

podemos afirmar com toda seguranpa que: 

a) A X B tern 8 elementos b) A X B tern mais de 8 elementos 

c) A x B tern menos de 8 elementos d) A X B nao pode ter 9 elementos 

e) nada se pode afirmar sobre o numero de elementos de AX B 

TA.67 (CESCEA-73) Sejam os conjuntos A = {l, 2, 3}, B = {a, {a}} e o produto car¬ 
tesiano A x B = { (1, a), (1, {a}),(2, a), (2, {a}),‘(3, a), (3, {a})}. Entre as relapbes 
abaixo, uma e apenas uma, 6 falsa. Assinale-a: 

a) (a)EB e {a} C B b) {(1, a), (1, {a}), (2, a)} C A X B 

c) 0C A X B d) { (a> { a }) < (i, { a })}C A X B 

e) nenhuma das anteriores 



278-A 


279-A 





TA.68 (CESGRAN RIO-73) Dados os conjuntos 

A = {l, |}U{x6R|2<x<3} e B = { x G |R| 1 < x < 2>, 
o grafico de AX B 6 melhor representado por: 


0 , 



(l 

i , 






1 







1 

d 

L - 
> 

1 : 

j 




~1 

| 

1 






1 _3_ 2 
2 
(e 



1 _3_ 2 
2 


1 _3_ 2 3 

2 


1 _3^ 2 3 

2 


TA.69 Com base na representapao cartesiana de A X B abaixo podemos concluir: 

a) A «= B = {l, 2, 3} iy 

b) A = {1,2,3} e B = {x G IR11 < x < 3} 3 "f-J 

c) A = {xSlR[l < x< 3} e B = {1,2,3} 2 "1-j 

d) A = B = {x € IR|1 < x < 3} 1 'j-1 

e) nenhuma das respostas anteriores. \ 2 3 5T 

TA-70 (CESG RAN RIO-73) Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos 
A = {x6zl-1 <x<2} e B={3,4,5>. 

Entao, se D = {(x, y) E A x B| y x + 4}, tem-se que 

a) D = A x B b) D tem dols elementos 

c) D tem urn elemento d) D tem tres elementos 

e) as quatro afirmativas anteriores sao fa Isas 

TA.71 (PUC-77) Sendo E = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, p(y) :y + 1 <6 e 
F = {y G E I y satisfaz p(y)}, tem-se: 

Observapao: F: complementar de F em relapao a E 

a) E = F b) E - F = 0 c) F = (5, 6, 7, 8) d) (E n F) U F = E 

e) F PI 0 = F 

TA.72 (PUC-77) O domrnio da relapao P = {(x, y) G N X N) I y = x - 5} 6: 

a) N b) N* c) IR d) {x^Nlx >6} 

e) {xEn|x ^5} 


280-A 


TA.73 (PUC-76) O dominio da relapao 

f = { (x, y) G IR X |R | y = } <§: 

a) IR+ b) IR* c) IR d) {x G IR e x^2> 

e) {x G |R e x ± 2 } 

FUNQAO 

TA.74 (CESCEM-75) Dizemos que uma relapao entre dois conjuntos A e B 6 uma funpao 
ou aplicapao de A em B quando todo o elemento de: 

a) B 6 imagem de algum elemento em A 

b) B e imagem de um unico elemento de A 

c) A possui somente uma imagem em B 

d) A possui, no mi'nimo, uma imagem em B 

e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa 

TA.75 (CESGRANRIO-77) Seja f : IR—HR uma funpao. 0 conjunto dos pontos de 

intersepao do grafico de f com uma reta vertical. 

a) possui exatamente dois elementos. 

b) e vazio. 

c) e nao enumer^vel 

d) possui, pelo menos, dois elementos. 

e) possui um s6 elemento. 


TA.76 (PUC-75) Qual dos grdficos nao representa uma funpao? 



TA.78 (PUC-77) Se x e y sao elementos do conjunto R, qual das relapoes 6 funpao de x? 

a) {(x, y) I x = y 2 - 1 } b) {(x, y) | x = I y 1} c) {(x, y) I y = Vx - 2 } 

d) {(x, y)*x<y} e) {(x, y) I y = x 2 + 1} 


? 


281-A 




TA.79(GV-72) Os diagramas abaixo definem as fungoes f, g e h de A em A, send< 
A = {1, 2, 3, 4}. 



Sejam M, N, P as imagens das fungoes f, g e h respectivamente. Entao M' UN' UP' 
onde X' = complementar de X, em relagao a A, 6 o conjunto: 

a) A b) {2,3,4} c) (l} 6)0 e) {1,2,3} 


TA.80 (CESCEM-76) Se f : A -► B 6umafu- 
gao e se D C A, chamamos de imagem 
de D pela fungao f ao conjunto ano- 
tado e definido por: 

f < D> = {y EE B | existe x 6D tal que f (x) = y}. 

Se g 6 a fungao de R em R cujo gra- 
fico est£ representado ao lado, entao a 
imagem g < [5; 9] > do intervalo 
fechado [5; 9] 6: 

a) (2; 6) b) [2; 6] c) [3; 6] 



(CESCEM-68) O enunciado abaixo refere-se aos testes 81 e 82 que o seguem:Seja f{x 
uma fungao cujo domfnio 6 o conjunto dos numeros inteiros e que associa a tod 
inteiro par o valor zero e a todo inteiro I'mpar o dobro do valor. 

TA.81 f <- 2) vale: 


a) zero b) nao estS definida c) -f{2) d) -2 e) +2 


TA.82 f (+ \J 4S 2 ), S inteiro, vale: 

a) 2S b) 4S 

e) nenhum dos valores acima. 


c) 2 \/~4S 


d) zero 


TA.83(MACK-77) A fungao f de IR em IR 6 tal que, para todo x E=IR, f(3x) = 3 f (x). 
Se f <9) = 45, entao: 

a) f (D = 5 b) f(1) =6 c) f(1) = 9 

d) f (1) nao pode ser calculado e) nao sei 

(CESCEM-69) O enunciado abaixo refere-se aos testes 84 e 85. Seja f(n) uma 
fungao definida, para todo n inteiro pelas relagoes. 

f f(2) = 2 

\ f<P + q) « f(p) • f(q) 

TA.84 0 valor de f(0> §: 

a) 0 b) 1 c) 2 d) yf~2 

e) nenhuma das respostas anteriores 


282-A 


d) -2 


TA85 0 valor de f (—2) 6: 

a) - ^ b) -i c) 0 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.86 (CESCEM-71) £ dada uma fungao real tal que: 

1. f(x) • f(y) = f(x + y) 2. f(1) = 2 3. f(\/2)*4 

O valor de f(3+\/2”) 6: 

a) (3 + \/2 ) 2 b) 16 c) 24 d) 32 

e) impossfvel de ser determinado pois faltam dados. 

TA.87(FEl-65) Uma fungao f(x), definida no conjunto dos numeros reais, sendo a urn 
numero real determinado, verifica as propriedades: 

f(x) = -f(-x) e f (x + a) = f (x) 

Entao: 

a) f(a + x) = fl-x) b) f(x) = f(a) c) f(2a - x) = -f(-x) 

d) f(2a) = f (a) e) nenhuma das anteriores 6 correta. 

TA.88(CESG RAN RIO-76) Sejam Z o conjunto dos numeros e N = {n£/Z|n ^l}. Con- 
sidere a fungao f : N —definida por f (n) - xi + . . . + x n onde x k = (-1) k , 
para cada k = 1, . . . , n. A imagem da fungao f 6 o conjunto. 

a) {0, 1} b) {0} c) Z d) {-1,0,1} e) {-1, 0} 

FUNQOES DO 19 GRAU 

TA.89 (MACK-75) A fungao f 6 definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e 
f(1) = 1. O valor de f(3) e: 

a) 0 b) 2 c) -5 d) -3 p) -1 

TA.90 (PUC-75) Na fungao f definida por f(x) = ax + b: 

a) o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das abscissas 

b) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas 

c) o coeficiente b determina a inclinagao da reta 

d) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corta o eixo das abscissas 

N e) o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas 

TA91 (PUC-76) A fungao — = x + 1 represents em IR X IR uma reta 

a) paralela a reta de equagao y = x + 3 

b) concorrente a reta de equagao y = 2x + 5 

c) igual a reta de equagao y = x + 2 

d) que intercepts o eixo das ordenadas no ponto (0, 1) 
pf que intercepts o eixo das abscissas no ponto (-1, 0) 


283-A 








TA.92 (MACK-69) O grSfico da aplicagao definida por 
F = {(x, y) G [2, 5] • [2, 5] | y = x} C IR X |R, 
onde [ 2, 5] = {x G IR 1 2 < x < 5} e 

a) um conjunto finito de pontos b) uma reta 

c) uma semi-reta ji) um segmento de reta 

e) nenhuma das respostas acima 6 cor reta 


TA.93 (MACK-76) Examinando o gr6fico da 
fungao f ao lado, que 6 uma reta, po- 
demos concluir: 




se f(x) < 0, entao x > 3 
se x > 2, entao f(x) > f(2) 
se x < 0, entao f(x) 0 


d) se f{x) < 0, entao x < 0 


e) se x > 0, entao f(x) > 0 



TA.94 (EAESP-GV-77) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quar 
tidade que ela consegue vender varia conforme o prego, da seguinte forma: a um prego 

ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equagao y = 50 - 

Sabendo-se que a receita (quantidade vendida vezes o prego de venda) obtida foi 
Cr$ 1.250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de: 

a) 25 unidades b) 50 unidades 

c) 40 unidades d) 35 unidades 

e) 20 unidades 


TA.95 (CESCEA-74) A equagao (m 2 + 1)x-2m + 5 = 0 admite raiz negativa se, e sc 
mente se: 

a) m < b) m > -j- c) m < -7 d) m > gg e) nao sei 

z 2 4 Z 


TA.96 (CESCEA-74) A solugao da inequagao 9(x - 5) < - 4(1 - x) 60 conjunto dos nt 
meros reais x tais que: 

. - 41 .. .41 . . .. . 41 . . 41 

a) x < - — b) x > — c) x > 10 d) x — e)x<^ 


TA.97 (MACK-69) A desigualdade —>06 satisfeita se: 

x + 1 

a) x > 0 b) x > -1 c) x < 0 d) x > -1 

e) nenhuma das respostas acima 6 correta. 

TA.98 (CESGR AN RIO-73) Dada a inequagao (3x - 2) 3 (x - 5) 2 (2 - x)x > 0, tem-se que 
a solugao 6: 

a) {x | x < 2/3 ou 2 < x < 5} b) {x [ 2/3 < x < 2 ou x < O} 
c) 2/3 < x < 2 d) 2/3 < x < 5 

e) diferente das quatro anteriores 


284-A 


X |CN TJ 


TA.99 (CESCEA-75) A solugao do sistema 


3x + 2 < 7 - 2x 

48x < 3x + 10 

11 - 2(x-3) > 1 - 3(x-5) 


6 o conjunto de todos os numeros reais x tais que: 


a) -1 < x < 0 b) -1 < x < 1 

d) -1 < x < ~ e) -1 < x < 


c) -1 < x < 


TA.100(FCESP-74) Seja y = (x - 1) (x - 2) (x - 3); se 1 < x < 2, entao: 

a) y < -2 b) y < 0 c) y = 0 d) y > 2 e) y > 0 

x - 3 

TA.10HPUC-76) O conjunto verdade da inequagao 5 + - >06 dado por: 

a) {x 6 IR e (-5 < x < 3)} 

b) {x G IR e (x < -5) e (x > 3)} 

c) {x E IR e [(x < -5) ou (x > 3)]} 

d) {x ElR e x ^ -5} 

e) {x ElR e [(x < 5) ou (x > 3)]} 


TA.102 (CESCEA-70) O conjunto de todos os x para os quais 



6 um numero real 6: 


a) {x G 1R/-1 < x < 2} b) {x G IR/-1 < x < 2 } 

c) {x G IR / x < - 1 ou x > 2 } d) {x G|R/x < -1 oux > 2} 
e) {x E R/x ^ 2 } 


TA.1G3(PUC-70) O domfnio da fungao y = f(x) 



a)x<-1oux>1 b| -1 < x < 1 

c) x ^ -1 0 x ^ 1 d) -1 < x < 1 

e) x > 0 


TA.104 (GV-72) A solugao da inequagao ~ ~T > 0 6: 

a) x < -1 ou x > 1 b) x < -1 ou 0 < x < 1 

c) -1 ■< x ^ 0 ou x > 1 d) x ^ 0 

e) x =£ -1 ou x =£ 1 

6x 

TA. 105 (MACK-76) O conjunto solugao de - ^ < 5 6: 

a) {x G IR | x > 15 e x < -3} b) {x G IR | x < 15 e x -3> 

c) {x G IR i x > 0} d) {x G IR | -3 < x < 15} 

e) {x GIR |-15 < x < 15} 


285-A 


col K) 



TA.106 (GV-74) Seja D o conjunto dos numeros reais x para os quais -— ^ 4. Entao 

6 o conjunto dos x reais tais que: 

9 

a)x< — e x =£ 2 b) 2 < x < 3 

c)x>2 d) x < 2 ou x > 3 

e) -1 < x < 2 


FUNQAO QUADRATICA 


TA.107 (PUC-76) A funpao quadratics y = (m 2 - 4)x 2 - (m + 2)x - 1 esta definida quando: 

a) m # 4 b) m # 2 

c) m =£ -2 d) m « -2 ou +2 

e) m ±2 

TA.108 (PUC-77) O esbopo do gr^fico da funpao quadratics 



TA109 (CESCEM-76) Sabe-se que o gr£fico ao 
lado represents uma funpao quadratics. 
Esta funpao 6: 



d) x 2 - 2x - 3 

e) x 2 + 2x - 3 



286-A 


TA.110 (MACK-77) Se y = ax 2 + bx + c e a 
equapao da parabola da figura ao lado, 
pode-se afirmar que: 

a) ab < 0 

b) ac > 0 

c) be < 0 

d) b 2 - 4ac ^ 0 

e) nao sei 

TA.111 (PUC-70) O valor maximo da funpao y = ax 2 + bx + c com a ^ 0 e: 

- A b 

a) se a < 0 b) - — se a > 0 c) b 2 - 4ac se a > 0 

d) b 2 - 4ac se a < 0 e) nenhuma das anteriores 6 correta 

TA.112 (CESCEM-72) Considere o gr^fico da funpao y = x 2 - 5x + 6. O ponto do grafico 
de menor ordenada tem coordenadas: 

a) (2,3) b) (3,2) c) (3/2,1) d) (5/2, -1) e) (5/2,-1/4) 

TA.113 (CESCEA-76) A parabola de equapao y =-2x 2 + bx + c passa pelo ponto (1,0) e 
seu vertice e o ponto de coordenadas (3, v). Entao v 6 igual a: 

a) 8 b) 4 c) 6 d) -5 e) 18 

TA.114 (CESCEM-69) Se dois trinomios do 29 grau possuem as mesmas raizes, entao: 

a) eles sao necessariamente iguais 

b) eles assumem necessariamente um mfnimo ou um maximo no mesmo ponto 

c) eles diferem por uma constante 

d) suas concavidades sao de mesmo sentido 

e) nenhuma das anteriores 

TA.115 (PUC-77) O conjunto imagem da funpao f = {(x, y) E IR X |R | y = x 2 -3} 6: 

a) {y I y £ IR e y > 

b) {y I y £ IR e y > -3} 

c) {y | y E |R e y < 3} 

d) {y 1 y E IR e y > 0} 

e) {y I y E IR e y < -3} 

TA.116 (CICE-68) Seja a funpao y = 3x 2 -12 definida no intervalo -4 < x < 3. A 
imagem de tal funpao 6 tal que: 

a) -2 < y < 2 b) 15 < y < 36 c) 15 < y < 36 

d) -12 < y < 36 e) -12 < y < 36 

TA.117 (CESCEA-71) Seja f(x) = ax 2 + bx + c. Sabendo-se que f(1) = 4, f(2) = 0 
e f(3) = -2, entao, o produto a.b.c e: 

a) 20 b) 50 c) -8 d) -70 e) nao sei 



287-A 




TA.118 {EPUSP-67) Os trinomios y = ax 2 + bx + c tais que a + b + c= 0: 

a) tem em comum um ponto no eixo dos x 

b) tem em comum um ponto no eixo dos y 

c) tem em comum a origem 

d) nao tem ponto em comum 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.119 (EPUSP-66) 0 grafico da funpao y = ax 2 + bx + c, sendo b ^ 0 e c ^ 0 
o grafico da funpao obtida da anterior pela mudanpa de x em -x se interceptam: 

a) em dois pontos, um no eixo dos x e outro no eixo dos y 

b) em um ponto fora dos eixos 

c) somente na origem 

d) em um ponto do eixo dos y 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA. 120 (MACK-76) No grafico ao lado estao re- 
presentadas tres parabolas (1), (2), (3), 
de equapoes, respectivamente, y=ax 2 , 
y = bx 2 e y = cx 2 . Podemos con- 
ciuir que: 

a) a<b<c<0 

b) c<b<a<0 

c) 0<a<b<c 

d) 0<c<b<a 

e) nenhuma das alternativas anteriores 6 correta. 

TA.121 Dados tres pontos no piano cartesiano, nao colineares e com abscissas distintas duas 
duas, o numero de funpoes quadraticas que podem ser encontradas de maneira qi 
esses pontos pertenpam aos seus graficos e: 

a) 0 b) 1 c) 2 d) mais que duas 

TA.122 (CONSART-75) Um dia na praia as 10 horas a temperatura era de 36°C e as 14 hor 
atingiu a maxima de 39,2°C. Supondo que nesse dia a temperatura f(t) em graus e 
uma funpao do tempo t medido em horas, dada por f(t) = at 2 + bt + c, quanc 
8 < t < 20, entao pode-se afirmar que: 

a) b = 0 b) ab < 0 

c)a = b d)a>0 

e) b < 0 

TA.123 (CESG RAN RIO-77) Uma conta perfurada de um colar 6 enfiada em um arame fir 
com o formato da parabola y - x 2 - 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-: 
a conta deslizar no arame at6 chegar ao ponto Q de ordenada - 6. A distancia horizont 
percorrida pela conta (diferenpa entre as abscissas de P e Q) 6: 

a) 12 b) 4 c) 6 d) 5 e) 3 



288-A 


TA.1 24 (PUC-77) As curvas representatives das funpoes: 

y = x 2 e 2y = -x + 1 

1 1 

a) tem por intersecpao os pontos de abscissas "2 e ~2 

b) tem por intersecpao os pontos de abscissas - 1 e 

c) tem por intersecpao os pontos de abscissas -lei 

1 + 1 - >fs 

d) tem por intersecpao os pontos de abscissas - - - e 2 

e) nao se interceptam. 

TA.125 (MACK-75) O grafico de uma funpao f e uma parabola que passa pelos pontos (1,0), 
(3, 0) e (2, -1). O grafico da funpao g e uma reta que passa por (1, 0) e (0, -1). A 
sentenpa f(x) = g(x): 

a) e falsa qualquer que seja x b) 6 verdadeira se, e somente se, x = 1 

c) 6 equivalente ax - 1 ou x 4 d) implica x = 0 
e) e verdadeira se, e somente se, x e um numero inteiro 

TA.126 (CESCEM-77) Na figura ao lado estao 
representados os graficos das funpoes da- 
das por 

f(x) = (x + 1) (x - 3) e 

«<x)=! + 3 . 

As coordenadas dos pontos P e Q sao: 

a! e H;- 4 ! b) <-f ; |)e (2; -3) 

2 4 2 4 

c) (-|;|) e (4;-5) d) (-|;4) e (2;-3) 
e) (|;4) e (1; -4) 

TA.127 1EAESP-GV-77) O menor valor de k para o qual a intersecpao da reta y = 4x + k 
com a parabola y = 2x 2 + 3x - 2 seja nao vazia 6: 

a) 5 b) 1/4 c) 3/8 d) 2 e) 

TA.128 (GV-72) A regiao hachurada do grafico 

e a solupao grafica do sistema de desigualdades: 

a) f y - x 2 ^ 0 b) Ty-lxl^O 

\x > -1 \x < 1 

c) fy - x 2 < 0 d) fy - x 2 ^ 0 

\ l x | < 1 \UI < 1 

e) nenhuma das anteriores 




289-A 





EQUAQOES DO 2? GRAU 

TA.129 (PUC-70) Uma equacao do tipo ax 2 + bx + c = 0 onde a, b, c sao numeros reais 

a) tem sempre duas rafzes reais 

b) pode ter uma so raiz imaginSria 

c) pode ser uma equacao do 1? grau 

d) nunca terd rafzes iguais. 

e) nenhuma das anteriores e correta 

TA.130 (CESCEM-67) A equacao do segundo grau cuias raizes sao -1 e 3 6: 

a) x 2 - x + 3 - 0 b) a(x - 1)(x + 3) = 0, a ^ 0 

c) (x + 1)(x + 3) = 0 . d} (x - 1)(x - 3) = 0 

e) nenhuma das respostas acima 6 correta. 

TA.131 (MACK-74) Dada a equacao x + 6 = x 2 , uma equacao equivalente a mesma 6: 

a) x (x + 6) = x 3 

b) x+6+x 2 =x 2 +x+6 

c) x + 6 + —-— = x 2 + — 

x - 3 x - 3 

d) 3(x + 6) * 3x 2 

e) todas sao equivalentes £ equacao dada 

2x 2 - 8x 

TA.132 (MACK-77) O numero de solucoes reais da equacao —s--— = x 6: 

x 2 - 4x 

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nao sei 

TA.133 (FEI-66) O numero de so lucres reais da equacao 5x 4 + x 2 - 3 = 0 6: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 

TA.134 (PUC-76) O trinomio x 2 + px + q onde p e qE IR torna-se um trinomio quadradc 
perfeito quando se adiciona o termo constante: 

a) -5?. - q b) -5-. c) d) - q e) p 2 - 4a q 

4 4 4a 4p 

_ a 2 - b 2 

TA.135 (PUC-77) Para que a equacao x 2 - ax + - =0 tenha rafzes reais e iguais 

4 

e necessdrio e suficiente que: 

a) a = b b) b = 0 c) a = 2b d) a 2 - b 2 = 0 e) = a + 1 

TA.136 (ITA-72) Seja f(x) = x 2 + px + p uma funcao real de variavel real. Os valores df 
p para os quais f(x) = 0 possue raiz dupla positiva, sao: 

a) 0 < p < 4 b) p = 4 c)p=0 

d) f(x) = 0 nao pode ter raiz dupla positiva 

e) nenhuma das respostas anteriores 


290-A 


TA.137 (PUC-75) Seja a funcao quadrdtica definida por 
f(x) = mx 2 - (2m - 2) x + m - 2: 

a) f tem duas rafzes reais e iguais para Vm E IR* 

fm = 2 

b) f tem duas rafzes reais e iguais para < ou 

Lm = -2 

c) f tem duas rafzes reais e desiguais para -2 <C m 2 

d) f tem duas rafzes reais e desiguais para Vm E IR* 

e) f tem duas rafzes imagin^rias para m > 2 ou m <C -2 

TA.138(MACK-74) As rafzes da equacao (a - b + c)x 2 + 4(a - b)x + (a - b - c) = 0 com 
a - b + c =£ 0 sao reais: 

a) sempre b) somente se a > b > c 

c) somente se a >c>b d) somente se c > a > b 

e) nunca 

TA.139(CESCEM-72) O trinomio ax 2 + bx + c tem duas rafzes reais e distintas; Ct e /3 
sao dois numeros reais nao nulos. Entao o trinomio 

— x 2 + 0bx + O0 2 c 
a 

a) tem duas rafzes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal de 0. 

b) pode ter uma, duas ou nenhuma rafzes reais. 

c) tem duas rafzes reais e distintas se a e |3 forem ambos positivos, nada se podendo 
afirmar nos demais casos. 

d) tem duas rafzes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal do produto 

ap 

e) tem sempre duas rafzes reais e distintas 

TA. 140 (MACK-74) A equacao kx 2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 tem rafzes racionais para 
os valores de k pertencentes ao conjunto: 

a) A = {l. 2, 4. 5} b) B » {2, 4, 6. 8, 10} 

c) C = {2, 6, 12, 20, 30} d) D = {l, 4, 9, 16, 25} 

e) E = {l,8, 27, 64, 81} 

TA.141 (CESCEA-72) Considere o seguinte problema: "determinar o numero cujo qufntuplo 
excede o seu quadrado de y unidades”. Para que valores de y, o problema admite 
duas solucdes reais? 

a) y < b) y > ~ c) y = 6 d) y > 7 e) nao sei 

4 4 

TA.142 (CESGRANRIO-73) A equacao do 2? grau cuja menor raiz e 2 - \/~3 e 0 produto 
das duas rafzes 6 igual a 1 e expressa por: 

a) x 2 + x - 4 = 0 b) x 2 + 4x - 1 = 0 c) x 2 - x + 4 = 0 

d) x 2 - 4x + 1 = 0 e) nenhuma das respostas anteriores 


291-A 



TA.143 (CESCEA-77) As rafzes da equapao 2x 2 - 2mx + 3=0 sao positivas e uma i 
o triplo da outra. Entao o valor de m 6: 

a) 4 b) -2 c) 2 V2 d) -2 \[2 e) 0 

TA.144 (FEI-68) Sendo a e b as rafzes da equapao 2x 2 - 5x + m = 3 

114 

entao, se — + — = —, o valor de m 6 
a b 3 

a) -5- b) - — c) -Q- d) 0 e) nenhuma das anteriores 

4 3 4 

1 

TA.145 (MACK-76) Se r e s sao as rafzes da equapao ax 2 + bx + c = 0, a^O e c^C 

o valor de -4- + —6: 

r 2 s 2 

a) b 2 - 4ac b) b2 ~ 2ac c) b2 ~ 4ac 

c 2 c 2 

d ) b 2 - 4ac o) b 2 - 2ac 

2a 2a 

TA.146 (CESGRANRIO-77) As rafzes da equapao x 2 + bx + 47 = 0 sao intelras. Podemo 
afirmar que. 

a) a diferenpa entre as duas rafzes tem mddulo 46 

b) a soma das duas rafzes tem modulo 2 

c) b 6 positivo 

d) o modulo da soma das duas rafzes 6 igual a 94 

e) b e negativo 

TA.147 (CESGRANRIO-75) Sejam p e q reais; se a equapao do segundo grau em x: 

x 2 + p 2 x + q 2 + 1 =0 
tem duas rafzes reais x t e x 2 , entao 

a) xj > 0 e x 2 0 b) Xj + x 2 - p 2 c) xj + x 2 - q 2 + 1 
d) xj - x 2 e) xj <0 e x 2 <0 

TA.148 (MACK-74) O valor de p, para o qual a soma dos quadrados das rafzes de 

x 2 + (p - 2)x + p - 3 = 0 

tem o menor valor, e: 

a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 3 

TA.149 (MACK-74) Dadas as equapoes x 2 - 5x + k = 0 e x 2 - 7x + 2k = 0, sabe-sequi 
uma das rafzes da segunda equapao e o dobro de uma das rafzes da primeira equapao 
Entao o valor de k ^ 0 esta no intervalo: 

a) 1-4, -2] b) [-1, l] c) [2, 4] 

d) [5, 7] e) [-4, 4] 


292-A 


INEQUAQOES 

TA.150 (PUC-77) O trinomio -x 2 + 3x - 4: 

a) 6 positivo para todo numero real x 

b) 6 negativo para todo numero real x 

c) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os numeros reais 

d) e positivo para I < x < 4 

e) e positivo para x < 1 ou x > 4 

TA.151 (PUC-77) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinomio 
2 2 

P(x) = mx + 2(m - 2)x + m 6 negativo quando x = 1? 

a) 1 < m < 2 b) -1 < m < 2 c) -5 < m < -4 

d) -3 < m < 2 e) 0 < m < 1 

TA.152 (CESCEM-75) A expressao ax 2 + bx + c, onde b 2 - 4ac > 0 e a < 0, 6 

estritamente positiva se x for: 

a) positivo b) nao nulo c) igual as rafzes d) exterior as rafzes 

e) interior as rafzes 

TA.153 (CESG RAN RIO-73) O conjunto dos valores de p para os quais a inequapao 

x 2 + 2x + p > 10 e verdadeira para qualquer x pertencente a IR 6 dado por: 

a) p > -9 b) p < 11 c) p > 11 d) p < -9 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.154 (MACK-74) A desigualdade x 2 - 2(m + 2)x + m + 2>0 6 verificada para todo nu¬ 

mero real x, se e somente se: 

a) -2 < m < -1 b)-1<m<0 c)0<m<1 

d) 1 < m < 2 e) 2 < m < 3 


TA.155 (EESCUSP-69) O trinomio kx 2 + 2(k + 1)x-(k + 1): 

a) 6 negativo para todo valor de x e todo k =£ 0 

b) e negativo para todo valor de x se k ^ -2 

c) e positivo para todo valor de x e todo k ^ 0 

d) 6 negativo para todo valor dexse -1 < k < - — 

e) nenhuma das afirmapoes acima e verdadeira 


TA.156 (CESCEA-74) Uma condipao suficiente para que a expressao y 
presente uma funpao 6 que: 



a) -2 < x < 2 b) -2 < x < 2 c) x < -2 ou x > 2 

d) -1 < x < 3 e)x<~2 ou x>0 


TA.157 (CESCEM-71) O domfnio da funpao . . V— 

V x 2 - 5x + 6 

a) x < 2 e x > 3 b) x > 2 e x < 3 c) x ^ 2 e x 3 

d) x < 2 ou x ^ 3 e) x < 2 ou x>3 


293-A 



TA.158 (EPUSP-67) Seja A o conjunto dos numeros inteiros positivos que satisfazem a inequc 
gao (3x - 3) (2x - 5) < (5 - 2x) 2 . Entao: 

a) A 6 vazio b) A = {-2; 5/2} c) A = {-1; l} 

d) A = {1; 2} e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.159 (GV-70) Dada a parabola y = x 2 - 4, quais sao os valores de x que produzen 
imagem maior que 5? 

a) x > 0 b)x<0 c)x<-3ou x>+3 

d) -3 < x < 3 e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.160 (IT A—67) Seja y = [(ax 2 -2bx- (a + 2b)] 1/>2 . Em qual dos casos abaixo y 6 rea 
e diferente de zero? 

a) a > 0, b > 0, -1 < x < 

a 

b) a > 0, b < 0, x = 3 + 

a 

c) a > 0, b - 0, -1 < x < 1 

d) a < 0, b = 3a, x < -1 

e) a < 0, b = 2a, -1 < x < 

TA.161 (GV-76) Para que a fungao real f(x) = V x 2 - 6x + k, onde x e k sao reais, sej< 

definida para qualquer valor de x, k devera ser um numero tal que: 

a) k < 5 b) k = 9 c) k = 5 d) k < 9 e) k > 9 

TA.162 (GV-76) Para que a fungao real f dada por f(x) = , seja definid* 

yx 2 + 2bx + c 

para qualquer x real, os numeros bee devem ser tais que: 

a) b 2 < c e b ^ 0 b) b 2 > c e c ^ 0 c) b 2 < c 

d) b 2 < c e c > 0 e)b 2 >ceb>0 

TA.163 (CESCEA-69) A solugao da inequagao (x - 3) (-x 2 + 3x + 10) < 0 6: 

a) -2 < x < 3 ou x > 5 

b) 3 < x < 5 ou x < -2 

c) -2 < x < 5 

d) x > 6 

e) x < 3' 

TA164 (CESCEM-75) Os valores de x que satisfazem a inequagao: 

(x 2 - 2x + 8) (x 2 - 5x + 6) (x 2 - 16) < 0 sao: 

a) x < -2 ou x > 4 

b) x<-2 ou 4<x<5 

c) -4<x<2 ou x>4 

d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 

e) x < -4 ou 2<x<3 ou x>4 


294-A 


TA.165 (GV-72) O conjunto de todos os numeros reais para os quais 
VZJ - 4x + 3) (x 2 - x - 2) exista 6: 

a) {-1 < x < 1 ou 1 < x < 2 ou 2 < x < 3} 

b) (x < -1 ou 2 < x < 3 ou 3 < x} 

C) {-1 < X < 1 OU 2 < X < 3 } 

d) {x < -1 ou 1 < x < 2 ou 3 < x} 

e) nenhuma das anteriores 

TA. 166 (CESGRANRIO-73) As solugoes da inequagao ~ 2 ^ " > 0 sao dadas por: 

a) -1 < x < 1 ou x > 2 b) -1 < x < 1 ou x > 2 

c) x < -1 e x > 2 d) x < 1 e x > 2 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA. 167 (MACK-76) Tem-se t + — ^ -2, se e somente se: 

a) t < -1 b) t < 0 c) t > -1 d) t > 0 e) t < 0 

TA168(GV-73) Assinale a afirmagao verdadeira: 
x 2 + 3x + 2 

a) -I-;- > 0 <=> x 2 + 3x + 2 > 0 

x z - 1 

b) ax 2 + bx + c > 0, para todo x real <=» b 2 - 4ac < 0 

c) Irtr < 0 *=> - 1 < x < 1 

d) > 0 <==> (x - a) (x - b) > 0 

e ) ~ -u ^ 0 <=> (x - a) (x - b) < 0 


TA169 (GV-74) Para que y = / (x ~ (x2 + 2x ~ 8 > 

V x 2 + 4x + 3 


y real, seja definida, devemoster: 


a) -4 < x < -1 ou 1 < x < 2 

b) -4 < x < -3 ou -1 < x < 2 ou x > 3 

c) -3 < x < -1 ou 2 < x < 3 

d) x < 3 ou x > -1 

e) x < -4 ou -3 < x < -1 ou 2 < x < 3 


TA 170 (GV-74) A solugao da inequagao —-- — - 

x3 - x2 + x 

a) x > 0 b) x < 0 ou x > 1 
d) x < 0 ou x > 1 


- > 0 6 : 

c) x ^ 0 ou x > 1 
e) 0 < x < 1 


TA171 (CESCEM-68) Quais os valores de x que satisfazem a inequagao: * 2 ^ •] 

x 

a) x ^ -1 ou 0 < x ^ 2 b) -1 ^ x ^ 2 e x ^ 0 

c) x ^ -1 ou x ^ 2 d) qualquer valor de x diferente de zero 

e) nenhum valor de x 


295-A 



TA.172 (GV-77) Seja IR o conjunto dos numeros reais. O conjunto solugao da inequaga- 



a) {x £ !R | 1 < x < 2} b) {x e IR | x > 2} • c) {xE|R|x< l} 

d) {x G IR | X > 2} e} {x G IR [ x < 0} 

x 2 + Ow _ 1 i 

TA. 173 (CESCEA-73) A solugao da inequagao -^ - £■ 

x2 - i x + 1 

a)x<0 ou x > 1 b) x < -1 ou -1 < x < 0 ou x>1 

c) 0 < x < 1 d) x < -1 ou x > 0 

TA.174 (CESCEA-73) Se pa ra todo x =£ 0, entao: 

a) a <C - b) a > c) - < a < d) nao sei 


2 O 2 

TA.175 UTA-67) Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade — ; —- ---<" 0- 

x2 - ( a + 2)x + 2a 

a) a < 0, x < 2a b) a = 0, x > -a c) a > 2, 2 < x < a 

d) a > 2, -a < x < 2 e) a > 2, x > 2a 

TA.176 (CESCEM-68) A solugao do sistema de inequagoes: 

/ 2x 2 + 8 > x 2 - 6x 
\ x + 5 < 0 6: 

a) 0 < x < 5 b) -5 < x < -4 c) -4 < x < -2 

d) x ^ -2 e) x < -5 


TA.177 (CESCEM-70) A solugao do sistema de inequagoes: 

/ x 2 - 2x > 0 
l -x 2 + 2x + 3 > 0 6: 

a) 0 < x < 2 b) -1 < x < 0 e 2 < x < 3 

c)x<-1 e x > 3 d) nenhum x e) qualquer x 


TA.178 (FFCLUSP-66) A solugao geral da dupla desigualdade -2 < x 2 - 3 < — 6: 

5 

a! 1 < l»l<^ 
b, 7T< x < - 1 

c) 1 < x < W 

d) nao ha solugao 

e) 1 < X < T" 


296-A 


TA.179 (ITA-71) O sistema de desigualdades 


ax + bx > 0 

—- x 2 - bx + (2b - aK 0 
4 

a > 0, b > 0, b =£ a. 

Tern solugao para: 

a) x < — e b > a 
a 

c) 0 < x < 1 e b > — a 
e) nenhuma das respostas anteriores 

TA180 (CESCEA-71) O conjunto de todos os numeros reais x para os quais a expressao 



esta definida 6: 

a) {x G IR |1 < x ^ 2} 

b) {x e IR | 1 < x < 2} 

c) {x EIR 1-2 < x < 2 e x ^ 1 } 

d) {x G IR |-2 < x < 2 e x=^l} 

e) nao sei 

TA.181 (GV-73) O conjunto {x G IR | *^ — > O} 6 igual a: 

a) {x G IR | x > 2} b) {x G IR | x > 1} 

c) {x G IR | 1 < x < 2} d) {x GlR | x ^ l} 

e) {x G IR | x < 1 ou x > 2} 


b)x>2 e b<a 

d) x > ™ - 2 e a > 2b 
a 



TA.182 (GV-72) O conjunto de todos os numeros reais x para os quais a expressao: 

f(x) - VT + V1 - x 2 


results num numero real, e: 

a| {x ElR 1-1 < x < l} b) {x G IR | 0 < x < 1 ■ 

c) {x G IR 1 x > 0 ou x < 1} dl {x GlR | 0 < x < \\ 
e) {x G IR | x > 0 } 

TA.183 (PUC-77) Se A = {x G IR | x 2 - 3x + 2 < o} e B ={x G IR | x 2 - 4x + 3 > o} , 
entao A O B 6 igual a: 

a) {2} b) {x G IR | 2 < x < 3} 

c) vazio d) {x G IR | 1 ^ x ^ 3} 

e) {x G IR j 1 < x < 2 } 


297-A 



TA.184 (CESCEA-67) Dado o trindmio do 2? grau f(x) - ax 2 + bx + c e sabendo-se qi 
af(a) < 0, para a um numero real, qual das afirmagoes abaixo 6 verdadeira? 

a) o trinomio nao tem rafzes reais 

b) para concluir a existencia de rafzes reais 6 preciso ainda examinar-se b 2 - 4ac 

c) o trinomio se anula para dois valores de x, um menor e outro maior que a 

d) a nao pertence ao intervalo cujos extremos sao as rafzes reais 

e) nada disso 

TA.185 (GV-70) Dado o trinomio f(x) = x 2 - 5x + m o zero 6 externo ao intervalo di 
rafzes para: 

o c 

a) nenhum m b) qualquer m c) m > 0 d) 0 < m < *— 

4 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.186 (CESCEA-72) Para que a equa<?ao x 2 + (2 - a)x - (3a - 1) = 0 admita duas rafzi 
reais distintas no intervalo [-2, 3] devemos ter: 

a) -8 < a < 0 b)a<-8 ou a>0 c) 0 < a < 1 

16 

d) 0 < a < — e) nao sei 

b 

FUNQAO MODULAR 

TA.187(PUC-76) Para definir mbdulo de um numero real x posso dizer que: 

a) 6 igual ao valor de x se x 6 real 

b) 6 o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x 

c) 6 o valor de x tal que x G: N 

d) 6 oposto do valor de x 

e) 6 o maior inteiro contido em x 

TA.188(CESGRANRIO—COMCITEC-73) Nos gr£ficos abaixo os pontos do domfnio sa 
marcados no eixo horizontal e os da imagem no eixo vertical. 0 gr£fico que melhc 
pode representar a funqao 

f: IR + -► IR 

x ->■ f(x) = - Ixl 


onde IR + 6 o conjunto dos reais nao negativos, 6: 



298-A 


TA.189 (PUC-77) O esbogo do gr^fico de y = Ixl - 1 6: 



TA.191 (MACK-77) O grafico ao lado representa a funpao: 



TA.192 (CESCEM-70) 0 grdfico de y = Ixl -2 6: 



299-A 




TA. 195 (MACK-73) O gr^fico cartesiano da fungao definida por y = -x Ixt pode ser 



300-A 



TA.198 (CESCEM-69) A representagao grafica da fungao y = x 2 - Ixl 6: 



TA.200 (CESCEM-71) Dados dois numeros reais distintos a e b, podemos definir uma 
fungao f(x) que chamaremos "distancia ao conjunto {a, b}'\ da seguinte forma: 
distancia de x ao conjunto ' L a, b} £ o menor dos numeros 

lx - al, lx - bl. 

Se a = -b = 1, o grafico de f(x) e: 



e) nenhum dos anteriores. 


301-A 











TA.201 (MACK-76) Seja f uma fungao de IR em IR definida por 
f(x) = 2lx-3l + x-1 % 

0 conjunto imagem da fungao f 4: 

a) {y E IR I y 2 } b) {y E !R I y ^ 3} c) {y E IR I y > 3 } 

d) {y E IR I y < 2 } e) IR 

TA.202 (PUC-77) Dado A = {x E IR I lx I = 2 }, tem-se: 

a) A C N b) A C |R + c) A U Z + = Z + d) A O Z_ = A 

e) A PI N = { 2 } 

TA.203 (PUC-74) O conjunto S das solugoes da equagao 
l2x - 11 - x - 1 4: 

a) S * { 0 , — } b) S = {0, -1- } c) S = 0 

3 3 

d) S = { 0 , - 1 } e) S = {0, 4- } 

5 

TA.204 (GV-72) Seja V o conjunto de todas as solugoes reais da equagao 
V x 2 + 2x + 1 = 1 + x. 

Entao: 

a) V = 0 b) V « IR 

c ) V = {xG IR I x <-l} d) V = {x E |R | x > -l} 

e) V = { 0 } 

TA. 205 (CESG RAN RIO-77) Os grSficos de f(x) = x e g(x) = lx 2 - ll tem 2 pont 
em comum. A soma das abcissas dos pontos em comum 4: 

a) y/¥ b) 1 c) -1 d) - y/5 e) 0 

TA.206 (EPUSP-65) As rafzes da equagao Ixl 2 + Ixl - 6 = 0 

a) sao positivas b) tem soma 0 c) tem soma 1 d) tem produto 6 
e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.207(COMBITEC-COMBIMED-75) A equagao 

lx+ll-lxl*2x + 1, x E IR, 

a) tem duas solugoes distintas cuja soma 4 2 

b) tem somente as solugoes -1 e 0 

c) nao tem solugao 

d) tem uma infinidade de solugoes 

e) tem tres solugoes distintas cuja soma 4 4 

TA.208 (FCESP-74) Se x E ] - 00 0 ] entao a expressao: 

V(x - 3) 2 + - V (4 - 3x) 2 vale: 

a) 5x - 1 b) 3x - 1 c) x - 1 d) 7 - x e) x - 7 


TA.209 (CESCEA-68) Se a e b sao dois numeros reais quaisquer, assinale dentre as afirmagoes 
abaixo a que 4 sempre verdadeira 

a)la + bl^lal + |b| b)la + bl=lal + lbl c) la + bl lal + Ibl 

d) lal - Ibl la + b| e) lal + Ibl ^ la + bl 

TA.210(GV-74) Sejam x e y numeros reais quaisquer. Assinale a afirmagao correta: 
a) |x + yl< iiLiivi b) lx-yl> 1| Ixl-lyll 

c) Ixl + ly I > Vx 2 + y 2 d) Ixy I > Ixl • I y I 

e) Ixl + lyl = 2 Vx 2 + y 2 

TA.211 (CESCRANRIO-75) A intersegao dos conjuntos {x E IR | | x — 21 <C 4} e 
{xElR| I x — 71 <2} 6 um intervalo de comprimento 

4 um intervalo de comprimento 

a) 2 b) 5 c) 1 d) 3 e) 4 

T/L212'( MACK-74) 0 conjunto solugao de 1 "C lx - 3| <^4 4 o conjunto dos numeros x tais 
que: 

a) 4 < x < 7 ou -1 < x < 2 b) -1 < x < 7 ou -3 < x < -1 

c) -1<x<7 ou 2<x<4 d) 0 < x < 4 
e) -1 < x < 4 ou 2 < x < 7 

TA.213 (CESGRANR10-73) A fungao P(x) = lx 2 + x - 1 I 4 menor do que 1 para os va- 
lores de x em: 

a) [-2, -l] U [ 0 , l] b> (-2, -1) U (0, 1) c) [-2, -l] U (0, 1) 

d) (-2, -1) U [ 0 , l] e) [-2, l] 

TA.214 (MACK-77) O conjunto-solugao de lx - 3l <x + 3 4: 

a) 0 b) {x E IR | 0 < x < 3} c) IR d) {x E |R | x > 0} 

e) nao sei 

TA.216 (CESCEA-70) O conjunto de todos os x para os quais |'2x - 3l > x 4: 

a) [x E IR | x < 0} b) {x E IR | x < 0 ou x < 4 } 

c) {x E |R | 1 < x < 3 } d) {x E |R | 0 < x < 4 } 

e) (x E IR | x < 1 ou x > 3 } 

TA.216 (CESGRANRIO-73) O conjunto solugao da desigualdade 
lx + 1 I - Ixl < x + 2 

a) [-3, 0] U [l, 73] b) {xlx < 0 }U [3, 15] 

c) [-3, 0] U \x I x > 0 } d) {x I -5 < x < -l} U {x I 1 < x < 17} 

e) [-4. 2] U [-2, l] 

"*"A217(MACK-75) Se lx 2 - 41 <C N para todo x tal que |x - 2| < 1, entao: 

a) o menor valor posslvel de N 4 3 c) o menor valor possfvel de N 4 5 

b) o maior valor possfvel de N 4 3 d) o maior valor possfvel de N 4 5 

e) N pode assumir qualquer valor 


302-A 


303-A 



TA.218(PUC-70) Qualquer que seja o numero real nao nulo x, tem-se sempre 

a) lx + i I >2 bl lx + 1| < 10 C ) lx + -Ll v 


a) lx + — I > 2 
x 

d) lx + 1 I < 1 


c) |x + J_ I < X 
X 


e) nenhuma das anteriores. 


grAficos 



TA.220 (CESCEM-74) A funpao cujo grafico me- 
Ihor se adapta ao da figura 6: 


a) f<x> = | x | 

b) fix) = I — I 

x 

c) f(x) = |min (x; --) l 

x 

d) f(x) = min (| x |; I — I) 

x 

e) f(x) = min (| x 2 |; 4?) 

x 2 




304-A 


TA.222 (MACK-77) O grafico da funpao f dada por f(x) ^ - — 6, aproximadamente: 



e) nao sei 

g 

TA.223 (MACK-74) O grafico da funpao definida por y - ^ + pode ser: 



a) interceptam-se em um unico ponto de abscissa positiva 

b) interceptam-se em dois pontos 

c) nao se interceptam 

d) interceptam-se em mais de dois pontos 

e) interceptam-se em um unico ponto de abscissa negativa 


1 x (x — 1) 

TA.225 (CESCEM-71) As figuras de equapoes y = — e y = ———-—: 

a) nao tern ponto em comum b) tern um unico ponto comum 

c) tem exatamente dois pontos comuns 

d) tem exatamente 4 pontos comuns 

e) tem uma infinidade de pontos comuns 


TA.226 {FE1-73) Chama-se ponto fixo de uma funpao f um numero real x tal que f(x) = x. 
Calcule os pontos fixos da funpao f(x) = 1 + ~ : 

t ± v/5~ 

a) x = ± 1 b) x = - 2 - n ®° tem P onto fixo 

d) tem infinitos pontos fixos 


305-A 










TA.227 (FEI-73) Considere o grafico da fungao 

2 

x 

y = 1 + —. Deseja-se calcular a area 

hachurada da figura ao lado. Catcule um 
valor aproximado dessa area, substituin- 
do os arcos AB, BC e CD por segmentos 
de reta. 

a) 2,95 

b) 4,95 

c) 3,95 

d) 1,95 

e) nenhuma das respostas anteriores 



TA.228 (EPUSP-67) Sendo A a area iimitada pela curva y 
x = 3, y = 0, tem-se: 


— e pelas retas x = ' 


a) A < 0,3 b) 0,3 < A < 0,8 c) 0,8 < A < 1,5 

A < 10 e) nenhuma das respostas anteriores 


TA.229 (CESCEM-74) A fungao y = da o 

valor da £rea da regiao compreendida 
entre a curva y = x 2 , do ponto de 
abscissa 0 ao ponto de abscissa x e o 
eixo das abscissas, conforme indica a fi¬ 
gura ao lado: 

Nestas condigoes, a area ao lado indi- 
cada vale: 



b) 21 



d) 64 




TA.230 (CESCEM-74) As regioes do piano definidas por: 

*1 + 2x 2 < 2, Xi > 0 

2 xi + x 2 < 2, x 2 > 0 

determinant um quadrilStero, no qual est$ definida a fungao y = Xl + x 2 . 

Sabendo-se que o maximo desta fungao esta num dos vertices deste quadrilatero c 
seu valor e: 

al f bi T c) i d) 0 e) -1 


306-A 


FUNpOES COMPOST AS 


TA.231 (PUC-77) Sendo f(x) = x 3 + 1 e g(x) = x-2, entao g(f(0)) 6 igual a: 

a) 1 b) 3 c) 0 d) 2 e) -1 

TA.232 (MACK-75) Dadas as fungoes f, g e h, de IR em IR, definidas por f(x) = 3x, 

g(x) = x 2 - 2x + 1 e h(x) = x + 2, entao ((hof)og)(2) 6 igual a: 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 

TA.233 (CESGR AN RIO-73) Seja f uma fungao de IR em IR tal que f(2) = 7, f (9) = 3, f(0) = 0, 

f(5) = 16 e f(7) = 4; seja g uma outra fungao de IR em IR tal queaimagemde 

cada ponto x do seu domfnio seja 2x + 3. Entao, chamando-se h a fungao com- 
posta gof, tem-se que: 

a) h(1) = 16 b) h(9) = 9 

c) h(2) = 49 d) nao existe essa fungao h 

e) nada se pode afirmar pois a lei de formagao da f nao 6 conhecida 

TA.234 (CONSART-75) Se f e g sao fungoes definidas em IR por f (x) = x + 2 e g(x) « 3x + 5, 
entao g(f(x)) 6: 

a) 3x + 11 b) 3x 2 + 10 c)3x 2 +11x+10 d)4x + 7 e)f|g(x)| 

TA.235(CESGRANRIO-73l Se f(x) * entao f(f(x)) 6 expressa por: 

1 2x + 2 

a) — b ) 1 c) x d) i e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.236 (MACK-75) Dada a aplicagao f :Q-»*Q definida por f(x) = x 2 -2, o valor de 
x tal que f(x) = f(x + 1) e: 

a) -1 b) -j cl j d) 1 e) j 

TA-237 (MACK-76) Dada a fungao f(x) - ^ x ^ , a expressao de f(3x), em termos de 
f(x), 6: 

3f(x) 3f(x) 3f(x) 3f(x) 

31 3f(x) - 1 ' 3f(x) - 3 cf 2f(x) - 1 J 2f(x) + 1 

e) 3f(x) - 1 

TA.238(ITA-77) Considere a fungao F(x) = I x 2 - 1 I definida em IR. Se FoF representa 
a fungao composta de F com F, entao: 

a) (Fo F) (x) = x | x 2 - 1 |, para todo x real 

b) nao existe numero real y, tal que (Fo F) (y) - y 

c) Fo F 6 uma fungao injetora 

d) (FoFMx) = 0, apenas para dois valores reais de x 

e) nenhuma das anteriores 


307-A 





TA.239 (FE1—68) Dada a funpao f(x) = V 4 - x 2 , para qualquer numero real x tal < 
| x | ^ 2 tem-se: 

a) f(2x) = 2f(x) b) f{x - 2) = f(x)-f(2) c) f(l) = -1^1 

X X 

d) f(-x) = f(x) e) nenhuma das anteriores 

TA.240 (CESGRANRIO-76) Considere as funpoes 
f:(R -HR g: |R -* IR 

x »-► 2x + b xi-> x 2 

onde b e uma constante. Conhecendo-se a composta 
gof: |R |R 

x g(f(x)) = 4x 2 - 12x + 9 
podemos afirmar que b 6 um elemento do conjunto: 

a) (-4,0) b) (0,2) c) (2,4) d) (4, + oo) e) (-<*>, -4) 

TA.241 (PUC-74) Se f(x) = y-—^ . entao (fo [fo f]) (x) 6 igual: 

a) 2x b) 3x c) 4x d) x e) -x 

TA.242 (CESGRANRIO-73) Sejam dadas as funpoes 

m = {(3,5). (|, 0), (2,1), (12,5), (0,0)} e 
n = {(6,2), (0,0), (6,1), (1,0)} 

Considere as afirmapoes: 

1) nao existe a funpao n o m 

2) nao existe a funpao m o n 

3) m 6 uma funpao bijetora de IR em IR 

4) a funpao m o n o m nao existe 

5) todas as afirmativas anteriores sao falsas 

Entao: 

a) todas sao corretas 

b) somente duas sao corretas 

c) somente uma e correta 

d) todas sao falsas 

e) somente tres sao corretas 

TA.243(CESCEM-70) Sejam f(x) = + y/7^4; g( z ) = [f( z )] 2 e h{z) = 2 _ 4: 

a) osdomfniosde g( Z ) e h(z) coincidem 

b) o domfnio de g(z) cont6m estritamente o domfnio de h(z) 

c) o domfnio de f(x) nao tern pontos em comum com o domfnio de g(z) 

d) qualquer que seja z real, g(z) = f( z ) 

e) nenhuma das anteriores 


308-A 


TA.244 [ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos nao vazios do conjunto R dos numeros reais. 
Sejam as funpoes f: A -► B (y = f(x)), g: D -> A (x = g(t)), e a funpao composta 
(fog): E -*• K. Entao os conjuntos E e K sao tais que: 

a) E C A e KCD 

b) E C B e K D A 

c) E3D, D ^ E e K C B 

d) E C D e KCB 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.245 (MACK-74) Sejam f e g funpoes deIR emIR tais que f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. 
Entao fog = gof, se e somente se: 

a) a = c e b = d 

b) a = b = c= d 

c) (a - 1) • d = b • (c - 1) 

d) a = c 

e) a = c e b = -d 

TA.246 (CESGRANRIO-77) Seja f : {l, 2, 3} —*-{l, 2, 3} uma funpao tal que o con¬ 
junto solupao da equapao f(x) ^ x 6 {l, 2}. Em relapao a funpao composta fof 
podemos afirmar que: 

a) paratodox, (fof)(x) = x 

b) paratodox, (f o f) (x) = f(x) 

c) (fof)(3) = 3 

d) (fof) (3) = 1 

e) (fof)(3) = 2 

TA.247 (MACK-75) Dadas as funpoes f e g delR emIR, sendog(x) = 4x-5 e f(g(x>) = 13 -8x, 
entao: 

a) f(x) = 2 - 3x b) f (x) = 3 - 2x c) f(x) = 2 + 3x 

d) f(x) = 2x + 3 e) f(x) = 5 - 4x 



309-A 



FUNgOES INVERSAS 


TA.249 (CESCEM-76) Dentre os gr6ficos abaixo, o que melhor se adapta a uma fungi 
bijetora (injetora e sobrejetora) com domfnio !R e contradomfnio IR 6 

a) |y b) *Y 





TA.250 (MACK-75) Ao lado esta o grdfico 
da fungao f. Urn exame deste grSfico 
nos permite concluir que: 

a) f 4 injetora 

b) f 6 periddica 

c) f(7T) < 0 

d) fO/Sj < 0 

e) f(1) + f (2) = f (3) 



TA.251 (MACK-74) f 6 uma aplicagao de A em B; B' ^ B; f 6 uma aplicagao sobrejeto 
de A em B\ Podemos afirmar: 

a) f 6 uma aplicagao sobrejetora de A em B 

b) f 6 uma aplicagao injetora de A em B' 

c) a informagao dada 6 contraditbria; f nao pode ser uma aplicagao de A em 
e de A em B' 

d) existe x em A tal que f(x) £ B e fix) € B' 

e) existe y em B tal que f(x) = y nao se verifica para nenhum x de A 


TA.252 (MACK-75) A aplicagao f: N -> N definida por 


f(n) 



n 6 par 


n 6 fmpar 


310-A 


a) somente injetora; 
c) bijetora; 

e) nenhuma das anteriores. 


b) somente sobrejetora; 

d) nem injetora e nem sobrejetora; 


TA.253 (CESGRANRIO-73) Seja AB um diametro de uma esfera tangente a um piano P 
no ponto B. Seja E o conjunto dos pontos da superffcie esf6rica que sao distintos 
de A. 

Considere a fungao 

f: E -> P 
x -* f (x) 

onde f(x) 6 o ponto de intersegao da 
reta definida por A e x com o piano P. 

Dentre as afirmagoes, a falsa 6: 

a) a fungao 6 injetora 

b) a fungao 6 sobrejetora 

c) a fungao 6 bijetora 

d) a fungao leva circunferencias em circunferencias 

e) a fungao leva pontos simbtricos em relagao ao diametro AB em pontos sim6tricos 
em relagao ao ponto B. 

TA.254 (ITA-76) Considere g: {a, b, c} -* {a, b, c} uma fungao tal que g(a) = b e g(b) = a. 
Entao, temos: 

a) a equagao g(x) = x tern solugao se, e somente se, g 6 injetora 

b) g 6 injetora, mas nao 6 sobrejetora 

c) g e sobrejetora, mas nao 6 injetora 

d) se g nao 6 sobrejetora, entao g(g(x)) = x para todo x em {a, b, c} 

e) nenhuma das respostas anteriores 



TA.256 (MACK-75) Dada a fungao f: IR —> IR, bijetora definida por f(x) = X 3 + 1 sua 
inversa f" 1 : IR IR 6 definida por: 


a) f-Mx) = 
d) f-Mx) = 


b) f-Mx) = ■ 1 

X 3 + 1 

e) nenhuma das anteriores 


:) f-Mx) 


TA.256 (ITA-75) Seja f(x) - - definida em IR. Se g for a fungao inversa 

7 e x + e -x 

de f, o valor de e^ 25 ^ ser6: 


c) log (^-) d) 
e 7 


e) nenhuma das respostas anteriores 


TA.257 (CONSART-75) 0 grSfico de uma fungao f 6 o segmento de reta que une os pontos 
(-3, 4) e (3, 0). Se f -1 6 a fungao inversa de f, entao f _1 (2) 6 

a ^ 2 b) 0 c) d) —~ e) nao definida 

TA.258 (MACK-77) A fungao f definida em IR - { 2 } por f(x) = — + * 6 inversivel. 
O seu contradomfnio 6 IR - {a}. O valor de a 6: 2 - x 

a ) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) nao sei 


311-A 




TA.260 (ITA — 76) Sejam A e B conjuntos infinitos de numeros naturais. 

Se f: A -► B e g: B -> A sao funpoes tais que f(g(x)) = x, para todo x em 
e g(f(x)) * x, para todo x em A, entao, temos: 


a) exist© xq em B, tal que f(y) * xq, para todo y em A 

b) existe a funpao inversa de f 

c) existem x 0 e Xi em A, tais que x 0 xj e f(xo) = f(xj) 

d) existe a em B, tal que g(f(g(a))) g(a) 

e) nenhuma das respostas anteriores 

TA.261 (CESGRANR10-77) A imagem da reta y = 2x pela reflexao no eixo dos x 
a reta de equapao 

a) y = 12x i b) y = — x c) y = -2x d) y = 2x e) y = - — x 
2 2 

TA.262 (CESGRANRIO-73) Sendo x o conjunto imagem da funpao y = + V x - 

e dado por: 

a) {yG!R|y>0} b) {y^lR |0^ y <2> 

c) {y<ElR|y>2} d) {yGlR|y>4} 

e) nenhuma das respostas anteriores 


EQUAQ0ES E INEQUAQOES IRRACIONAIS 


TA.263 (CESCEM-73) Considere-se o numero x dado pela expressao 



Nestas condipoes, 

a) x = 2,222 ... b) x = c) x = 2 + \f2/2 

d) x = 2 e) x nao 6 raiz da equapao x 2 - x - 2 - 0 

312-A 


TA.264 (PUC-70) O conjunto verdade da equapao V4x + 1 = 2x - 1 6: 


i) {2} b) {O. 2} c) { 0 } d) {O, 1} e) 


nenhuma das anteriores 


TA.265 (GV-75) A equapao Vx - 1 = - v x 2 - 1: 

a) tern duas raizes reais b) tern tres raizes reais 

c) nao tern raizes reais d) nao tern raizes 

e) tern uma unica raiz real 


TA.266 (PUC-74) O conjunto verdade da equapao irracional 


V x - 1 + V2x - 2 - 2 6: 

a) V = { 3 } b) V = { 3 , 9} c) V = { 9 } d) V = { 4 } e) nenhuma das anteriores 

TA.267 (FEI-68) Seja V o conjunto dos numeros reais que sao solupoes da equapao irracional 

V5T - V 7 + x = 1 

a) V = {2, 18} b) V = { 2 } c) V = {l8}d) V=0 e) nenhuma das anteriores 

-1 

TA.268 (MACK-76) Todas as raizes da equapao 2y/~x + 2x 2 = 5 estao no intervalo: 

a) [-2, - 1] b) [- 1. 1] c) [1 , -I ] 


d) [|, 7] 
4 


>) [ 6 , 8 ] 


TA.269 (ITA-73) A respeito da equapao, 3x 2 - 4x + V 3x 2 - 4x - 6 = 18 podemos dizer: 
a)... 2 ~ V^Q sao raizes b) A unica raiz 6 x = 3 


b) A unica raiz 6 x = 3 


c) A unica raiz e x = 2 + \/To d) tern 2 raizes reais e 2 imagindrias 
e) nenhuma das anteriores 

TA.270(ITA — 72) Todas as raizes reais da equapao / ——- /--— « — sao - 

V x V x 2 + 3 2 

a) xj = 3 e x 2 = -3 b) X! = 3 e x 2 = 3 

c) X[ = 3 e x 2 = VT d) nao tern raizes reais 

e) nenhuma das respostas anteriores 

J . 

TA.271 (MACK-74) Se o numero x e solupao da equapao Vx + 9 - Vx -9 = 3, entao 
x 2 esta entre: 

a) 0 e 25 b) 25 e 55 c) 55 e 75 d) 75 e 95 e) 95 e 105 


TA.272 (GV-74) Resolver a desigualdade 1 - 3x > V 2 + x 2 - 3x: 
a) x < 3 - 1 ■ ' 


b) x <C 


c) x < 1 ou x > 2 


d) i- < x < 3 4 ^ e) x < -3-‘ou x > j_ + V41~ 
3 16 16 16 


313-A 



RESPOSTAS 


TA.1 e 

TA.36 e 

TA.2 d 

TA.37 e 

TA.3 b 

TA.38 b 

TA.4 c 

TA.39 b 

TA.5 c 

TA.40 a 

TA.6 c 

TA.41 c 

TA.7 a 

TA.42 b 

TA.8 b 

T A.43 d 

TA.9 d 

TA.44 c 

TA.10 a 

TA.45 e 

TA.1 la 

TA.46 e 

TA.12 c 

TA.47 d 

TA.13 d 

TA.48 a 

TA.14 e 

TA.49 e 

TA.15 d 

TA/50 a 

TA.16 d 

TA.51 b 

TA.17 d 

TA.52 a 

TA.18 c 

TA.53 c 

TA.19 b 

TA.54 e 

TA.20 a 

TA.55 d 

TA.21 e 

TA.56 e 

TA.22 c 

TA.57 a 

TA.23 e 

TA.58 a 

TA.24 a 

TA.59 c 

TA.25 d 

TA.60 a 

TA.26 a 

TA.61 a 

TA.27 b 

TA.62 c 

TA.28 b 

TA.63 c 

TA.29 b 

TA.64 b 

TA.30 b 

TA.65 a 

TA.31 b 

TA.66 b 

TA.32 c 

TA.67 d 

TA.33 d 

TA.6 8 b 

T A.34 e 

TA.69 c 

TA.35 e 

TA.70d 


TA.71 d 

TA.106 b 

TA.72 e 

TA.107 e 

TA.73 e 

TA.108 a 

TA.74 c 

TA.109 b 

TA.75 e 

TA.110 a 

TA.76£l 

TA.111 a 

TA.77 c 

TA.112 e 

TA.78 e 

TA.113 a 

TA.79 b 

TA.114 b 

TA.80 b 

TA.115 b 

TA.81 a 

TA.116 d 

TA.82d 

TA.117 d 

TA.83 a 

TA.118a 

TA.84 b 

TA.119 d 

TA.85 b 

TA.120d 

TA.86 d 

TA.121 b 

TA.87 d 

TA.122 b 

TA.88 e 

TA.123 b 

TA.89 e 

TA.124 b 

TA.90 e 

TA.125 c 

TA.91 e 

TA.126a 

TA.92d 

TA.127 e 

TA.93 a 

TA.128 d 

TA.94 b 

TA.129 c 

TA.95 a 

TA.130 e 

TA.96 d 

TA.131 d 

TA.97 b 

TA.132 b 

TA.98 b 

TA.133 c 

TA.99 c 

TA.134a 

TA.IOOe 

TA.135 b 

TA.101 b 

TA.136d 

TA.102d 

TA.137 d 

TA.103 b 

TA.138a 

TA.104 b 

TA.139 e 

TA.105d 

TA.140 c 



TA.141 c 

TA.174 b 

TA.207 d 

TA.240 a 

TA.142d 

TA.175 d 

TA.208 c 

TA.241 d 

TA.143 c 

TA.176 e 

TA.209 c 

TA.242 c 

TA.144 c 

TA.177 b 

TA.210 b 

TA.243 e 

TA.145 b 

TA.178 a 

TA.211 c 

TA.244 d 

TA.146 a 

TA.179 e 

TA.212 a 

TA.245 c 

TA.147 e 

TA.180 d 

TA.213 b 

TA.246 b 

TA.148 e 

TA.181 a 

TA.214 d 

TA.247 b 

TA.149 d 

TA.182 d 

TA.215 e 

TA.248 a 

TA.150 b 

TA.183 e 

TA.216 c 

TA.249 d 

TA.151 e 

TA.184 c 

T A.217 c 

TA.250 d 

TA.152 e 

TA.185 d 

TA.218 a 

TA.251 e 

TA.153 c 

T A. 186 c 

TA.219 a 

TA.252 b 

TA.154 a 

TA.187 b 

TA.220 d 

T A.253 d 

TA:i55 d 

TA.188 e 

TA.221 d 

TA.254 a 

TA.156 c 

TA.189 c 

TA.222 c 

TA.255 c 

TA.157 e 

TA.190 e 

TA.223 b 

TA.256 a 

TA.158d 

TA.191 a 

TA.224 b 

TA.257 b 

TA.159 c 

TA.192a 

TA.225 b 

TA.258 d 

TA.160 e 

TA.193 d 

TA.226 b 

TA.259 e 

TA.161 e 

TA.194 b 

TA.227 c 

TA.260 b 

TA.162 c 

TA.195 c 

TA.228 c 

TA.261 c 

TA.163 a 

TA.196 b 

TA.229a 

TA.262 c 

TA.164d 

TA.197 a 

TA.230 a 

TA.263 d 

TA.165d 

TA.198 a 

TA.231 e 

TA.264 a 

T A. 166 a 

TA.199 a 

TA.232 e 

TA.265 e 

TA.167 b 

TA.200 c 

TA.233b 

TA.266 a 

TA.168 d 

TA.201 a 

TA.234 a 

TA.267 c 

TA.169 b 

TA.202 e 

TA.235 c 

TA.268 c 

TA.170 c 

TA.203 c 

TA.236 b 

TA.269 e 

TA.171 a 

TA.204d 

TA.237 d 

TA.270 e 

TA.172 b 

TA.205 a 

TA.238 e 

TA.271 d 

TA.173 b 

TA.206 b 

TA.239 d 

TA.272 a 


FUNDAMENTOS DE 
matemAtica ELEMENTAR 

Vol 1 — Conjuntos e Funpoes 

1. nopoes de logica, 2. conjuntos, 3. conjuntos numericos, 4. relapoes, 5. funpoes, 
6. funpoes do 1? grau, 7. funpoes do 2? grau, 8. funpao modular, 9. funpao com- 
posta e funpao in versa. 

Vol 2 — Logaritmos 

1. potencias, 2. funpao exponencial, 3. funpao logarftmica, 4. equapoes e ine- 
quapoes logantmicas, 5. logaritmos decimais. 

Vol 3 — Trigonometria 

1. ciclo trigonometrico, 2. funpoes circulares, 3. principals identidades, 4. trans- 
formapoes, 5. equapoes, 6. funpofes circulares inversas, 7. inequapoes, 8. trian- 
gulos. 

Vol 4 - Seqiiencias, Matrizes, Determinantes, Sistemas 

1. sequences e progressoes, 2. matrizes, 3. propriedades dos determinantes, 4. sis¬ 
temas lineares: metodo do escalonamento. 

Vol 5 — Combinat6ria, Binomio, Probabilidade 

1. princi'pios fundamentals da contagem, 2. arranjos, 3. permutapoes, 4. combt- 
napoes, 5. desenvolvimento binomial, 6. probabilidade em espapo amostral finito. 

Vol 6 — Complexos, Polinomios, Equapoes 

1. numeros complexos, 2. polinomios, 3. equapoes polinomiais, 4. transforma- 
poes, 5. raizes multiples. 

Vol 7 — Geometria Analitica 

1. o ponto, 2. a reta, 3. a circunferencia, 4. as conicas, 5. lugares geometricos. 

Vol 8 - Li mites, Derivadas, Nopoes de Integral 

1. definipao de limite, 2. propriedades operatorias, 3. definipao de derivadas, 
4. calculo de derivadas, 5. estudo de funpoes, 6. nopoes de integral definida. 


Vol 9 — Geometria Plana 

1. triangulos, 2. paralelismo, 3. perpendicularismo, 4. circunferencia, 5. seme- 
Ihanpa, 6. relapoes metricas, 7. areas das figuras planas. 

Vol 10 — Geometria Espacial 

1. Geometria de posipao: paralelismo, perpendicularismo, diedros, triedros, polie- 
dros, 2. Geometria M&trica: prisma, piramide, cilindro, cone, solidos semelhantes, 
superfi'cie e solidos de revolupao, s6lidos esfericos. 


316-A